9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Sayfa 138-139 Cevapları Meb Yayınları

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 138 Cevapları (MEB Yayınları)

5. Sıra Sizde Cevapları

Soru a) Üç basamaklı bir doğal sayının 8’e tam bölünüp bölünmediğini gösteren bir önerme yazıp bu önermenin doğruluğunu ispatlayınız.

Kısa Cevap: Bir sayının son üç basamağı 8’e bölünüyorsa sayı 8’e bölünür.

Üç basamaklı sayı: abc = 100a + 10b + c

Bu ifadeyi 8’e göre inceleyelim:
100 = 8·12 + 4
10 = 8·1 + 2

⇒ abc = 8k + (4a + 2b + c)

Yani sayı, 8’in katı + kalan şeklindedir.
Bu nedenle:
abc sayısı 8’e bölünür ⇔ (4a + 2b + c) 8’e bölünür

Bu da son üç basamağa bakma kuralını doğrular.

Soru b) Önermeyi ispatlamak için kullandığınız mantık bağlaçları ve niceleyicilere yönelik çıkarımlarınız ne olur? Açıklayınız.

Kısa Cevap: “Ve”, “ise” bağlaçları ile “her” niceleyicisi kullanılır.

Bu ispatta:

• Her (∀) → tüm üç basamaklı sayılar için geçerlidir
• İse (→) → koşul bildirir
• Ve (∧) → birden fazla şartı bağlar

Örnek ifade: “Bir sayı üç basamaklı ve 8’e bölünüyorsa son üç basamağı da 8’e bölünür.”

Soru c) İspat adımlarından hareketle üç basamaklı bir doğal sayının 8’e tam bölünüp bölünmediğini bulan bir algoritmanın işleyişini akış şeması ile ifade ediniz.

Kısa Cevap: Sayı alınır, 8’e bölünür, kalan kontrol edilir.

Algoritmik Doğal Dil:

1. Başla
2. Üç basamaklı sayı al (abc)
3. abc sayısını 8’e böl
4. Kalanı kontrol et
5. Eğer kalan = 0 ise → “8’e bölünür” yaz
6. Değilse → “8’e bölünmez” yaz
7. Bitir

11. Uygulama Cevapları

Soru 1: Artanlığın tanımından faydalanarak “∀a > 0 için f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyon artandır.” önermesinin doğruluğunu ispatlayınız.

Kısa Cevap: a > 0 ise fonksiyon artandır.

x₁ < x₂ olsun

f(x₁) = ax₁ + b
f(x₂) = ax₂ + b

Çıkarma: f(x₂) − f(x₁) = a(x₂ − x₁)

a > 0 ve (x₂ − x₁) > 0 olduğundan:
f(x₂) > f(x₁)

Fonksiyon artandır.

Soru 2: Yaptığınız cebirsel ispatın adımlarının her birini sözel olarak ifade ediniz.

Kısa Cevap: Küçük sayı küçük sonuç, büyük sayı büyük sonuç verir.

1. İki sayı seçilir (biri küçük biri büyük)
2. Fonksiyonda yerine yazılır
3. Sonuçlar karşılaştırılır
4. Büyük sayının sonucu daha büyük çıkar

Bu da fonksiyonun artan olduğunu gösterir.

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 139 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru 3: Elde ettiğiniz sözel ifadelerden faydalanarak ispatın aşamalarını ifade eden bir algoritmanın işleyişini algoritmik doğal dil ve akış şeması yardımıyla ifade ediniz.

Kısa Cevap: İki sayı alınır, fonksiyonda yerine yazılır ve karşılaştırılarak artanlık belirlenir.

Algoritmik Doğal Dil:

1. Başla
2. Girdi al: İki reel sayı seç (m ve n)
3. Koşul: m < n olacak şekilde belirle
4. Fonksiyonları hesapla:
   • f(m) = a·m + b
   • f(n) = a·n + b
5. Karşılaştır:
   • Eğer f(m) < f(n) ise → fonksiyon artandır
   • Değilse → fonksiyon azalandır
6. Sonucu yazdır
7. Bitir

Akış Şeması (Metinsel Gösterim):

Başla → m,n al → m < n mi? → Evet → f(m), f(n) hesapla → f(m) < f(n)? →
Evet → Artan → Bitir
❌ Hayır → Azalan → Bitir

Soru 4: Cebirsel, sözel ve algoritmik yaklaşımla ifade edilen ispat sürecinde mantık bağlaçları ve niceleyicilere neden ihtiyaç duyulduğunu açıklayınız.

Kısa Cevap: Doğru ve tutarlı sonuçlara ulaşmak için mantık bağlaçlarına ihtiyaç vardır.

İspat yaparken:

• Mantık bağlaçları (ve, veya, ise) → koşulları doğru şekilde bağlar
• Niceleyiciler (her, bazı) → genelleme yapmayı sağlar

Örneğin:
“Her x için eğer x₁ < x₂ ise f(x₁) < f(x₂)”

Bu yapı olmadan:

• İspat eksik olur
• Yanlış sonuçlara ulaşılabilir

Sonuç: Mantık bağlaçları ve niceleyiciler, ispatın doğru, açık ve genel geçer olmasını sağlar.