9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Sayfa 114-115-116 Cevapları Meb Yayınları

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 114 Cevapları (MEB Yayınları)

3. Uygulama: Kütlesi Farklı Parayı Bulma Problemi

Soru 1: Aynı ebatlara sahip n tane bozuk para içinden kütlesi farklı olan 1 tanesi en az kaç tartımla kesin olarak bulunabilir? Varsayımlarınızı oluşturunuz.

Kısa Cevap: n = 2ᵏ ise k tartım, n = 3ᵐ ise m tartım gerekir.

Eşit kollu terazide her tartım, olasılıkları azaltır.

• Paralar 2 gruba ayrılırsa, her tartımda yarıya iner → 2ᵏ yöntemi
• Paralar 3 gruba ayrılırsa, daha hızlı eleme yapılır → 3ᵐ yöntemi

Bu nedenle en az tartım için en verimli yöntem 3’e bölme yöntemidir.

Soru 2: n sayısının alabileceği farklı tam sayı değerleri için varsayımlarınızı aşağıdaki tabloyu tamamlayarak doğrulayınız. Ardından tartım sayısı ile ilgili genelleme oluşturunuz.

Kısa Cevap: 3’ün kuvvetlerinde tartım sayısı daha azdır.

• 3, 9, 27, 81 → daha az tartım
• 2, 4, 8, 16, 32, 64 → daha fazla tartım

Bu tablo, üçe bölerek ilerlemenin daha hızlı sonuç verdiğini gösterir.

Soru 3: Varsayımlarınızla genellemelerinizi karşılaştırarak bir önerme şeklinde ifade ediniz. Birden fazla önermeye ulaştıysanız her birini ayrı cümlelerle ifade ediniz.

• n = 2ᵏ ise en az k tartım gerekir.
• n = 3ᵐ ise en az m tartım gerekir.

Detaylı Cevap: Terazi problemlerinde amaç, her adımda en fazla eleme yapmaktır.

• İkiye bölme → daha fazla adım
• Üçe bölme → daha az adım

Bu yüzden en az tartım sayısı yaklaşık olarak n sayısının 3 tabanına göre logaritmasına eşittir.

Soru 4: Elde ettiğiniz önermelerden birini seçerek aynı ebatlara sahip n tane bozuk para içinden kütlesi farklı olan 1 tanesini en az kaç tartımla belirleyebileceğini bulan algoritmanın işleyişini algoritmik doğal dil ile ifade ediniz.

Kısa Cevap: Paraları üç gruba ayır, tart, farklı olan grubu seç ve işlemi tekrar et.

(Algoritma):

1. Başla
2. Paraları 3 eş gruba ayır
3. İki grubu terazide tart
4. Sonuca göre farklı olan grubu belirle
5. Aynı işlemi seçilen grup için uygula
6. Tek para kalana kadar devam et
7. Bitir

Soru 5: Hazırladığınız algoritmayı farklı n değerleri için uygulayınız. Her bir durum için en az tartım sayısını hesaplayınız ve sonuçları karşılaştırınız.

• 8 = 2³ → 3 tartım
• 27 = 3³ → 3 tartım
• 8 para → ikiye bölerek ilerlenir → 3 tartım gerekir
• 27 para → üçe bölerek ilerlenir → 3 tartım yeterlidir

Bu karşılaştırma, 3’e bölmenin daha etkili bir yöntem olduğunu açıkça gösterir.

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 115 Cevapları (MEB Yayınları)

3. Uygulama Devamı ve 4. Uygulama

Soru 6: Elde ettiğiniz algoritmanın kullanışlılığı, kütlesi farklı olan paranın hafif ya da ağır olmasından etkilenir mi? Açıklayınız.

Kısa Cevap: Etkilenmez.

Detaylı Cevap: Kurulan algoritma, sadece farklı olan parayı bulmaya yöneliktir. Paranın hafif ya da ağır olması sonucu değiştirmez, çünkü terazi her durumda farkı gösterir. Bu nedenle algoritmanın işleyişi ve tartım sayısı değişmez.

Soru 7: Algoritmanın performansını artırmak için hangi stratejileri önerirsiniz? Alternatif algoritma yaklaşımları neler olabilir? Açıklayınız.

Kısa Cevap: Paraları 3 gruba ayırmak en etkili yöntemdir.

Performansı artırmak için:

• Paraları mümkün olduğunca 3 eş gruba ayırmak gerekir.
• Her tartımda en fazla eleme yapılmalıdır.

Alternatif olarak:

• Tek tek tartma yöntemi kullanılabilir (ancak çok verimsizdir).
• İkiye bölerek ilerlemek mümkündür ama daha fazla tartım gerekir.

Bu yüzden en hızlı yöntem 3’e bölme stratejisidir.

Soru 8: Bir otomobil parçaları üreticisi, üretim hattından çıkan vida paketlerinin kalite kontrolünü yapmak için yeni bir test sistemi kurmayı planlamaktadır. Her vida paketinde 1024 vida bulunmaktadır. Her bir vida paketi, belirlenen tolerans aralığındaki kütleye sahip olmalıdır. Elde ettiğiniz algoritma ile 1024 vidanın içindeki 1 hatalı vidayı (hafif ya da ağır) tespit etmek için en az kaç tartım yapılması gerektiğini bulunuz.

Kısa Cevap: 1024 = 2¹⁰ → 10 tartım gerekir.

1024 sayısı 2’nin kuvvetidir (2¹⁰).
İkiye bölerek ilerleyen algoritmada:

• Her tartımda olasılık yarıya iner
• 1024 → 512 → 256 → … → 1

Bu işlem 10 adımda tamamlanır.
Bu yüzden en az 10 tartım gerekir.

Soru 9: Bir ilaç üretim tesisi, yeni geliştirdiği bir ilacın üretim sürecinde kalite kontrolünü sağlamak amacıyla bir test protokolü oluşturmak istemektedir. Her parti, 2187 ilaç kapsülü içermektedir ve bu kapsüllerin her biri, belirlenen etken madde miktarına sahip olmalıdır. Etken maddenin eksik veya fazla olması durumunda ilaç kapsülünün kütlesi etkilenmektedir. Buna göre elde ettiğiniz algoritma ile varsa 1 hatalı (etken maddesi eksik veya fazla) kapsülü tespit etmek için en az kaç tartım yapılması gerektiğini bulunuz.

Kısa Cevap: 2187 = 3⁷ → 7 tartım yeterlidir.

2187 sayısı 3’ün kuvvetidir (3⁷).
3’e bölerek ilerleyen algoritmada:

• Her tartımda seçenekler üçte bire iner
• Bu da çok hızlı eleme sağlar

Bu nedenle yalnızca 7 tartımda hatalı kapsül bulunur.

4. Uygulama: Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama

Soru 1: Kişi sayısı n olduğunda toplam tokalaşma sayısının cebirsel temsilini elde ediniz.

Kısa Cevap: n(n − 1) / 2

Detaylı Cevap: Bir grupta herkes birbirine bir kez tokalaşırsa, her kişi (n − 1) kişiyle tokalaşır.
Ancak bu durum çift sayılır, bu yüzden 2’ye bölünür:

Toplam tokalaşma sayısı = n(n − 1) / 2

Soru 2: Tablo veya cebirsel temsil ile elde ettiğiniz bilgileri sıralı işlem adımlarına dönüştürünüz.

Kısa Cevap: n sayısını al, formülde yerine yaz, sonucu hesapla.

(Algoritma):

1. Başla
2. Kişi sayısını n olarak belirle
3. n(n − 1) / 2 işlemini hesapla
4. Sonucu yaz
5. Bitir

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 116 Cevapları (MEB Yayınları)

4. Uygulama: Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama

Soru 3: Belirlediğiniz işlem adımları ile toplam tokalaşma sayısını bulan algoritmanın işleyişini algoritmik doğal dil, akış şeması ve sözde kodla ifade ediniz.

Kısa Cevap: Toplam tokalaşma sayısını bulmak için kişi sayısı n alınır ve n(n - 1) / 2 formülü uygulanır. Bu işlem algoritmik doğal dil, akış şeması ve sözde kod ile kolayca gösterilebilir.

Algoritmik Doğal Dil:

1. Başla
2. Gruptaki kişi sayısını n olarak belirle
3. n(n - 1) / 2 işlemini yap
4. Bulduğun sonucu toplam tokalaşma sayısı olarak yaz
5. Bitir

Akış Şeması: Başla → Kişi sayısını gir (n) → n(n - 1) / 2 işlemini hesapla → Sonucu yaz → Bitir

Sözde Kod:
Başla
Girdi: n
İşlem: tokalasma = n(n - 1) / 2
Çıktı: tokalasma
Bitir

Soru 4: Hazırladığınız algoritmayı kullanarak 5, 6 ve 7 kişilik gruplar için toplam tokalaşma sayısını hesaplayınız.

• 5 kişi için 10
• 6 kişi için 15
• 7 kişi için 21 tokalaşma olur.

Detaylı Cevap: Formülümüz: n(n - 1) / 2

• 5 kişi için:
  5(5 - 1) / 2 = 5.4 / 2 = 20 / 2 = 10
• 6 kişi için:
  6(6 - 1) / 2 = 6.5 / 2 = 30 / 2 = 15
• 7 kişi için:
  7(7 - 1) / 2 = 7.6 / 2 = 42 / 2 = 21

Buna göre sonuçlar sırasıyla 10, 15 ve 21 olur.

Soru 5: Elde ettiğiniz algoritmanın performansı, kişi sayısı artarsa nasıl etkilenir? Tokalaşacak kişi sayısı n olacak şekilde algoritmanızı yeniden oluşturunuz.

Kısa Cevap: Kişi sayısı arttıkça toplam tokalaşma sayısı da artar. Ancak formül kullanıldığı için işlem düzenli ve hızlı şekilde yapılabilir.

Detaylı Cevap: Kişi sayısı arttığında her yeni kişi, gruptaki diğer kişilerle tokalaşacağı için toplam sayı büyür. Bu artış doğrusal değil, daha hızlı artan bir yapıdadır. Çünkü her kişi birçok kişiyle ayrı ayrı tokalaşır.

n kişi için algoritma:

1. Başla
2. n kişi sayısını al
3. n(n - 1) / 2 işlemini hesapla
4. Sonucu yaz
5. Bitir

Bu algoritma, kişi sayısı kaç olursa olsun toplam tokalaşma sayısını bulmak için kullanılabilir.

Soru 6: Algoritmanızın her durumda doğru yanıt verip vermediğini kontrol ediniz.

Kısa Cevap: Evet, algoritma her durumda doğru sonuç verir.

Detaylı Cevap: Algoritma, tokalaşmanın temel mantığına dayanır. Her kişi diğer n - 1 kişiyle tokalaşır. Ancak aynı tokalaşma iki kez sayılacağı için sonuç 2’ye bölünür. Bu yüzden kullanılan n(n - 1) / 2 formülü her grup için doğru sonuç verir.

Örnek kontrol:

• 2 kişi → 1 tokalaşma
• 3 kişi → 3 tokalaşma
• 4 kişi → 6 tokalaşma

Bu sonuçlar tabloyla da uyumludur. Yani algoritma doğru çalışmaktadır.

Soru 7: Bu problemi çözmek için kullanılabilecek her bir yöntemin (tablo, şema) avantajlarını belirleyiniz.

Kısa Cevap: Tablo, sayıları düzenli görmeyi sağlar; şema ise işlemin aşamalarını açıkça gösterir.

Detaylı Cevap: Bu problemi çözerken farklı yöntemlerin farklı yararları vardır:

Tablonun avantajları:

• Sonuçları sıralı ve düzenli görmeyi sağlar.
• Sayılar arasındaki ilişkiyi fark etmeyi kolaylaştırır.
• Küçük değerlerde hızlı karşılaştırma yapmaya yardımcı olur.

Şemanın avantajları:

• İşlem sırasını adım adım gösterir.
• Algoritmanın mantığını daha açık hale getirir.
• Özellikle görsel öğrenenler için daha anlaşılırdır.

Bu nedenle hem tablo hem de şema, problemin çözümünü kolaylaştıran etkili yöntemlerdir.

Soru 8: Bu yöntemlerden hangisinin daha sistematik ve etkili olduğunu karekoddaki etkileşimli içeriği kullanarak değerlendiriniz.

Kısa Cevap:Daha sistematik ve etkili yöntem formül ve algoritma ile yapılan çözümdür.

Detaylı Cevap: Tablo ve şema konuyu anlamaya yardımcı olur; ancak çok büyük sayılarda en kullanışlı yöntem formül ve algoritma kullanmaktır. Çünkü formül sayesinde her seferinde tek tek saymaya gerek kalmaz. Doğrudan n(n - 1) / 2 işlemi yapılarak sonuca ulaşılır.

Bu nedenle:

• Öğrenmek için: tablo ve şema
• Hızlı ve sistemli çözüm için: formül ve algoritma

en etkili yöntemlerdir. Genel değerlendirmede en sistematik yöntem algoritmik çözüm ve cebirsel formüldür.