İrrasyonel sayılar kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.

Soru : İrrasyonel sayılar kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.

Ödev cevabı kısaca : İrrasyonel sayılar kümesi, bölme işlemine göre kapalı değildir. Örneğin, iki irrasyonel sayı olan √2 ve √2'yi böldüğümüzde sonuç 1 olur, bu ise rasyonel bir sayıdır. Bu yüzden irrasyonel sayılar bölme işleminde her zaman irrasyonel sonuç vermez.

İrrasyonel sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir.

Bunu göstermek için bir karşıt örnek kullanabiliriz.

√3 ve √12 irrasyonel sayılar olsun.
Bu iki sayıyı birbirine bölelim:

√12 ÷ √3 = √(12/3) = √4 = 2

Sonuç 2, yani bir rasyonel sayıdır.
Bu durumda irrasyonel ÷ irrasyonel = rasyonel olabildiği için
irrasyonel sayılar kümesi bölmeye göre kapalı değildir.

Matematiksel Gösterim:

√3, √12 ∈ Q′
√12 ÷ √3 = 2 ∉ Q′

Dolayısıyla, a, b ∈ Q′ için (a ÷ b) ∉ Q′ olabilir.
Bu yüzden Q′ kümesi (irrasyonel sayılar kümesi) bölme işlemine göre kapalı değildir.

Kısa Bilgi:

Bir küme kapalı olsaydı, o kümedeki herhangi iki elemanın bölümü yine aynı kümede olmalıydı.
Ancak burada sonucu irrasyonel olmayan bir sayı (2) elde ettik, bu nedenle kapalılık bozuldu.