9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Sayfa 140 Cevapları Meb Yayınları

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 140 Cevapları (MEB Yayınları)

Alıştırmalar – Çarpımı Sıfır Olan Sayılar (Detaylı ve Özenli Anlatım)

Soru 1: “Çarpımı sıfır olan iki gerçek sayıdan en az biri sıfırdır.” önermesi veriliyor. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Önermenin doğruluğunu ispatlayınız.

Kısa Cevap: a · b = 0 ise mutlaka a = 0 veya b = 0’dır.

a ve b birer gerçek sayı olsun.

Verilen: a · b = 0

Matematikte temel bir kural vardır:
Sıfırdan farklı iki sayının çarpımı asla sıfır olamaz.

Bu nedenle:

• Eğer a ≠ 0 ise → b = 0 olmalıdır
• Eğer b ≠ 0 ise → a = 0 olmalıdır

Başka bir ihtimal yoktur.

Sonuç: a · b = 0 ⇒ a = 0 veya b = 0

Bu da verilen önermenin her durumda doğru olduğunu (genel geçer) gösterir.

b) Yaptığınız cebirsel ispatın her bir adımını sözel olarak ifade ediniz. Mantık bağlaçları ve niceleyiciler açısından çıkarımlarınız nelerdir?

Kısa Cevap: Çarpım sıfırsa sayılardan biri sıfırdır ve bu durum mantık bağlaçları ile ifade edilir.

İspat sürecinde yapılanlar:

1. İki sayı seçilir (a ve b)
2. Bu sayıların çarpımı incelenir
3. Sonuç sıfır ise, nedenleri araştırılır
4. Sayılardan birinin sıfır olduğu sonucuna ulaşılır

Bu süreçte kullanılan mantıksal yapılar:

• Her (∀) → tüm gerçek sayılar için geçerli
• İse (→) → koşul bildirir
• Veya (∨) → alternatif durumları gösterir

Matematiksel ifade: ∀a, b ∈ ℝ için (a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0)

Bu sayede ifade hem doğru hem de genellenebilir hale gelir.

c) Bu ispatı algoritmik olarak ifade ediniz (Algoritmik doğal dil, sözde kod ve akış şeması).

Algoritmik Doğal Dil

Kısa Cevap: İki sayı alınır, çarpımları hesaplanır ve sonuç değerlendirilir.

1. Başla
2. a ve b sayılarını kullanıcıdan al
3. Çarpımı hesapla: c = a · b
4. Koşul kontrolü yap:
   • Eğer c = 0 ise
     → “Sayılardan en az biri sıfırdır” yaz
   • Değilse
     → “Hiçbiri sıfır değildir” yaz
5. Bitir

Sözde Kod (Pseudo Code)

Başla
a, b değerlerini al
c = a * b

Eğer c == 0 ise
Yaz "a = 0 veya b = 0"
Değilse
Yaz "a ve b sıfır değildir"
Bitir

Akış Şeması (Metinsel Gösterim)

Başla → a,b al → c = a·b → c = 0 mı?

Evet → “a veya b sıfırdır” → Bitir
Hayır → “Sıfır değiller” → Bitir

Genel Değerlendirme: Bu soru, matematikte çok önemli bir kural olan “çarpımın sıfır olması” özelliğini hem teorik (cebirsel ispat) hem de uygulamalı (algoritma) olarak anlamamızı sağlar. Özellikle denklem çözerken bu kural sıkça kullanılır ve matematiğin temel taşlarından biridir.