10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 289-292 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 289 Cevapları MEB Yayınları

17. Uygulama: f(x) = ax² + bx + c Cebirsel Temsilli ile Verilen Karesel Fonksiyonların Maksimum-Minimum Noktası ve Değerinin İfadesi

1. Aşağıdaki soruları çözünüz.

Soru a) h fonksiyonunun cebirsel temsilinden yararlanarak fonksiyonun sıfırlarını tamkareye tamamlama yöntemi ile bulunuz.

Kısa Cevap: h(x) = -x² + 4x fonksiyonunun sıfırları x = 0 ve x = 4 olur.
Tamkareye tamamlama yapıldığında da aynı sonuç bulunur.

Verilen fonksiyon: h(x) = -x² + 4x

Fonksiyonun sıfırlarını bulmak için: -x² + 4x = 0

eşitliğini çözelim.

Önce tamkareye tamamlayalım:

h(x) = -(x² - 4x)
h(x) = -[(x² - 4x + 4) - 4]
h(x) = -(x - 2)² + 4

Şimdi sıfırlarını bulalım:

-(x - 2)² + 4 = 0
(x - 2)² = 4

Buradan:

x - 2 = 2 veya x - 2 = -2

olur.

Sonuç:

• x = 4
• x = 0

Yani fonksiyonun sıfırları 0 ve 4’tür.

Soru b) h fonksiyonunun grafik temsilini altta verilen dik koordinat sistemi üzerine çiziniz.

Kısa Cevap: Grafik, aşağı doğru açılan bir paraboldür.
Parabol x eksenini 0 ve 4 noktalarında keser, tepe noktası ise (2, 4) olur.

Detaylı Cevap: Fonksiyonu tamkare biçiminde yazmıştık:

h(x) = -(x - 2)² + 4

Bu biçimden grafik özellikleri hemen görülür:

• Tepe noktası: T(2, 4)
• Simetri ekseni: x = 2
• Parabolün yönü: Aşağı
• x eksenini kestiği noktalar: (0,0) ve (4,0)

Bu nedenle koordinat sistemine, tepe noktası (2,4) olan ve aşağı doğru açılan bir parabol çizilir.

2. h fonksiyonunun grafiğinden ve tamkare formundan faydalanarak yapacağınız cebirsel işlemlerle aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Soru a) h fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığın kaç metre olduğunu bulunuz.

Kısa Cevap: Parabol x eksenini 0 ve 4 noktalarında keser.
Bu iki nokta arasındaki uzaklık 4 metredir.

Detaylı Cevap: Fonksiyonun sıfırları:

• x = 0
• x = 4

olarak bulunmuştu.

x ekseni üzerindeki bu iki nokta arasındaki uzaklık:

4 - 0 = 4

olur.

Sonuç olarak topun yere düştüğü iki nokta arasındaki yatay uzaklık 4 metredir.

Soru b) h fonksiyonuna ait grafiğin maksimum noktasını ve değerini bulunuz.

Kısa Cevap: Grafiğin maksimum noktası (2, 4) olur.
Fonksiyonun maksimum değeri 4’tür.

Detaylı Cevap: Fonksiyonun tamkare biçimi:

h(x) = -(x - 2)² + 4

şeklindedir.

Bu formda:

• (x - 2)² ifadesi en küçük değerini 0 olarak alır.
• Başında eksi işareti olduğu için grafik aşağı açılır.
• Bu nedenle en büyük değer tepe noktasında alınır.

Tepe noktası:

T(2, 4)

olur.

Buna göre:

• Maksimum nokta: (2, 4)
• Maksimum değer: 4

Yani topun ulaşabileceği en büyük yükseklik 4 metredir ve bu yükseklik, top yatayda 2 metre ilerlediğinde elde edilir.

Açıklama: Bu soruda karesel bir fonksiyonun sıfırları, grafiği, tepe noktası ve maksimum değeri birlikte incelenmektedir. Özellikle tamkareye tamamlama yöntemi, parabolün tepe noktasını ve yönünü kolayca görmemizi sağlar. Böylece topun hem yere düştüğü noktalar hem de ulaştığı en yüksek nokta rahatça bulunur.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 290 Cevapları MEB Yayınları

17. Uygulama: f(x)=ax²+bx+c Cebirsel Temsilli Karesel Fonksiyonlarda Maksimum-Minimum Noktası ve Değeri

3. Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) f(x)=ax²+bx+c (a, b, c ∈ R, a≠0) genel formundaki f fonksiyonunu cebirsel işlemler yardımıyla f(x)=a(x+r)²+k (r, k ∈ R) tamkare formuna dönüştürünüz.

Kısa Cevap: f(x)=ax²+bx+c fonksiyonunun tamkare formu:
f(x)=a(x+b/2a)² + (4ac-b²)/4a
olur.

Verilen fonksiyon: f(x)=ax²+bx+c

Önce a ortak çarpanını alalım: f(x)=a(x²+(b/a)x)+c

Şimdi parantez içini tamkareye tamamlayalım:

x²+(b/a)x = (x+b/2a)² - b²/4a²

yerine yazarsak:

f(x)=a[(x+b/2a)² - b²/4a²] + c

dağıtalım:

f(x)=a(x+b/2a)² - b²/4a + c

paydaları eşitleyelim:

f(x)=a(x+b/2a)² + (4ac-b²)/4a

Yani tamkare form:

f(x)=a(x+r)²+k

şeklinde olup,

r=b/2a değil, dikkat edilirse x+r = x+b/2a olduğundan
r = b/2a olur.
Ancak daha yaygın yazım a(x-h)²+k biçimindedir. O durumda h=-b/2a olur.

b) f(x)=a(x+r)²+k (r, k ∈ R) tamkare formunu dikkate alarak f fonksiyonundaki r ve k değerlerini f(x)=ax²+bx+c (a, b, c ∈ R, a≠0) genel formundaki a, b, c katsayıları cinsinden ifade ediniz.

Kısa Cevap: r = b/2a
k = (4ac-b²)/4a olur.

Bir önceki soruda elde ettiğimiz tamkare form:

f(x)=a(x+b/2a)² + (4ac-b²)/4a

idi.

Bu ifade ile

f(x)=a(x+r)²+k

şeklini karşılaştırırsak:

• r = b/2a
• k = (4ac-b²)/4a

bulunur.

Ayrıca maksimum-minimum değeri veren k değeri aynı zamanda:

k = f(-b/2a)

şeklinde de ifade edilir.

c) f(x)=a(x+r)²+k (r, k ∈ R) tamkare formunda f(x)=k eşitliğini sağlayan x değerini r türünden bulunuz.

Kısa Cevap: x = -r olur.

Verilen eşitlik: f(x)=a(x+r)²+k

Şimdi f(x)=k olsun:

a(x+r)²+k = k

her iki taraftan k çıkaralım:

a(x+r)² = 0

a ≠ 0 olduğundan:

(x+r)² = 0

buradan:

x+r = 0

olur. Sonuç:

x = -r

ç) f fonksiyonunun maksimum-minimum noktasını ve değerini a ve b türünden ifade ediniz.

Kısa Cevap: Maksimum-minimum noktasının x değeri: x = -b/2a
Maksimum-minimum değeri: f(-b/2a) olur.

Karesel fonksiyonun tamkare formu:

f(x)=a(x+b/2a)² + (4ac-b²)/4a

idi.

Bir kareli ifade en küçük değerini 0 alır. Buna göre:

x+b/2a = 0

olduğunda maksimum ya da minimum nokta elde edilir. Buradan:

x = -b/2a

bulunur.

Bu x değeri fonksiyonda yerine yazılırsa maksimum-minimum değer bulunur:

f(-b/2a) = (4ac-b²)/4a

Sonuç olarak:

• Maksimum-minimum noktasının apsisi: -b/2a
• Maksimum-minimum değeri: (4ac-b²)/4a

Eğer a>0 ise bu değer minimum,
eğer a<0 ise bu değer maksimum olur.

4. Aşağıdaki tabloda fonksiyonun genel formu, tamkare formu, grafiği, maksimum-minimum noktası ve değeri verilmiştir. Verilen örneği inceleyerek tabloyu uygun şekilde doldurunuz.

Verilen fonksiyon: m(x)=2x²-4x-30

Kısa Cevap : Tamkare form:

m(x)=2(x-1)²-32

olur.

• a=2, b=-4, c=-30
• a’nın işareti: +
• Minimum noktası: x=1
• Minimum değeri: -32
• Maksimum noktası: Yoktur
• Maksimum değeri: Yoktur

Verilen fonksiyon:

m(x)=2x²-4x-30

Önce 2 ortak çarpanını alalım:

m(x)=2(x²-2x)-30

Tamkareye tamamlayalım:

x²-2x = (x-1)²-1

yerine yazarsak:

m(x)=2[(x-1)²-1]-30

m(x)=2(x-1)²-2-30

m(x)=2(x-1)²-32

Buradan tablo değerleri:

• Fonksiyonun tamkare formu: m(x)=2(x-1)²-32
• a’nın işareti: +
• a=2, b=-4, c=-30
• Parabol yukarı açılır
• Minimum noktası: x=1
• Minimum değeri: -32
• Maksimum noktası: Yoktur
• Maksimum değeri: Yoktur

Tepe noktası da:

T(1,-32)

olur.

Açıklama: Bu sayfada karesel fonksiyonların genel formdan tamkare forma dönüştürülmesi ve bu dönüşüm sayesinde maksimum-minimum noktasının kolayca bulunması anlatılmaktadır. Tamkare form, parabolün tepe noktasını doğrudan verdiği için grafik yorumlarında çok önemlidir. Özellikle x=-b/2a kuralı ile tepe noktasının apsisi hızlı şekilde bulunur.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 291 Cevapları MEB Yayınları

17. Uygulama: Karesel Fonksiyonlarda Maksimum-Minimum Noktası ve Değeri

4. Aşağıdaki soruları cevaplayınız

a) Doldurduğunuz tabloya göre karesel fonksiyonun maksimum-minimum noktası ve değerini fonksiyonun cebirsel temsilinin katsayıları olan a, b, c türünden ifadesi ile ilgili genellemelerinizi oluşturunuz.

Kısa Cevap: Karesel fonksiyonun tepe noktasının x değeri x = -b / 2a ile bulunur.
Maksimum-minimum değeri ise f(-b / 2a) olur.

Detaylı Cevap: Genel formu f(x)=ax²+bx+c olan karesel fonksiyonlarda parabolün tepe noktası, yani maksimum ya da minimum noktası, katsayılardan yararlanılarak bulunabilir.

• Tepe noktasının apsisi: x = -b / 2a
• Tepe noktasının ordinatı: f(-b / 2a)

Buna göre:

• a > 0 ise parabol yukarı açılır, bu yüzden minimum noktası vardır.
• a < 0 ise parabol aşağı açılır, bu yüzden maksimum noktası vardır.

Yani genel kural şöyledir:

• Maksimum-minimum noktası: (-b / 2a, f(-b / 2a))
• Maksimum-minimum değeri: f(-b / 2a)

b) Genellemelerinizden yararlanarak başlangıç problemindeki h(x) = -x² + 4x fonksiyonunun maksimum noktasını ve değerini bulunuz.

Kısa Cevap: h(x) = -x² + 4x fonksiyonunun maksimum noktası (2, 4) olur.
Maksimum değeri 4’tür.

Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon:

h(x) = -x² + 4x

Burada katsayılar:

• a = -1
• b = 4
• c = 0

Önce tepe noktasının x değerini bulalım:

x = -b / 2a = -4 / (2 . -1) = 2

Şimdi bu değeri fonksiyonda yerine yazalım:

h(2) = -(2)² + 4.2 = -4 + 8 = 4

Buna göre:

• Maksimum nokta: (2, 4)
• Maksimum değer: 4

Burada a < 0 olduğu için parabol aşağı açılır ve sonuç olarak maksimum değer vardır.

5. Aşağıdaki soruları cevaplayınız

a) Topun çıkabileceği maksimum yüksekliğin h fonksiyonunun nitel özelliği ile ilişkisini belirtiniz.

Kısa Cevap: Topun çıkabileceği en büyük yükseklik, h fonksiyonunun maksimum değeridir.

Detaylı Cevap: Problemde h(x), topun yerden yüksekliğini göstermektedir. Bu nedenle topun ulaşabileceği en yüksek nokta, fonksiyonun grafik üzerinde aldığı en büyük y değeridir. Yani topun çıkabileceği maksimum yükseklik:

h fonksiyonunun maksimum değeridir.

Bu problemde bu değer 4 metredir.

b) Çıkabileceği maksimum noktaya ulaşan topun yatayda aldığı yol ile h fonksiyonunun nitel özelliği arasındaki ilişkiyi belirtiniz.

Kısa Cevap: Topun maksimum noktaya ulaştığı yatay uzaklık, tepe noktasının x değeridir.
Bu değer x = -b / 2a ile bulunur.

Detaylı Cevap: Topun en yüksek noktaya ulaştığı an, parabolün tepe noktasıdır. Tepe noktasının x değeri, topun yatay doğrultuda aldığı yolu gösterir. Bu yüzden maksimum yüksekliğe ulaştığında yatayda alınan mesafe:

x = -b / 2a

olur.

Bu problemde:

x = 2

olduğundan top, maksimum yüksekliğe ulaştığında yatayda 2 metre yol almıştır.

c) Topun yere düştüğü nokta ile ilk atış yapılan nokta arasındaki mesafenin, h fonksiyonunun nitel özelliği ile ilişkisini belirtiniz.

Kısa Cevap: Bu mesafe, h fonksiyonunun sıfırları arasındaki uzaklığa eşittir.

Detaylı Cevap: Topun yere değdiği noktalar, fonksiyonun x eksenini kestiği noktalardır. Çünkü bu noktalarda yükseklik 0 olur. İlk atış noktası ile topun yere düştüğü nokta arasındaki mesafe, fonksiyonun kökleri arasındaki yatay uzaklıktır.

Bu problemde kökler:

• x = 0
• x = 4

olduğundan iki nokta arasındaki uzaklık:

4 - 0 = 4 metre

olur.

Yani bu mesafe, fonksiyonun sıfırları arasındaki uzaklıktır.

6. Topun çıkabileceği maksimum yüksekliği, en yüksek noktaya ulaştığında yatayda aldığı mesafeyi ve topun yere düştüğü nokta ile ilk atış yapıldığı nokta arasındaki toplam mesafeyi bulmaya yönelik sorunun çözüm stratejisini oluşturunuz.

Kısa Cevap: Önce fonksiyonun kökleri ve tepe noktası bulunur.
Sonra maksimum değer, tepe noktasının x değeri ve kökler arası uzaklık yorumlanır.

Detaylı Cevap: Bu tür sorularda şu çözüm stratejisi uygulanır:

1. Fonksiyonun köklerini bulun.
   Böylece topun yere değdiği noktalar belirlenir.
2. Fonksiyonu tamkare forma dönüştürün ya da
   x = -b / 2a formülünü kullanın.
   Böylece tepe noktasını bulun.
3. Tepe noktasının y değeri ile maksimum yüksekliği belirleyin.
4. Tepe noktasının x değeri ile topun en yüksek noktaya ulaştığında yatayda aldığı yolu bulun.
5. Kökler arasındaki farkı alarak ilk atış noktası ile topun düştüğü nokta arasındaki uzaklığı hesaplayın.

Bu problemde strateji uygulandığında:

• Maksimum yükseklik = 4 metre
• En yüksek noktaya kadar yatay yol = 2 metre
• İlk atış ile düşme noktası arası mesafe = 4 metre

bulunur.

Açıklama: Bu sayfada karesel fonksiyonların tepe noktası, maksimum değeri ve kökleri gerçek hayat problemi üzerinden yorumlanmaktadır. Parabolün tepe noktası, maksimum yüksekliği; kökleri ise topun yere temas ettiği noktaları gösterir. Böylece cebirsel bilgi, grafik yorumu ve günlük yaşam problemi bir arada değerlendirilmiş olur.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 292 Cevapları MEB Yayınları

17. Uygulama: Karesel Fonksiyonlarda Maksimum-Minimum Noktası ve Değeri

Soru 7: Belirlediğiniz stratejiyi kullanarak problemi çözünüz.

Kısa Cevap: Topun çıkabileceği maksimum yükseklik 4 metredir.
Top en yüksek noktaya ulaştığında yatayda 2 metre yol alır.
Topun yere düştüğü nokta ile ilk atış noktası arasındaki mesafe 4 metredir.

Verilen fonksiyon: h(x) = -x² + 4x

Önce tamkareye tamamlayalım:

h(x) = -(x² - 4x)
h(x) = -[(x - 2)² - 4]
h(x) = -(x - 2)² + 4

Buradan tepe noktası:

T(2, 4)

olur. Buna göre topun:

• maksimum yüksekliği 4 metre,
• en yüksek noktaya ulaştığında yatayda aldığı yol 2 metredir.

Şimdi topun yere düştüğü noktaları bulalım:

-x² + 4x = 0
-x(x - 4) = 0

Buradan:

x = 0 ve x = 4

bulunur. İlk atış noktası ile yere düştüğü nokta arasındaki uzaklık:

4 - 0 = 4 metre

olur.

Soru 8: Problemin çözümünü farklı yöntemler kullanarak doğrulayınız.

Kısa Cevap: Çözüm grafik çizerek, çarpanlara ayırarak ve tamkareye tamamlayarak doğrulanabilir.

Problemi farklı yollarla kontrol edebiliriz:

1. Çarpanlara Ayırma

h(x) = -x² + 4x
h(x) = -x(x - 4)

Buradan kökler:

x = 0 ve x = 4

olarak bulunur.

2. Tamkareye Tamamlama

h(x) = -(x - 2)² + 4

Buradan tepe noktası:

(2, 4)

olur. Yani maksimum değer 4 bulunur.

3. Grafikle Doğrulama

Parabol:

• x eksenini 0 ve 4 noktalarında keser,
• en yüksek noktaya x=2’de ulaşır,
• maksimum yüksekliği 4’tür.

Bu nedenle çözüm doğrudur.

Soru 9: Problemin olası tüm çözüm stratejileri ile ilgili fikirlerinizi sınıf arkadaşlarınızla paylaşınız.

Kısa Cevap: Bu problem tamkareye tamamlama, tepe noktası formülü, grafik çizimi ve çarpanlara ayırma ile çözülebilir.

Detaylı Cevap: Problemi çözmek için kullanılabilecek yöntemler şunlardır:

• Tamkareye tamamlama yöntemi
• Tepe noktası formülü
• Grafik çizimi
• Çarpanlara ayırma yöntemi
• x = -b / 2a kuralı

Bu yöntemlerin hepsi parabolün köklerini, tepe noktasını ve maksimum değerini bulmada işe yarar.

Soru 10: Problemin çözümünde kullandığınız yöntemleri başka problemlerin çözümünde nasıl kullanabileceğiniz ile ilgili çıkarımlarınızı yazınız.

Kısa Cevap: Bu yöntemler maksimum-minimum problemlerinde, fiziksel hareket sorularında ve optimizasyon problemlerinde kullanılabilir.

Detaylı Cevap: Bu soruda kullanılan yöntemler başka birçok matematik probleminde de kullanılabilir. Örneğin:

• Maksimum-minimum problemleri
• Atış hareketi ve fizik problemleri
• Alan ve çevre optimizasyonu
• Parabol grafiği soruları
• İkinci dereceden denklem ve eşitsizlik soruları

Özellikle tepe noktası ve kökleri bulma yöntemleri, gerçek hayat problemlerinde oldukça kullanışlıdır.

Soru 11: Çıkarımlarınızın geçerliliğini sözel, cebirsel veya grafiksel olarak değerlendiriniz.

Kısa Cevap: Çıkarımlar cebirsel işlemle, grafikle ve sözel yorumla doğrulanabilir.

Detaylı Cevap: Sonuçlarımızın doğru olduğunu üç farklı şekilde gösterebiliriz:

Sözel Değerlendirme

Top önce yükselmekte, sonra yere düşmektedir. Bu durum aşağı doğru açılan parabol modeli ile uyumludur.

Cebirsel Değerlendirme

h(x) = -x² + 4x = -x(x - 4) olduğundan kökler 0 ve 4’tür.
h(x) = -(x - 2)² + 4 olduğundan tepe noktası (2, 4) olur.

Grafiksel Değerlendirme

Grafikte parabol:

• x eksenini 0 ve 4’te keser,
• tepe noktası (2, 4)’tür,
• maksimum değeri 4’tür.

Bu nedenle yapılan çıkarımlar geçerlidir.

Açıklama: Bu sayfada karesel fonksiyonun kökleri, tepe noktası ve maksimum değeri bir topun hareketi üzerinden yorumlanmaktadır. Kökler, topun yere temas ettiği noktaları; tepe noktası ise topun ulaştığı en yüksek konumu gösterir. Böylece hem cebirsel hem grafiksel düşünme birlikte gelişir.