10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 305 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB) – Sayfa 305 | Alıştırmalar

Soru 1) Bir otomotiv fabrikasında üretilen B ve C sınıfı araçların günlük üretim miktarı ile aylık gelir arasındaki ilişki aşağıdaki fonksiyonlarla modellenmiştir:

• b(x) = 12x − 24 → B sınıfı araç için aylık gelirin on binde biri
• c(x) = −6x² + 72x − 120 → C sınıfı araç için aylık gelirin on binde biri

Burada x, bir günde üretilen araç sayısını göstermektedir.

a) C aracından elde edilen aylık gelirin maksimum olması için günde kaç adet üretilmelidir?

Cevap: c(x) fonksiyonu a < 0 olan bir ikinci dereceden fonksiyon olduğundan, maksimum değerini tepe noktasında alır.

Tepe noktası:
x = −b / (2a) = −72 / (2·(−6)) = 6

Sonuç: C sınıfı araçtan günde 6 adet üretilmelidir.

b) Her iki araçtan elde edilen gelirin eşit olması için günde kaçar tane üretilmelidir?

Cevap: Gelirlerin eşit olması için b(x) = c(x) yazılır:

12x − 24 = −6x² + 72x − 120
6x² − 60x + 96 = 0
x² − 10x + 16 = 0
(x − 2)(x − 8) = 0

Sonuç: Gelirler x = 2 veya x = 8 iken eşittir.
Yani her iki araçtan 2’şer ya da 8’er adet üretildiğinde gelirler eşit olur.

c) İki araçtan da aynı sayıda üretim yapılırsa, B aracının geliri C aracından fazla olsun. En az kaç adet üretilmelidir?

Cevap: B aracının gelirinin fazla olması için:

b(x) > c(x)
12x − 24 > −6x² + 72x − 120
6x² − 60x + 96 > 0
x² − 10x + 16 > 0
(x − 2)(x − 8) > 0

Bu eşitsizlik x < 2 veya x > 8 için sağlanır.
Üretim sayısı pozitif tam sayı olduğundan:

Sonuç: En az 9 adet araç üretilmelidir.

Soru 2) Kare şeklindeki bir mozaik kaplama için:

• Üretim maliyeti: 4 TL / cm²
• Satış fiyatı: 12 TL / cm (kenar uzunluğuna göre)

Mozaik satışından elde edilebilecek en yüksek kâr kaç TL’dir ve bu kâr hangi kenar uzunluğunda elde edilir?

Cevap: Kenar uzunluğu x (cm) olsun.

• Gelir = 12x
• Maliyet = 4x²

Kâr fonksiyonu: P(x) = 12x − 4x² = −4x² + 12x

Bu parabol maksimum değerini tepe noktasında alır: x = −b / (2a) = −12 / (2·(−4)) = 3/2

Maksimum kâr: P(3/2) = 18 − 9 = 9

Sonuç: En yüksek kâr 9 TL, mozaik kaplamanın kenar uzunluğu 3/2 cm iken elde edilir.

Soru 3) Bir boncuk dükkânında A ve B türü boncuklar satılmaktadır.

• A boncuğu: Kâr, maliyetle ters orantılıdır.
• B boncuğu: Kâr, maliyetten 2 TL fazladır.

a) f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsillerini yazınız.

Cevap: A boncuğu için:
Maliyet 2 TL iken kâr 4 TL olduğuna göre:

4 = k / 2 → k = 8
f(x) = 8 / x

B boncuğu için:
g(x) = x + 2

b) A ve B boncuklarından eşit kâr elde edebilmek için maliyet kaç TL olmalıdır?

Cevap: f(x) = g(x)

8 / x = x + 2
x² + 2x − 8 = 0
(x − 2)(x + 4) = 0

Pozitif maliyet dikkate alınır:

Sonuç: Maliyet 2 TL olmalıdır.

c) Hangi maliyet aralığında B boncuğu A boncuğundan daha kârlıdır? Eşitsizliği yazınız.

Cevap: g(x) > f(x)

x + 2 > 8 / x
x² + 2x − 8 > 0
(x − 2)(x + 4) > 0

Pozitif maliyet için:

Sonuç: x > 2
B boncuğu, maliyet 2 TL’nin üzerinde iken daha kârlıdır.

Farklı Kaydet – Kısa Not

Bu sayfada parabolün tepe noktası, maksimum–minimum problemleri, ters orantı ve fonksiyon karşılaştırmaları kullanılarak gerçek yaşam problemleri çözüldü.