10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 338 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik (MEB) – Sayfa 338 | Alıştırmalar Cevapları

Aşağıda Sayfa 338 Alıştırmalar bölümü sorular tam yazılarak, kısa–öz cevap + daha güzel detaylı çözüm şeklinde hazırlanmıştır. Önemli yerler koyu yazılmıştır.

1) Soru : Bir matematik öğretmeni sınıfta sıralama konusunu öğretmek için bir oyun tasarlıyor. Oyunda aynı büyüklükte farklı renkte 7 küpü A masasına, 5 küpü de B masasına koyuyor. Eren ile Efe adında iki öğrenciyi oyunu oynamaları için seçiyor. Öğretmen öğrencilerinden bir masa seçmelerini ve masadaki küpleri her seferinde aynı sayıda küpü yan yana gelecek şekilde sıralamalarını istiyor. Her farklı sıralanışın karşılığı olarak oyuncunun 1 puan alacağını, en fazla puanı alan oyuncunun oyunu kazanacağını söylüyor. Oyunda Eren A masasını seçip her defasında farklı iki küpü yan yana getirirken Efe B masasını seçerek her defasında farklı üç küpü yan yana getirerek farklı sıralamalar elde ediyor. Buna göre Efe ve Eren’in aldıkları puanı hesaplayarak yarışmayı kimin kazandığını bulunuz.

Kısa Cevap: Eren 42 puan, Efe 60 puan alır. Oyunu kazanan: Efe.

Eren: A masasındaki 7 küpten 2’sini yan yana farklı sıralar. Bu, 7 elemandan 2’sinin sıralı seçimidir:
P(7,2) = 7 × 6 = 42

Efe: B masasındaki 5 küpten 3’ünü yan yana farklı sıralar:
P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60

Karşılaştırma: 60 > 42 → Efe kazanır.

2) Soru: Başkan ve başkan yardımcılarının seçileceği bir komisyondaki kişilerden

• 2’si sadece başkanlığa,
• 3’ü sadece başkan yardımcılığına,
• 4’ü hem başkanlığa hem de başkan yardımcılığına aday olmuştur.
Buna göre bu adaylar içerisinden biri başkan, ikisi başkan yardımcısı olmak üzere toplam 3 kişinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulunuz.

Kısa Cevap: Toplam 102 farklı seçim yapılır.

Önce başkanı seçelim, sonra 2 başkan yardımcısını seçelim.

• Başkan olabilecek kişi sayısı: (sadece başkan 2) + (iki göreve de aday 4) = 6

Başkan seçildikten sonra, başkan yardımcısı olabilecekler:

• Sadece yardımcılığa aday 3 kişi her zaman uygun

• İki göreve aday 4 kişi içinden, başkan seçilen kişi çıktıysa 3 kişi kalır
  → Toplam yardımcı aday sayısı: 3 + 3 = 6

• 2 yardımcı seçimi (sırasız): C(6,2) = 15

Toplam: 6 × 15 = 90

Ama burada başkanın seçimi iki farklı türden olabilir:

Durum 1: Başkan, “sadece başkanlığa aday 2 kişiden” seçilirse

• Başkan seçimi: 2
• Yardımcı adayları: (sadece yardımcı 3) + (iki göreve aday 4) = 7
• Yardımcı seçimi: C(7,2)=21

Toplam: 2 × 21 = 42

Durum 2: Başkan, “iki göreve de aday 4 kişiden” seçilirse

• Başkan seçimi: 4
• Yardımcı adayları: (sadece yardımcı 3) + (kalan iki göreve aday 3) = 6
• Yardımcı seçimi: C(6,2)=15

Toplam: 4 × 15 = 60

Genel toplam: 42 + 60 = 102

Cevap: 102

3) Soru : Bir elektrik devresindeki anahtar açık duruma getirilirse devre akımı kesilir.

Bu durumda akım almaçtan geçmez, dolayısıyla almaç çalışmaz. Buna açık devre denir ve matematikte 0 ile simgelenir. Elektrik devresini kumanda eden anahtar kapalı duruma getirilirse devreden akım geçer ve almaç çalışır. Kapalı devre olarak adlandırılan bu sistem matematikte 1 ile simgelenir. 5 kapalı, 3 açık anahtarın bulunduğu elektrik devresini gösteren 0 ve 1 rakamlarından oluşan 8 basamaklı sayı bir kâğıda yazılıyor. Bu sayının rakamlarının yerleri değiştirilerek 8 basamaklı kaç farklı sayı elde edilebilir?

Kısa Cevap: 35 farklı sayı elde edilir.

8 basamakta:

• 5 tane “1”
• 3 tane “0” var.

Aynı rakamlar tekrar ettiği için farklı diziliş sayısı: 8! / (5! × 3!)

Hesap:

• 8! = 40320
• 5! = 120
• 3! = 6
• 120 × 6 = 720
• 40320 / 720 = 56 (dikkat!)

Burada önemli bir nokta var: “8 basamaklı sayı” ifadesi, başta 0 olamaz demektir (çünkü o zaman 7 basamaklı görünür).
Bu yüzden başı 0 olan dizilişleri çıkarmalıyız.

Başı 0 olanları sayalım:

• İlk basamak 0 sabit → geriye 7 basamakta 5 tane 1 ve 2 tane 0 kalır.
• Diziliş sayısı: 7! / (5! × 2!) = 5040 / (120 × 2) = 21

Toplam geçerli (başı 0 olmayan) sayı: 56 − 21 = 35

Cevap: 35

4) Soru : Aşağıda Pascal üçgeni olarak adlandırılan modelin n. ve m. ardışık iki satır elemanlarının bazıları cebirsel temsilleriyle diğer elemanları ise harfler ile ifade edilmiştir. Buna göre

a) n + m değerini bulunuz.
b) A, D ve L ifadelerinin cebirsel temsillerini yazınız.
c) B + K + T değerini bulunuz.

a) 11
b) A = (5 1), D = (5 5), L = (6 4)
c) 31

Daha Güzel Çözüm

Pascal üçgeninde ardışık satırlar n ve m = n + 1 olur. Şekilde verilen katsayılardan satırlar okunarak:

• n = 5, m = 6 bulunur → n + m = 11

Harfli yerler ilgili kombinasyon değerleridir:

• A = (5 1)
• D = (5 5)
• L = (6 4)

Son olarak şekilden B, K, T karşılıkları okunup toplandığında: B + K + T = 31