10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 89-93 Cevapları Meb Yayınları

1. Tema Sonu Ölçme ve Değerlendirme Soruları (Sayfa 89)

1. Soru – Merdiven Problemi

16 eşit basamaklı taşınabilir bir merdiven, A noktasından zemine, üst ucu B noktasından duvara dayanacak şekilde yerleştirilmiştir.
A ile B noktaları arası 8 metredir ve merdivenin zemine yaptığı açı için tanα = 3/4 olarak verilmiştir.

Soru: Merdivenin bir basamağının genişliği ve yüksekliği kaç santimetredir?

Cevap: tanα = 3/4 olduğundan, her basamak 3–4–5 üçgeni oranındadır.
Bir basamağın yatay uzunluğu 4k, dik yüksekliği 3k’dır.
Merdiven 16 basamaklı olduğuna göre:
16 × 5k = 8 → k = 1/10 m bulunur.
Basamak genişliği = 4k = 0,4 m = 40 cm
Basamak yüksekliği = 3k = 0,3 m = 30 cm

2. Soru – Uçağın Yerden Yüksekliği

Bir kuledeki görevli, yerden belirli yükseklikte uçan bir uçağı radar ile gözlemlemektedir.
Uçak, A noktasından B noktasına 12 km yol almıştır.
Kule ile uçağın konumu arasındaki açıların her biri 30°’dir.

Soru: Uçağın yerden yüksekliği h kaç kilometredir?

Cevap: tan30° = h/x = 1/√3 → h = x/√3
tan30° = h/(x−12) = 1/√3 → h = (x−12)/√3
İki denklem eşitlenirse: x = 18 km
h = 18/√3 = 6√3 km

3. Soru – Bahçe Üçgeni Problemi

Bir bahçede, AC = 120 m, BC = 160 m’dir.
Eren A köşesinden başlayarak sabit hızla yürümektedir.

a) AB yolunun uzunluğu kaç metredir?
b) Eren AB yolunu kaç dakikada yürür?
c) A köşesinden C köşesine doğru yürüdüğünde, AB ve BC kenarlarına eşit uzaklıktaki noktaya kaç saniyede ulaşır?

Cevaplar:

a) AB = 140 m
b) 140 m’lik yol, sabit hızla yüründüğünde 7 dakikada tamamlanır.
c) Eşit uzaklıktaki nokta, B iç açıortusu üzerindedir.
Açıortudan oran kurulur:
AD/DC = AB/BC = 7/8
AC = 120 m → AD = (7/15) × 120 = 56 m
56 m / 20 m/dk = 2,8 dk = 168 saniye

1. Tema Sonu Ölçme ve Değerlendirme Soruları (Sayfa 90)

4. Soru – Hakan’ın Dağ Tırmanışı Problemi

Hakan, dağa tırmanırken iki farklı halat kullanıyor. Mavi halatın uzunluğu 10 m, kırmızı halatın uzunluğu x m’dir.
Mavi halatın zemine yaptığı açı, kırmızı halatın yaptığı açının yarısı kadardır. Ayrıca mavi halatın zemine uzaklığı 4 m, kırmızı halatın ise 6 m’dir.

Çözüm:
tanα = 4/6 = 2/3
tan2α = 10/x
İki kat açı olduğu için oranı ikiyle ilişkilendirirsek, x = 15 bulunur.

Sonuç: Kırmızı halatın uzunluğu 15 metredir.

5. Soru – Sosyal Tesis Noktasının Belirlenmesi

Belediye, park içerisine bir sosyal tesis yapmak istiyor. Bu tesisin müze ve kütüphaneye eşit uzaklıkta olması planlanıyor.

Çözüm: Bu tür sorularda iki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar orta dikme doğrusu üzerinde bulunur.
Ayrıca açı içinde konumlanması gerektiği için bu nokta, açıortay doğrusu ile orta dikme doğrusunun kesiştiği yerdedir.

Sonuç: Sosyal tesis açıortay ve orta dikme doğrularının kesiştiği noktada kurulmalıdır.

6. Soru – Kareli Kâğıt Üzerinde Üçgen Alanları

Kareli kâğıtta A, B, C, D, E, F, G noktaları verilmiştir. [AB] sabit kenardır.

a) En Büyük Alanlı Üçgen:

Üçgenin alanı, [AB] kenarına olan yükseklikle doğru orantılıdır.
Bu nedenle [AB]’ye en uzak olan D noktasıyla oluşturulan üçgenin alanı en büyüktür.

Sonuç: En büyük alan ABD üçgenine aittir.

b) Alanları Eşit Olan Üçgenler:

[AB] kenarına eşit uzaklıktaki noktalarla oluşturulan üçgenlerin alanları birbirine eşittir.
C ve F noktaları [AB]’ye eşit uzaklıktadır.

Sonuç: A(ABC) = A(ABF)

c) Alan Oranı 1/3 Olan Üçgenler:

Alan oranı, yükseklik oranına eşittir.
E ve G noktalarının [AB]’ye olan uzaklıklarının oranı 1/3’tür.

Sonuç: A(ABE) / A(ABG) = 1/3

1. Tema Sonu Ölçme ve Değerlendirme Soruları (Sayfa 91)

7. Soru – Doğal Gaz Boru Hattı Problemi

a) Borunun En Kısa Olacağı Hat

Maliyetin az olması için boru hattı en kısa mesafeden, yani ABC üçgeninde BC kenarına ait yükseklik doğrultusunda döşenmelidir.
[BC] kenarının eğimi 3/4 olduğundan, A noktasından geçecek dik doğru bu doğruya dik olmalı, yani eğimi –4/3 olmalıdır.
A noktasından 3 birim aşağı ve 4 birim sağa gidilirse dik doğru üzerindeki D noktası elde edilir.

Sonuç: Boru hattı AD doğrusu boyunca döşenmelidir.

b) Hat Uzunluğunun Hesaplanması

Boru hattının uzunluğunu bulmak için dik üçgenin kenarlarını kullanırız:
|AD| = √(3² + 4²) = 5 birim.

Ayrıca [BC] = [AC] = 5 birimdir ve her iki kenara olan uzaklık 4 birim olduğundan |AH| = 4 birim olur.

Sonuç: Boru hattı uzunluğu 5 birimdir.

8. Soru – “YOL VER” Trafik Levhası

Levha, birbirine paralel iki eşkenar üçgenden oluşmuştur.
Üçgenlerin çevre oranı 2/3 olduğuna göre, benzerlik oranı da 2/3 olur.

Kırmızı bölge için kullanılan boya miktarı, beyaz bölgeye göre 150 ml fazladır.

Alan oranı, benzerlik oranının karesiyle bulunur:
(2/3)² = 4/9
Fark: 5A – 4A = A → A = 150 ml

Toplam alan 9A = 9 × 150 = 1350 ml

Sonuç: Tüm şekil için kullanılan toplam boya miktarı 1350 ml’dir.

9. Soru – Türk Kızılay Reklam Panosu

Kenarlar:
|AD| = 6 m, |CD| = 8 m, |AC| = 10 m
A noktasındaki mavi led ve C noktasındaki sarı led’in aydınlattığı bölgeler şekilde verilmiştir.

Aydınlatma oranı:
6 / 10 = 3 / 5

Alan hesaplaması:
Mavi üçgen alanı = ½ × 8 × 3 = 12
Sarı üçgen alanı = ½ × 8 × 4 = 15

Ortak alan = 15 – 120/13 = 75/13 m²

Sonuç: A ve C köşelerindeki ledlerin ortak aydınlattığı bölge 75/13 m²’dir.

1. Tema Sonu Ölçme ve Değerlendirme Soruları (Sayfa 92)

Soru 10

Soru: Birbirine paralel ve eşit aralıklar ile çizilmiş doğrulardan oluşan aşağıdaki piramit, canlıların sınıflandırılma basamaklarını ve bu basamaklarda yer alan bireylerin dağılımını ifade etmektedir.
Piramitin her bölümü farklı renklerle boyanarak oluşturulmuştur. Piramidin “Âlem”, “Şube”, “Sınıf” bölümlerinin boyanması için 66 desilitre boya kullanılmıştır.
Buna göre piramitteki “Tür” ve “Familya” bölümleri için kaç desilitre boya kullanılmıştır?

Cevap: Piramit, eşit aralıklı çizgilerle 7 banda ayrılmıştır. Bu bantların alan oranları 13A, 11A, 9A, 7A, 5A, 3A, 1A şeklindedir.
Verilen bilgilere göre:
13A + 11A + 9A = 33A = 66
Buradan A = 2 bulunur.
“Familya” ve “Tür” bölümlerine karşılık gelen katsayı toplamı 6A’dır.
6 × 2 = 12 desilitre boya gerekir.

Sonuç: Piramit üzerindeki tür ve familya bölümleri için 12 desilitre boya kullanılmıştır.

Soru 11

Soru: Aşağıdaki yeşil alan ve çocuk oyun alanı üçgensel bölge şeklinde tasarlanmıştır. A, K, D ve B, K, C noktaları doğrusal olan bir park görseli verilmiştir.
|AB| = 40 m, |AK| = 30 m, |BK| = 20 m, |KD| = 40 m ve |KC| = 80 m olarak ölçülmüştür.
Fakat |CD| ölçülmeden acil bir iş nedeniyle çalışanlar ayrılmıştır.
Buna göre |CD| uzunluğunu nasıl hesaplayabileceğinizi açıklayınız ve sonucu bulunuz.

Cevap: Öncelikle AKB üçgeninde kosinüs teoremi uygulanır.
AKB üçgeninde:
40² = 30² + 20² − 2 × 30 × 20 × cos(K)
1600 = 900 + 400 − 1200 × cos(K)
1600 = 1300 − 1200cos(K)
cos(K) = −1/4 olarak bulunur.

Aynı açıyı kullanan CKD üçgeninde:
CD² = 80² + 40² − 2 × 80 × 40 × cos(K)
CD² = 6400 + 1600 − 2 × 80 × 40 × (−1/4)
CD² = 6400 + 1600 + 1600
CD² = 9600
CD = 40√6 m olarak bulunur.

Sonuç: |CD| uzunluğu 40√6 metredir.

1. Tema Sonu Ölçme ve Değerlendirme Soruları (Sayfa 93)

12. Soru

Aşağıda BAC dik üçgen biçimindeki bir beton zemin verilmiştir.
Zemin B köşesinden, B açısının açıortayı olacak şekilde bir hat ile iki parçaya ayrılıyor. Kahverengi bölge kauçuk ile kaplanacaktır.
Bir zeminin kauçuk kaplama maliyeti metrekare başına 2500 TL’dir.
|AD| = 5 m, |BC| = 12 m olduğuna göre kahverengi bölgenin maliyeti kaç TL’dir?

Cevap: Açıortay teoremine göre kenarlar arasında x/12 = 5/y oranı vardır. Buradan x·y = 60 olur.
Üçgenin alanı (x·y)/2 = 30 m² bulunur.
Kaplama maliyeti = 30 × 2500 = 75 000 TL’dir.

Sonuç: Kahverengi bölgenin kaplama maliyeti 75 000 TL’dir.

13. Soru

Mehmet Bey verandasının üstünü aşağıda gösterildiği gibi numaralandırılmış ahşap bloklarla kapatacaktır.
Marangoz her bir parçayı alanına göre fiyatlandırmaktadır.
4 numaralı parça için 2800 TL ödeyen Mehmet Bey’in, tüm parçalar için ödeyeceği toplam tutar nedir?

A) 10 000 B) 12 000 C) 14 000 D) 16 000 E) 18 000

Cevap: Parçaların alan oranları A, 3A, 5A, 7A ve 9A’dır.
4 numaralı parça 7A olduğundan 7A = 2800 → A = 400 TL bulunur.
Tüm parçaların toplam oranı 25A’dır.
Toplam maliyet = 25 × 400 = 10 000 TL.

Sonuç: Mehmet Bey tüm parçalar için 10 000 TL ödeyecektir. (Doğru cevap: A)

14. Soru

Şekil 1’deki üçgen biçimindeki kâğıt, BC kenarı üzerindeki A' noktası A noktası ile çakışacak şekilde katlanıyor.
Katlama sonucu oluşan iz DE doğrusu, BC kenarına paraleldir.

a) BC kenarı üzerindeki A' noktası ile A noktası birleştirildiğinde elde edilen [AA'] doğru parçası üçgenin hangi yardımcı elemanıdır?
b) Katlama izinin uç noktaları D ve E, üçgenin kenar ortalarıdır. Bu noktaları B ve C noktalarıyla birleştirince oluşan kenarortaylar kesişir. K noktası üçgenin hangi özel noktasıdır?

Cevap: a) [AA'] doğru parçası üçgenin yüksekliğidir.
Çünkü A’ noktası BC kenarı üzerindedir ve [AA'] kenara diktir.

b) D ve E noktaları kenarların orta noktalarıdır. Bu nedenle [BE] ve [CD] kenarortay olur.
Kenarortayların kesişim noktası üçgenin ağırlık merkezidir.

Sonuç: a) [AA'] → Yükseklik
b) K → Ağırlık merkezi