9. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 112-113 Cevapları Meb Yayınları
Fonksiyonların Parçalı Gösterimi – Tam Çözüm (Sayfa 112-113)
Soru 1 - f fonksiyonunun tablo ve grafik temsilinden yararlanarak cebirsel gösterimini nasıl elde edebiliriz? f fonksiyonu tek bir cebirsel temsille ifade edilebilir mi? Açıklayınız.
Cevap: Grafikteki ısınma süreci beş farklı evreden oluşur. Her evrede sıcaklık zamana bağlı olarak sabit hızla değişir, fakat evre değiştiğinde bu hız da değişir. Bu nedenle her bölüm için ayrı bir doğru tanımlanır. Isınma süreci boyunca tek bir kural geçerli olmadığından tek bir cebirsel ifadeyle değil, parçalı fonksiyon biçiminde ifade edilir.
Soru 2 - f fonksiyonunun tablo temsili yardımıyla suyun her bir hâl değişimi evresinde dakikabaşı sıcaklıktaki değişim miktarlarını hesaplayınız. Grafik temsilinden yararlanarak zaman ve sıcaklık aralıklarını belirleyiniz ve tabloyu doldurunuz.
| Suyun Hâli | Dakikabaşı Sıcaklık Değişimi (°C/dk) | Zaman (dk) Aralığı | Sıcaklık (°C) Aralığı | Cebirsel Temsil |
|---|---|---|---|---|
| Buz | 4 | 0 ≤ t < 5 | −20 ≤ T ≤ 0 | f(t) = 4(t − 5) |
| Buz ve Su | 0 | 5 ≤ t < 20 | T = 0 | f(t) = 0 |
| Su | 5 | 20 ≤ t < 40 | 0 ≤ T ≤ 100 | f(t) = 5(t − 20) |
| Su ve Buhar | 0 | 40 ≤ t < 60 | T = 100 | f(t) = 100 |
| Buhar | 1 | 60 ≤ t ≤ 80 | 100 ≤ T ≤ 120 | f(t) = t + 40 |
Soru 3 - Elde ettiğiniz fonksiyonlar yardımıyla f fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini bularak cebirsel temsilleri ifade ediniz. Oluşturduğunuz temsilleri grafik üzerinde gösteriniz.
Parçalı Fonksiyonun Tam Hali:
⎧ 4(t − 5) , 0 ≤ t < 5
⎪ 0 , 5 ≤ t < 20
⎨ 5(t − 20) , 20 ≤ t < 40
⎪ 100 , 40 ≤ t < 60
⎩ t + 40 , 60 ≤ t ≤ 80
Tanım Kümesi: [0, 80]
Görüntü Kümesi: [−20, 120]
Grafikte her aralık bir doğru parçası şeklinde gösterilir.
Bu parçaların uçları süreç değişimlerini temsil eder (örneğin 5. ve 20. dakikalar hâl değişimi anlarıdır).
Soru 4 - Parçalı gösterimli fonksiyonların cebirsel temsillerini nasıl oluşturabileceğimizi açıklayınız.
- Süreci zamana göre alt aralıklara ayırırız.
- Her aralıkta sıcaklık değişiminin oranını (eğim) m = Δy / Δx formülüyle buluruz.
- Başlangıç noktası (t₀, y₀) kullanılarak y = m(t − t₀) + y₀ biçiminde doğru denklemi oluşturulur.
- Her aralık için farklı denklem yazılarak parçalı fonksiyon biçimi elde edilir.
- Her parçanın geçerli olduğu aralık belirtilir ve uç noktaların kapalı ya da açık olup olmayacağı fiziksel duruma göre belirlenir.
Soru 5 -Parçalı gösterimli fonksiyonların hangi problem durumlarında ve nasıl kullanılabileceğini açıklayınız.
Cevap: Parçalı gösterimli fonksiyonlar, farklı koşullarda farklı kuralların geçerli olduğu durumlarda kullanılır.
Bunlara örnek olarak:
- Isınma, soğuma, hâl değişimi süreçleri,
- Basamaklı vergi tarifeleri,
- Kademeli elektrik, su veya otopark ücretlendirmeleri,
- Farklı hız sınırlarına sahip yolculuklar,
- Makine ve cihazların çalışma kademeleri verilebilir.
Bu tür durumlarda her aralıkta farklı kural geçerli olduğu için parçalı fonksiyonlar süreci doğru ve gerçekçi biçimde ifade eder.
Genel Sonuç
Isınma süreci beş evreden oluşmuştur:
buz, erime, su, kaynama, buhar.
Her evrede sıcaklığın zamana göre değişimi farklı bir eğime sahip olduğu için f fonksiyonu parçalı doğrusal fonksiyon olarak tanımlanır.
Türkçe karakter kullanılmayan ve büyük harflerle yazılmış yorumlar onaylanmamaktadır.