9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Sayfa 69-70 Cevapları Meb Yayınları

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları – MEB Yayınları (2. Kitap) Sayfa 69-70

12. Uygulama: Pisagor Teoremi Cevaplar

Pisagor Teoremi’ne göre dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir: a² + b² = c². Bu teorem, Öklid teoremleri ve benzer üçgenler kullanılarak ispatlanabilir; ayrıca genişletilerek dar/geniş açı–kenar ilişkileri çıkarılır.

1. Soru - Teoremi inceleyiniz.

Teorem: Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.
Verilenler: ACB bir dik üçgen, m(∠ACB) = 90°, |BC| = a birim, |AC| = b birim ve |AB| = c birim
İspatlanacak ifade: a² + b² = c²

ACB dik üçgeninde:

• BC = a ve AC = b dik kenarlardır.
• AB = c hipotenüstür.

Pisagor teoremine göre: a² + b² = c²
Yani dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesini verir.

2. Soru: Teoremin Öklid teoremi kullanılarak nasıl ispatlanabileceğine ilişkin fikrinizi sınıf arkadaşlarınızla paylaşınız.

Hipotenüse indirilen yükseklik çizilerek hipotenüs p ve k olmak üzere iki parçaya ayrılır. Öklid teoreminden:

• b² = a·k ve c² = a·p benzeri bağıntılar elde edilir (burada hipotenüs a gibi düşünülür).
  Bu iki bağıntı toplanınca, dik kenar kareleri toplamının hipotenüs karesine eşit olduğu (Pisagor) sonucu çıkar.

3. Soru: Gerekli çizimleri Öklid teoremine uygun olarak yapınız ve elde ettiğiniz dik üçgenler ile ACB dik üçgeni arasında herhangi bir benzerlik kuralının olup olmadığını tespit ediniz. Varsa ulaştığınız benzerlik kuralını yazınız.

• ACB dik üçgeninde C’den hipotenüse (AB’ye) bir yükseklik indirilir ve ayak noktası H olsun.
• Böylece iki yeni dik üçgen oluşur: ACH ve BCH.

Bu üçgenlerde:

• Hepsinde birer dik açı vardır.
• Ayrıca büyük üçgenin A veya B açısı, küçük üçgenlerde aynen bulunur.

Bu nedenle: ΔACB ~ ΔACH ~ ΔBCH
Benzerlik kuralı: A-A (Açı-Açı) benzerliği

4. Soru - Üçüncü adımda yaptığınız çizim sonucunda ACB dik üçgeni içinde elde ettiğiniz iki farklı dik üçgen ile ACB dik üçgeni arasında belirlediğiniz benzerlik kurallarına uygun olarak aynı adlı kenarlar arasındaki ilişkiyi yazınız.

Hipotenüs AB üzerinde:

• AH = p
• HB = k
• AB = p + k = c

Benzerliklerden Öklid bağıntıları elde edilir:

ΔACH ~ ΔACB benzerliğinden:

• AC² = AB · AH
• b² = c · p

ΔBCH ~ ΔBCB (ya da ΔACB) benzerliğinden:

• BC² = AB · HB
• a² = c · k

Bu iki eşitliği toplayalım: a² + b² = c·k + c·p = c(k + p) = c·c = c²

Böylece Pisagor: a² + b² = c² elde edilir.

5. Soru - Teoremin ispatının tamamlanıp tamamlanmadığına ilişkin fikrinizi ispat sürecinde takip ettiğiniz adımlardan hareketle gerekçelendirerek açıklayınız ve arkadaşlarınızla tartışınız.

İspat tamamlanmıştır; çünkü hipotenüse indirilen yükseklikle oluşan iki küçük dik üçgenin büyük üçgenle A-A benzer olduğu gösterilmiş, buradan a² = c·k ve b² = c·p bağıntıları çıkarılmıştır. Sonrasında bu bağıntılar toplanarak doğrudan a² + b² = c² sonucuna ulaşılmıştır.

6. Soru - Bulduğunuz bağıntıyı kullanarak aşağıda verilen soruları cevaplayınız.

6(a) Soru : Üçgenin bir iç açısının ölçüsü 90°’den büyükse bu açının karşısındaki kenar uzunluğu ile diğer kenarlar arasındaki ilişkiyi bulunuz.

Bir üçgende en büyük açı karşısında en uzun kenar bulunur.
Eğer bir açı 90°’den büyükse (geniş açı), o açı karşısındaki kenar en uzundur ve Pisagor karşılaştırmasıyla:

Geniş açının karşısındaki kenar c ise: c² > a² + b²
Yani hipotenüs gibi davranır ama daha da büyüktür (kareleri toplamından büyük).

6(b) Soru : Üçgenin bir iç açısının ölçüsü 90°’den küçükse bu açının karşısındaki kenar uzunluğu ile diğer kenarlar arasındaki ilişkiyi bulunuz.

Eğer bir açı 90°’den küçükse (dar açı), bu açı karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından küçük olur.

Dar açının karşısındaki kenar c ise: c² < a² + b²