10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 292-296 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 292-293 Cevapları MEB Yayınları

18. Uygulama: Karesel Fonksiyonların İşareti, Aralıkları ve En Büyük-En Küçük Değerleri

Soru 1: Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Soru a) f fonksiyonunun cebirsel temsilinden yararlanarak fonksiyonun sıfırlarını tamkareye tamamlama yöntemi ile bulunuz.

Kısa Cevap: f(x)=2x²-4x-6 fonksiyonunun sıfırları x=-1 ve x=3 olur.
Tamkareye tamamlama yapıldığında da aynı sonuç bulunur.

Verilen fonksiyon: f(x)=2x²-4x-6
Önce 2 ortak çarpanını alalım: f(x)=2(x²-2x)-6
Tamkareye tamamlayalım: x²-2x=(x-1)²-1

yerine yazarsak:

f(x)=2[(x-1)²-1]-6
f(x)=2(x-1)²-2-6
f(x)=2(x-1)²-8

Şimdi sıfırlarını bulalım:

2(x-1)²-8=0
2(x-1)²=8
(x-1)²=4

Buradan:

x-1=2 veya x-1=-2

olur. Sonuç:

• x=3
• x=-1

Yani fonksiyonun sıfırları -1 ve 3’tür.

Soru b) f fonksiyonunun grafik temsilini verilen dik koordinat sistemi üzerine çiziniz.

Kısa Cevap: Grafik yukarı doğru açılan bir paraboldür.
Parabolün x eksenini kestiği noktalar (-1,0) ve (3,0), tepe noktası ise (1,-8) olur.

Detaylı Cevap: Fonksiyonun tamkare biçimi:

f(x)=2(x-1)²-8

Bu formdan grafik özellikleri hemen bulunur:

• Tepe noktası: T(1,-8)
• Simetri ekseni: x=1
• Parabolün yönü: Yukarı
• x eksenini kestiği noktalar: (-1,0) ve (3,0)

Bu nedenle koordinat sistemine, tepe noktası (1,-8) olan ve yukarı doğru açılan bir parabol çizilir.

Soru 2: f fonksiyonunun grafiğinden ve tamkare formundan yararlanarak yapacağınız cebirsel işlemlerle aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Soru a) f fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığın kaç birim olduğunu bulunuz.

Kısa Cevap: Parabol x eksenini -1 ve 3 noktalarında keser.
Bu iki nokta arasındaki uzaklık 4 birimdir.

Fonksiyonun kökleri:

• x=-1
• x=3

olarak bulunmuştu.

Bu iki nokta arasındaki uzaklık:

3-(-1)=3+1=4

olur.

Sonuç olarak x eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 4 birimdir.

Soru b) f fonksiyonunun minimum noktasını ve değerini bulunuz.

Kısa Cevap: Fonksiyonun minimum noktası (1,-8) olur.
Minimum değeri -8’dir.

Detaylı Cevap: Fonksiyonun tamkare formu:

f(x)=2(x-1)²-8

Burada (x-1)² ifadesi en küçük değerini 0 alır. Ayrıca katsayı 2 pozitif olduğu için parabol yukarı açılır. Bu nedenle minimum değer tepe noktasında alınır.

• Minimum nokta: (1,-8)
• Minimum değer: -8

Soru 3: Aşağıdaki soruları cevaplandırınız.

Soru a) f fonksiyonunun genel formunun katsayılarını kullanarak, fonksiyonun minimum noktasını ve bu noktadaki minimum değerini bulunuz.

Kısa Cevap: a=2, b=-4, c=-6 olur.
Minimum nokta (1,-8), minimum değer ise -8’dir.

Verilen fonksiyon: f(x)=2x²-4x-6

Burada:

• a=2
• b=-4
• c=-6

Tepe noktasının x değeri formülle bulunur:

x=-b/2a

Yerine yazalım:

x=-(-4)/(2.2)=4/4=1

Şimdi bu değeri fonksiyonda yerine yazalım:

f(1)=2(1)²-4(1)-6
f(1)=2-4-6=-8

Sonuç:

• Minimum nokta: (1,-8)
• Minimum değer: -8

Soru b) Matematik yazılımı kullanarak aşağıdaki adımları gerçekleştirip soruları cevaplandırınız.

1. adım: Giriş bölümüne f(x)=ax²+bx+c yazınız.

2. adım: Oluşan a, b ve c sürgülerini hareket ettirerek herhangi bir f fonksiyonun grafiğini elde ediniz.

3. adım: Araçlar menüsünden Kesiştir aracını, sonra f fonksiyonunun grafiğini ve x eksenini seçiniz.

4. adım: Giriş bölümüne ax²+bx+c=0 yazınız (Görsel 4.6).

5. adım: Giriş bölümüne f(x)<0 yazınız (Görsel 4.7).

6. adım: 4. adımda yazdığınız f(x)<0 eşitsizliğini siliniz. Giriş bölümüne f(x)>0 yazınız (Görsel 4.8).

7. adım: 5. adımda yazdığınız f(x)>0 eşitsizliğini siliniz. Giriş bölümüne f(x)≥0 yazınız (Görsel 4.9).

Kısa Cevap:
Bu adımlar sonunda fonksiyonun kökleri, pozitif olduğu aralıklar ve negatif olduğu aralıklar grafik üzerinde görülür.
Ayrıca parabolün yönü ve tepe noktası daha kolay yorumlanır.

Detaylı Cevap:
Matematik yazılımında bu adımlar uygulandığında:

• Kesiştir aracı ile parabolün x eksenini kestiği noktalar bulunur.
• ax²+bx+c=0 yazılarak denklemin kökleri görülür.
• f(x)<0 yazıldığında grafiğin x ekseninin altında kalan bölgesi belirlenir.
• f(x)>0 yazıldığında grafiğin x ekseninin üstünde kalan bölgesi belirlenir.
• f(x)≥0 yazıldığında fonksiyonun sıfır olduğu noktalar da dâhil edilerek çözüm aralığı gösterilir.

Bu uygulama, karesel fonksiyonların işaretini ve çözüm kümelerini görsel olarak anlamayı kolaylaştırır.

Açıklama: Bu sayfada karesel fonksiyonun kökleri, grafiği, minimum noktası ve işaret durumu birlikte incelenmektedir. Özellikle tamkareye tamamlama yöntemi, hem tepe noktasını hem de en küçük değeri doğrudan görmemizi sağlar. Böylece grafik yorumları ile cebirsel işlemler bir araya gelmiş olur.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 294-295 Cevapları MEB Yayınları

Soru c) Matematik yazılımı yardımıyla b maddesinde yapılan etkinliği f(x)=2x²−4x−6 fonksiyonu için uygulayarak aşağıdaki tabloyu uygun şekilde doldurunuz.

• f(x) < 0 → (-1, 3)
• f(x) ≤ 0 → [-1, 3]
• f(x) > 0 → x < -1 veya x > 3
• f(x) ≥ 0 → x ≤ -1 veya x ≥ 3

Fonksiyon: f(x)=2x²−4x−6

Kökleri: x=-1 ve x=3

Parabol yukarı açıldığı için:

• Kökler arasında negatif
• Kökler dışında pozitif

olur.

Soru 4: Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Soru a) Makinenin zemin çizgisi üzerinde su borusunu döşemeye başladığı ve üzerine çıktığı noktalara ait koordinatların f fonksiyonunun nitel özellikleri ile ilişkisini belirtiniz. Cebirsel temsilini belirleyiniz.

Kısa Cevap: Zemin çizgisi f(x)=0 olduğu noktaları gösterir.
Bu noktalar x=-1 ve x=3’tür.

Detaylı Cevap: Makinenin zemine değdiği noktalar, fonksiyonun kökleridir.

Yani:

f(x)=0 → x=-1 ve x=3

Bu noktalar borunun zemine giriş ve çıkış noktalarıdır.

Soru b) Makinenin zemin çizgisi üzerinde tekrar zemine çıktığı noktalar arasında kalan bölgenin, f fonksiyonu ile eşitsizlik bileşenleri arasındaki ilişkisini belirleyiniz.

Kısa Cevap: Bu aralıkta -1 < x < 3 ve f(x) < 0 olur.

Detaylı Cevap: Kökler arasında parabol x ekseninin altında kalır.

Bu durum:

-1 < x < 3 → f(x) < 0

anlamına gelir. Bu da borunun yer altında ilerlediğini gösterir.

Soru c) Makinenin zemin çizgisi üzerinde tekrar zemine çıktığı noktaların dışında kalan bölgelerin eşitsizlik ilişkisini yazınız.

Kısa Cevap: x < -1 veya x > 3 → f(x) > 0

Detaylı Cevap: Kökler dışında parabol x ekseninin üstündedir.

Bu nedenle:

x < -1 veya x > 3 → f(x) > 0

Bu durum borunun zemin üstünde olduğu anlamına gelir.

Soru ç) f(x) ≤ 0 ilişkisinin problem bağlamındaki anlamını açıklayınız.

Kısa Cevap: Borunun zemin altında veya tam zemin seviyesinde olduğu durumu ifade eder.

Detaylı Cevap: f(x) ≤ 0 demek:

• f(x) = 0 → zemin üzerinde
• f(x) < 0 → zemin altında

Yani borunun tamamen ya yer altında ya da zemin çizgisi üzerinde olduğu durumdur.

Soru d) f(x) ≥ 0 ilişkisinin problem bağlamındaki anlamını açıklayınız.

Kısa Cevap: Borunun zemin üstünde veya tam zemin seviyesinde olduğu durumu ifade eder.

f(x) ≥ 0 demek:

• f(x) = 0 → zemin üzerinde
• f(x) > 0 → zemin üstünde

Bu da borunun zeminin altında olmadığını gösterir.

Soru 5: Zeytin ağacından itibaren kaçıncı metrede kazıya başlanması ve borunun selvi ağacından kaç metre sonra zemin çizgisi üzerine çıkması gerektiği ile ilgili çözüm stratejinizi oluşturunuz.

Kısa Cevap: Önce f(x)=0 yapılarak kökler bulunur.
Bu kökler kazının başladığı ve bittiği noktaları verir.

Detaylı Cevap: Strateji şu şekildedir:

1. f(x)=0 çözülür → kökler bulunur
2. Bu kökler:
   • Kazıya başlama noktası
   • Zemin üzerine çıkış noktasıdır
3. Kökler arası mesafe hesaplanır
4. Grafikten durum yorumlanır

Açıklama: Bu sayfada karesel fonksiyonların işareti, kökleri ve grafik yorumları gerçek hayat problemiyle ilişkilendirilmiştir. Özellikle köklerin başlangıç ve bitiş noktalarını, işaretin ise yer altı ve yer üstü durumlarını temsil etmesi, matematiğin günlük hayattaki kullanımını açıkça göstermektedir.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 296 Cevapları MEB Yayınları

18. Uygulama: Karesel Fonksiyonların İşareti, Aralıkları ve En Büyük-En Küçük Değerleri

Soru 6: Belirlediğiniz stratejiyi kullanarak problemi çözünüz.

Kısa Cevap: Kazıya zeytin ağacından itibaren 19 metre sonra başlanmalıdır.
Su borusu selvi ağacından 3 metre sonra zemin çizgisine çıkmalıdır.

Verilen model: f(x)=2x²-4x-6

Borunun zemin çizgisine girdiği ve çıktığı noktaları bulmak için:

f(x)=0

yazılır.

2x²-4x-6=0
x²-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0

Buradan kökler:

• x=-1
• x=3

olur.

Problemde y ekseni selvi ağacından geçtiği nokta olarak alınmıştır. Zeytin ile selvi arasındaki uzaklık 20 metre olduğuna göre:

• x=-1, selvi ağacının 1 metre solu demektir.
• Bu da zeytin ağacından itibaren 20-1=19 metre eder.

Yani kazıya zeytin ağacından 19 metre sonra başlanır.

Diğer kök:

• x=3, selvi ağacının 3 metre sağı demektir.

Yani boru, selvi ağacından 3 metre sonra tekrar zemin çizgisine çıkar.

Soru 7: Problemin çözümünü farklı yöntemler kullanarak doğrulayınız.

Kısa Cevap: Çözüm çarpanlara ayırma, tamkareye tamamlama ve grafik ile doğrulanabilir.

Detaylı Cevap: Çözümü üç farklı yöntemle kontrol edebiliriz:

1. Çarpanlara Ayırma

2x²-4x-6=0
2(x²-2x-3)=0
2(x-3)(x+1)=0

Buradan kökler yine:

x=-1 ve x=3

olarak bulunur.

2. Tamkareye Tamamlama

f(x)=2x²-4x-6
f(x)=2(x²-2x)-6
f(x)=2[(x-1)²-1]-6
f(x)=2(x-1)²-8

Buradan tepe noktası:

(1,-8)

olur. Grafik yukarı açıldığı için x eksenini iki noktada kesmesi beklenir. Bu da köklerin -1 ve 3 olduğunu destekler.

3. Grafikle Doğrulama

Grafikte parabolün x eksenini:

• x=-1
• x=3

noktalarında kestiği görülür. Bu yüzden sonuç doğrudur.

Soru 8: Problemin olası tüm çözüm stratejileri ile ilgili fikirlerinizi sınıf arkadaşlarınızla paylaşınız.

Kısa Cevap: Bu problem grafik, işaret tablosu, çarpanlara ayırma ve tamkareye tamamlama yöntemleriyle çözülebilir.

Detaylı Cevap: Problemi çözmek için şu yollar kullanılabilir:

• Çarpanlara ayırma
• Tamkareye tamamlama
• Grafik çizme
• İkinci dereceden denklem çözme
• İşaret tablosu oluşturma
• Kökleri yorumlama

Bu yöntemlerin hepsi aynı sonuca ulaşmayı sağlar. Bazı öğrenciler cebirsel yöntemi, bazıları ise grafik yöntemini daha kolay bulabilir.

Soru 9: Problemin çözümünde kullandığınız yöntemleri, başka problemlerin çözümünde nasıl kullanabileceğiniz ile ilgili çıkarımlarınızı yazınız.

Kısa Cevap: Bu yöntemler köprü tasarımları, tünel projeleri, fizikte atış problemleri ve alan-hacim problemlerinde kullanılabilir.

Detaylı Cevap: Karesel fonksiyonlarla ilgili bu yöntemler başka alanlarda da işe yarar. Örneğin:

• Köprü ve kemer tasarımları
• Tünel ve yol projeleri
• Fizikte atış ve hareket problemleri
• Alan ve hacim optimizasyonu
• Maksimum-minimum problemleri
• Gerçek hayat modelleme soruları

Özellikle grafik ve kök yorumlama, mühendislik ve fizik problemlerinde çok kullanışlıdır.

Soru 10: Çıkarımlarınızın geçerliliğini sözel, cebirsel veya grafiksel olarak değerlendiriniz.

Kısa Cevap: Çıkarımlar sözel, cebirsel ve grafiksel olarak doğrudur.

Sözel Değerlendirme

Parabolün kökleri, borunun zemine giriş ve çıkış noktalarını gösterir. Bu yüzden kökleri bulmak problemle doğrudan ilişkilidir.

Cebirsel Değerlendirme

f(x)=0 denklemi çözülünce:

x=-1 ve x=3

bulunur. Bu da kazının başladığı ve bittiği noktaları verir.

Grafiksel Değerlendirme

Grafikte parabol x eksenini -1 ve 3 noktalarında kesmektedir. Ayrıca tepe noktası (1,-8) olduğundan borunun en derin noktası da anlaşılır. Bu nedenle sonuçlar birbirini doğrular.

Açıklama: Bu sayfada karesel fonksiyonların kökleri, grafiği ve işaret özellikleri gerçek bir zemin altı boru döşeme problemiyle ilişkilendirilmektedir. Kökler, borunun zemine girip çıktığı noktaları; tepe noktası ise borunun en derine indiği yeri gösterir. Böylece matematiksel model günlük yaşamla bağ kurar.