İrrasyonel sayılar kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Yayınlanma:
İrrasyonel sayılar kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz. konu ile ilgili detaylı bilgilere yazımızın devamından okuyabilirsiniz.
Soru: İrrasyonel sayılar kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz. Kısa Cevap: İrrasyonel sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir. Çözüm: İrrasyonel sayılar kümesinden iki sayı seçelim:
√3 ∈ ℚ′ ve √12 ∈ ℚ′
Bu iki irrasyonel sayıyı bölelim:
√12 / √3
= √(12/3)
= √4
= 2
2 bir rasyonel sayıdır ve irrasyonel sayılar kümesinin elemanı değildir.
2 ∉ ℚ′ Sonuç: İki irrasyonel sayının bölümü her zaman irrasyonel sayı olmayabilir. Bu nedenle irrasyonel sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir.
√3 ∈ ℚ′ ve √12 ∈ ℚ′
Bu iki irrasyonel sayıyı bölelim:
√12 / √3
= √(12/3)
= √4
= 2
2 bir rasyonel sayıdır ve irrasyonel sayılar kümesinin elemanı değildir.
2 ∉ ℚ′ Sonuç: İki irrasyonel sayının bölümü her zaman irrasyonel sayı olmayabilir. Bu nedenle irrasyonel sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir.
Neden Tek Örnek Yeterli? Kapalılık, kümenin herhangi iki uygun elemanı için sonucun yine aynı kümede kalmasını gerektirir. Bu kurala uymayan yalnızca bir karşıt örnek bulunması bile kümenin o işleme göre kapalı olmadığını göstermeye yeterlidir.
Karşıt Örnek: √12 / √3 = 2 √12 ve √3 irrasyonel olmasına rağmen bölümün sonucu 2 ∈ ℚ olur. Böylece kapalılık özelliğinin sağlanmadığı doğrudan görülür.
Açıklamalar ve Örnek Cevaplar
İrrasyonel sayılar bölme işlemine göre kapalı mıdır?
Hayır. İki irrasyonel sayının bölümü rasyonel sayı olabilir. Örneğin √12 / √3 = 2'dir.
√12 irrasyonel sayı mıdır?
Evet. √12 = 2√3'tür. √3 irrasyonel olduğundan 2√3 de irrasyoneldir.
Karşıt örnek ne işe yarar?
Bir önermenin bütün durumlarda doğru olmadığını göstermek için kullanılır. Kapalılıkta tek bir karşıt örnek, kümenin o işleme göre kapalı olmadığını kanıtlamaya yeterlidir.
KİTABIN TÜM CEVAPLARI
9. Sınıf Matematik 1. ve 2. kitaptaki diğer konu, etkinlik ve sayfa cevaplarına 9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları MEB Yayınları ana sayfasından ulaşabilirsiniz.
SORU & CEVAP
Türkçe karakter kullanılmayan ve büyük harflerle yazılmış yorumlar onaylanmamaktadır.