7. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 47-48 Cevapları MEB Yayınları

7. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 47-48 Cevapları

7. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 47-48 cevapları, 0,999… devirli ondalık gösteriminin 1 sayısına eşit olmasını farklı stratejilerle açıklamaktadır. Etkinliklerde sayı doğrusu, kesirler ve devirli ondalık gösterimler arasındaki ilişkiden yararlanılmaktadır.

Düşün-Tartış-Açıkla 11

0,9999… devirli ondalık gösteriminin 1’e eşit olup olmadığı konusunda hangi öğrencinin görüşüne katılıyorsunuz? Gerekçeleriyle açıklayınız.

Kısa Cevap: Mete’nin görüşü doğrudur. 0,999… devirli ondalık gösterimi 1’e eşittir.

Detaylı Cevap: 0,9, 0,99 ve 0,999 gibi sonlu ondalık gösterimler 1’den küçüktür. Ancak 0,999… gösteriminde 9 rakamları sonsuza kadar devam eder. Böyle bir durumda sayı ile 1 arasında herhangi bir uzaklık kalmaz.

Devirli ondalık gösterim kesre çevrildiğinde:

0,(9) = 9/9 = 1

Bu nedenle 0,999… ve 1 aynı sayının iki farklı gösterimidir.

1. Strateji: A ve B noktalarına karşılık gelen ondalık gösterimleri bulunuz.

Kısa Cevap: A = 0,99 ve B = 0,999

Detaylı Cevap: İlk sayı doğrusunda 0 ile 1 arasındaki aralık onda birlik parçalara ayrılmıştır. 1’den önceki sayı 0,9 olur.

0,9 ile 1 arası tekrar eş parçalara ayrıldığında 1’den önceki nokta 0,99 olur. Bu değer A noktasıdır.

0,99 ile 1 arasındaki aralık yeniden büyütüldüğünde 1’den önceki nokta 0,999 olur. Bu değer de B noktasıdır.

• A noktası = 0,99
• B noktası = 0,999

a) A ve B noktalarına karşılık gelen ondalık gösterimlerden hangisi 1’e daha yakındır? Neden?

Kısa Cevap: B noktası 1’e daha yakındır.

Detaylı Cevap: A noktası 0,99, B noktası ise 0,999 sayısına karşılık gelmektedir. Bu sayıların 1’e olan uzaklıkları şöyledir:

1 − 0,99 = 0,01

1 − 0,999 = 0,001

0,001 sayısı 0,01’den küçük olduğu için B noktasının 1’e olan uzaklığı daha azdır. Bu nedenle B noktası 1’e daha yakındır.

b) 0,999… ifadesinde yer alan 9’ların sonsuza kadar devam ettiğini düşündüğünüzde bu sayı hangi sayıya karşılık gelir?

Kısa Cevap: 1 sayısına karşılık gelir.

Detaylı Cevap: Virgülden sonraki 9 rakamlarının sayısı arttıkça sayının 1’e olan uzaklığı küçülür:

• 0,9’un 1’e uzaklığı 0,1’dir.
• 0,99’un 1’e uzaklığı 0,01’dir.
• 0,999’un 1’e uzaklığı 0,001’dir.

9 rakamları sonsuza kadar devam ettiğinde 1 ile sayı arasındaki uzaklık sıfır olur. Dolayısıyla 0,999… = 1 eşitliği elde edilir.

2. Strateji: 0,999… devirli ondalık gösterimine karşılık gelen rasyonel sayıyı a/b biçiminde yazınız. Elde ettiğiniz sonucu 1 ile karşılaştırınız.

Kısa Cevap: 0,999… = 9/9 = 1

Detaylı Cevap: 0,999… sayısında yalnızca 9 rakamı devretmektedir. Devirli ondalık gösterimi kesre çevirme kuralına göre devreden rakam paya, bir basamak devrettiği için 9 ise paydaya yazılır:

0,(9) = 9/9

9/9 = 1 olduğundan 0,999… devirli ondalık gösterimi 1 sayısına eşittir.

3. Strateji: 1/3 sayısının yerine bu sayının devirli ondalık gösterimi olan 0,3333… sayısını yazınız. Bu sayıyı 3 ile çarparak elde ettiğiniz sonucun 1’e eşit olmasını yorumlayınız.

Kısa Cevap: 0,333… × 3 = 0,999… = 1

Detaylı Cevap: 1/3 kesrinin devirli ondalık gösterimi 0,333… şeklindedir:

1/3 = 0,333…

Eşitliğin iki tarafı 3 ile çarpılır:

1/3 × 3 = 0,333… × 3

1 = 0,999…

Bu işlem de 0,999… devirli ondalık gösteriminin 1’e eşit olduğunu doğrulamaktadır.

a) Stratejileri uyguladıktan sonra Sena ve Mete’nin görüşlerinden hangisine katıldığınızı yazınız.

Kısa Cevap: Mete’nin görüşüne katılıyorum.

Detaylı Cevap: Sayı doğrusu, kesre çevirme ve 1/3 sayısını 3 ile çarpma stratejilerinin tamamı aynı sonucu vermektedir. Bu stratejilere göre 0,999… sayısı 1’e eşittir. Bu nedenle Mete’nin görüşü doğrudur.

b) Başlangıçtaki görüşünüz ile stratejileri uyguladıktan sonraki görüşünüz arasında değişiklik var mı? Cevabınız evet ise sebebini açıklayınız.

Kısa Cevap: Başlangıçta 0,999… sayısının 1’den küçük olduğunu düşünmüş olabilirim. Ancak uygulanan stratejiler sonucunda 0,999… sayısının 1’e eşit olduğunu öğrendim.

Detaylı Cevap: Sonlu bir ondalık sayı olan 0,999 gerçekten 1’den küçüktür. Fakat 0,999… gösteriminde 9 rakamlarının sonsuza kadar devam etmesi iki sayı arasındaki farkı sıfıra indirir. Ayrıca 0,(9) = 9/9 ve 9/9 = 1 olduğundan görüşüm Mete’nin görüşü yönünde değişmiştir.

4,(9) devirli ondalık gösterimi hangi rasyonel sayıya eşittir?

Kısa Cevap: 4,(9) = 5

Detaylı Cevap: 0,(9) sayısının 1’e eşit olduğunu biliyoruz. Buna göre:

4,(9) = 4 + 0,(9)

4,(9) = 4 + 1 = 5

Uygulayalım 18

AB ve CD iki basamaklı doğal sayılar ve 1,(AB) = 51/33 ve 0,(CD) = 70/77 olduğuna göre AB/CD’nin ondalıklı gösterimini bulunuz.

Kısa Cevap: AB/CD = 0,6

Detaylı Cevap: Öncelikle verilen kesirlerin devirli ondalık gösterimleri bulunur.

51/33 = 17/11

17/11 = 1,545454… = 1,(54)

Buradan AB = 54 bulunur.

İkinci kesri sadeleştirelim:

70/77 = 10/11

10/11 = 0,909090… = 0,(90)

Buradan CD = 90 bulunur.

AB/CD oranı hesaplanır:

AB/CD = 54/90

Kesir 18 ile sadeleştirilir:

54/90 = 3/5

3/5 = 0,6

Bu nedenle AB/CD’nin ondalık gösterimi 0,6dır.