10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 49-50 Cevapları MEB, 13. Uygulama kapsamında üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktası ile çevrel çemberin merkezi arasındaki ilişkinin incelendiği çalışmaların cevaplarını içermektedir.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 49 Cevapları
13. Uygulama – Üçgenin Kenar Orta Dikmeleri ve Çevrel Çemberinin Merkezi
Bu uygulamada ABC üçgeninin iki kenarına ait kenar orta dikmeler çizilerek kesim noktası O olarak belirlenmektedir. Daha sonra O noktasının üç köşeye olan uzaklıkları karşılaştırılmaktadır.
Soru: 1. Öğretmeniniz rehberliğinde 6 kişilik gruplara ayrılınız. Bir üçgende herhangi iki kenar orta dikmenin kesim noktası ile üçüncü kenar orta dikme arasındaki ilişkiyi grup arkadaşlarınızla birbirinizin düşüncelerini ve bakış açılarını anlamaya çalışarak tartışınız. Uzlaştığınız fikirlerden yola çıkarak varsayımlarda bulununuz. Kısa Cevap: Herhangi iki kenar orta dikmenin kesim noktasının üçüncü kenar orta dikme üzerinde de bulunduğunu düşünüyoruz. Detaylı Cevap: AB’nin kenar orta dikmesi üzerindeki O noktası A ve B’ye, AC’nin kenar orta dikmesi üzerinde bulunduğu için de A ve C’ye eşit uzaklıktadır. Böylece |OA| = |OB| = |OC| olur ve O noktası BC’nin kenar orta dikmesi üzerinde de bulunur.
Soru: 2. Yaptığınız varsayımlardan hareketle genellemelerinizi oluşturunuz. Örnek Cevap: Bir üçgende üç kenar orta dikme tek bir noktada kesişir. Bu ortak nokta üçgenin köşelerine eşit uzaklıktadır.
3. Soru: Matematik yazılımında |OA|, |OB| ve |OC| uzunluklarını hesaplayarak tabloyu doldurunuz ve farklı üçgenler için sonuçları karşılaştırınız. Kısa Cevap: Her üçgende |OA| = |OB| = |OC| olur. Sayısal uzunluklar ise çizdiğiniz üçgene göre değişir. Örnek Ölçüm: Yazılımda A(0, 0), B(6, 0) ve C(0, 8) noktalarını seçelim. Kenar orta dikmeler O(3, 4) noktasında kesişir. | Çizilen Üçgen | |OA| | |OB| | |OC| |
| A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8) | 5 birim | 5 birim | 5 birim |
Çözüm: O noktasının her köşeye olan yatay ve düşey uzaklıklarının büyüklükleri 3 ve 4 birimdir. Pisagor bağıntısıyla √(3² + 4²) = √25 = 5 birim bulunur. Not: Bu değerler örnek olarak seçilen üçgene aittir. Kendi çiziminizde ölçtüğünüz değerleri tabloya yazınız. Üçgen değiştiğinde uzunluklar değişebilir; üç uzaklığın eşitliği korunur. Soru: 4. Bir üçgende iki kenar orta dikmenin kesim noktası ile üçüncü kenar orta dikme arasındaki ilişkiye dair önermenizi ifade ediniz. Cevap: Bir üçgende herhangi iki kenar orta dikmenin kesim noktası, üçüncü kenar orta dikme üzerinde de bulunur. Dolayısıyla üç kenar orta dikme tek noktada kesişir.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 50 Cevapları
Soru: 5. Bir üçgende kenar orta dikmelerin kesim noktasının üçgenin çevrel çemberinin merkezi ile ilişkisini ifade ediniz. Cevap: Üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktası, çevrel çemberin merkezidir. Bu nokta üçgenin üç köşesine de eşit uzaklıktadır:
|OA| = |OB| = |OC|
Soru: 6. Üç markete de eşit uzaklıkta olacak şekilde kurulacak deponun yerini belirleyiniz.
Soru: a) Haritada üç noktanın her birine eşit uzaklıkta olan noktanın nasıl belirlenebileceğini açıklayınız. Çözüm: A, B ve C noktaları bir üçgenin köşeleri olarak düşünülür. Örneğin AB ve AC doğru parçalarının kenar orta dikmeleri çizilir. Bu iki kenar orta dikmenin kesiştiği O noktası, A, B ve C noktalarına eşit uzaklıktadır. Depo O noktasına kurulmalıdır.
Soru: b) Haritayı iki farklı yerden katlayarak üç noktaya da eşit uzaklıkta olan noktanın nasıl bulunabileceğini yazınız. Çözüm:
1. Harita, A ve B noktaları üst üste gelecek biçimde katlanır. Oluşan kat izi [AB]'nin kenar orta dikmesidir.
2. Daha sonra harita, örneğin A ve C noktaları üst üste gelecek biçimde katlanır. İkinci kat izi [AC]'nin kenar orta dikmesidir.
3. İki kat izinin kesiştiği nokta A, B ve C'ye eşit uzaklıktadır. Depo bu noktaya yerleştirilmelidir.
11. Örnek – Üçgen Tabloların Yüksekliği
Soru: Bir odanın duvarına ikizkenar üçgen biçiminde birbirine eş iki dekoratif tablo, zemine uzaklıkları eşit olacak şekilde asılmıştır. Tabloların 120 cm uzunluğundaki taban kenarları zemine paraleldir. Tablolardan biri ağırlık merkezi olan G noktasından, diğeri çevrel çemberinin merkezi olan O noktasından asılmıştır. G ve O noktalarının zemine uzaklıkları sırasıyla 160 cm ve 200 cm olduğuna göre tabloların yüksekliğinin kaç santimetre olduğunu bulunuz.
Kısa Cevap: Tabloların yüksekliği 180 cm olur.
Çözüm:
1. Ağırlık merkezinden yararlanalım. Tabloların yüksekliğine h diyelim. Ağırlık merkezi, yüksekliği tabandan itibaren h/3 uzaklıkta böler. Bu nedenle tabloların en alt noktalarının zemine uzaklığı 160 − h/3 cm olur.
2. Çevrel çemberin yarıçapını bulalım. Sağdaki tabloda O noktasının alt köşeye uzaklığı çevrel çemberin yarıçapıdır. Bu uzunluğa R dersek:
R = 200 − (160 − h/3) = 40 + h/3
3. Pisagor bağıntısını kullanalım. Sağdaki üçgenin üstteki taban kenarının orta noktası M olsun. İkizkenar üçgende O noktası simetri ekseni üzerindedir. Tabanın yarısı 60 cm, O ile M arasındaki uzaklık h − R ve O noktasının tabanın bir ucuna uzaklığı R olur.
R² = (h − R)² + 60²
Parantezi açıp sadeleştirelim: 2hR = h² + 3600
R yerine bulduğumuz ifadeyi yazalım: 2h(40 + h/3) = h² + 3600
Düzenleyelim: h² − 240h + 10800 = 0
Çarpanlarına ayıralım: (h − 60)(h − 180) = 0
4. Şekle uygun değeri seçelim. h = 60 cm alınırsa R = 60 cm olur ve O noktası üstteki taban kenarının üzerinde kalır. Ancak şekilde O noktası üçgenin içindedir. Bu nedenle uygun değer h = 180 cm olur.
Kontrol: Alt kenarın zemine uzaklığı 160 − 180/3 = 100 cm, yarıçap ise 40 + 180/3 = 100 cm bulunur. Böylece G noktasının yüksekliği 160 cm, O noktasının yüksekliği 200 cm olur.
Türkçe karakter kullanılmayan ve büyük harflerle yazılmış yorumlar onaylanmamaktadır.