Gerçek sayılarda sıralama özellikleri yardımıyla x, y, m ve n ∈ R olmak üzere x < y ve m < n için x + m

Soru: Gerçek sayılarda sıralama özellikleri yardımıyla x, y, m ve n ∈ ℝ olmak üzere x < y ve m < n için x + m < y + n olup olmadığını cebirsel olarak ispatlayınız. Kısa Cevap: Evet, x + m < y + n olur. İspat:
1. adım: x < y eşitsizliğinin iki tarafına m ekleyelim.
x + m < y + m

2. adım: m < n eşitsizliğinin iki tarafına y ekleyelim.
y + m < y + n

3. adım: Elde edilen iki eşitsizliği birlikte yazalım.
x + m < y + m < y + n

Sıralamanın geçişme özelliğine göre;
x + m < y + n
sonucuna ulaşılır. Sonuç: x < y ve m < n ise x + m < y + n önermesi doğrudur.

Neden Böyle? Eşitsizliğin iki tarafına aynı gerçek sayı eklendiğinde sıralama değişmez. Bu nedenle x < y eşitsizliğine m eklemek x + m < y + m, m < n eşitsizliğine y eklemek ise y + m < y + n sonucunu verir. Ortadaki y + m ortak olduğundan geçişme özelliği kullanılır.

Sayısal Kontrol: x = 2, y = 5, m = 3 ve n = 7 seçelim. Kontrol:
2 < 5 ve 3 < 7
2 + 3 = 5
5 + 7 = 12
5 < 12
Sayısal örnek de önermeyi desteklemektedir.

Açıklamalar ve Örnek Cevaplar

x < y eşitsizliğinin iki tarafına m eklenirse ne olur?

Eşitsizliğin iki tarafına aynı sayı eklendiği için sıralama değişmez ve x + m < y + m elde edilir.

m < n eşitsizliğine neden y ekleniyor?

Amaç, ilk eşitsizlikte elde edilen y + m ifadesiyle ortak bir ara ifade oluşturmaktır. Böylece y + m < y + n elde edilerek geçişme özelliği kullanılabilir.

Geçişme özelliği burada nasıl kullanılır?

x + m < y + m ve y + m < y + n olduğuna göre x + m < y + n sonucuna ulaşılır.

KİTABIN TÜM CEVAPLARI

9. Sınıf Matematik 1. ve 2. kitaptaki diğer konu, etkinlik ve sayfa cevaplarına 9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları MEB Yayınları ana sayfasından ulaşabilirsiniz.