10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 269-272 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 269 Cevapları MEB Yayınları

13. Uygulama: Rasyonel Referans Fonksiyonunun ve Bu Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonların Ters Fonksiyonlarının Bulunması

Soru 1: f: R - {0} → R, f(x) = 1 / x şeklinde tanımlı rasyonel referans fonksiyonu için aşağıdaki tabloyu doldurunuz.

Kısa Cevap: f(x) = 1 / x fonksiyonunda verilen x değerleri yerine yazılarak y değerleri bulunur.
Bu fonksiyonun tersi de yine f⁻¹(x) = 1 / x olur.

Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon:

f(x) = 1 / x

Şimdi tabloda verilen bağımsız değişken değerleri için bağımlı değişkenleri bulalım:

• x = -2 ise
  f(-2) = 1 / (-2) = -1 / 2
• x = -1 ise
  f(-1) = 1 / (-1) = -1
• x = 1 ise
  f(1) = 1 / 1 = 1
• x = 2 ise
  f(2) = 1 / 2

Buna göre ilk tablo şöyle doldurulur:

Şimdi ters fonksiyon için x ve y yer değiştirilir:

Ters fonksiyonun cebirsel temsilini bulalım:

Başlangıçta: y = 1 / x
x ve y yer değiştirirse: x = 1 / y
Her iki tarafın tersini alırsak: y = 1 / x
Buna göre oluşan yeni fonksiyonun cebirsel temsili: f⁻¹(x) = 1 / x

Tablonun Doldurulmuş Hâli

Açıklama: Bu soruda rasyonel referans fonksiyonu olan f(x)=1/x incelenmektedir. Bu fonksiyonun en önemli özelliği, tersi alındığında yine kendisini vermesidir. Yani hem fonksiyonun kendisi hem de tersi aynı cebirsel kuralla yazılır. Bu yüzden f(x)=1/x fonksiyonu, ters fonksiyon konusunda en özel örneklerden biridir.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 270 Cevapları MEB Yayınları

13. Uygulama Cevapları Devam

Soru a) Rasyonel referans fonksiyonunda bağımlı ve bağımsız değişken yer değiştirdiğinde elde edilen ilişkinin fonksiyon olup olmadığı ile ilgili görüşünüzü sınıf arkadaşlarınız ile paylaşınız.

Kısa Cevap: Her zaman fonksiyon olmayabilir. Çünkü bazı durumlarda bir x değeri için birden fazla y değeri oluşabilir.

Detaylı Cevap: Rasyonel fonksiyonlarda değişkenler yer değiştirildiğinde elde edilen yeni ifade her zaman fonksiyon olmayabilir. Bunun nedeni, bazı x değerleri için birden fazla y değerinin ortaya çıkabilmesidir. Böyle bir durumda fonksiyon tanımı sağlanmaz. Bu yüzden oluşan ilişkinin fonksiyon olup olmadığı ayrıca kontrol edilmelidir.

Soru b) Rasyonel referans fonksiyonunda bağımlı ve bağımsız değişken yer değiştirdiğinde elde edilen ilişkinin fonksiyon olup olmama durumunun nedeni ile ilgili varsayımda bulununuz.

Kısa Cevap: Tanım kümesi ve değer kümesi uygun değilse fonksiyon olmaz.

Detaylı Cevap: Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için fonksiyonun bire bir olması gerekir. Ayrıca tanım kümesi ve değer kümesi doğru belirlenmelidir. Örneğin f(x)=1/x fonksiyonunda x=0 tanımsız olduğu için tanım kümesi R-{0} olmalıdır. Eğer bu şartlara dikkat edilmezse elde edilen ifade fonksiyon olmaz.

2. Soru a) f: R-{0} → R-{0}, f(x)=1/x şeklinde tanımlanan rasyonel referans fonksiyonunda bağımlı ve bağımsız değişken yer değiştirdiğinde elde edilen ilişkinin fonksiyon olup olmadığını tartışınız.

Kısa Cevap: Fonksiyondur. Çünkü bire birdir ve her x için tek bir y vardır.

Detaylı Cevap: f(x)=1/x fonksiyonu bire bir ve örtendir. Bu nedenle ters fonksiyonu da fonksiyondur. Değişkenler yer değiştirildiğinde yine y=1/x elde edilir. Bu ifade her x (0 hariç) için tek bir y değeri verdiğinden fonksiyon olma şartını sağlar.

Soru b) Rasyonel referans fonksiyonunun tersinin de fonksiyon olma şartına yönelik varsayımda bulununuz.

Kısa Cevap: Fonksiyon bire bir olmalıdır.

Detaylı Cevap: Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için:

• Bire bir olmalı
• Tanım ve değer kümeleri uygun seçilmelidir

Örneğin:

f: R-{0} → R-{0}
f(x)=1/x

Bu fonksiyon bire birdir ve tersi de fonksiyondur.

3. Soru a) Cebirsel temsilleri verilen rasyonel fonksiyonların bağımlı ve bağımsız değişkenlerinin yerleri değiştirilerek farklı tanım ve değer kümesine göre oluşan yeni fonksiyonları bulunuz.

g(x) = 1/x + 2

Kısa Cevap: g⁻¹(x) = 1 / (x - 2)

y = 1/x + 2
x = 1/y + 2
x - 2 = 1/y
y = 1 / (x - 2)

h(x) = 2/x - 4

Kısa Cevap: h⁻¹(x) = 2 / (x + 4)

y = 2/x - 4
x = 2/y - 4
x + 4 = 2/y
y = 2 / (x + 4)

k(x) = 1 / (x - 4)

Kısa Cevap: k⁻¹(x) = 1/x + 4

y = 1/(x - 4)
x = 1/(y - 4)
x(y - 4) = 1
y - 4 = 1/x
y = 1/x + 4

m(x) = 1/(x + 2) - 1

Kısa Cevap: m⁻¹(x) = 1/(x + 1) - 2

y = 1/(x + 2) - 1
x = 1/(y + 2) - 1
x + 1 = 1/(y + 2)
y + 2 = 1/(x + 1)
y = 1/(x + 1) - 2

Açıklama: Bu sayfada rasyonel fonksiyonların tersleri incelenirken en önemli nokta, tanım kümesi kısıtlamalarıdır. Özellikle paydada sıfır yapan değerler fonksiyonu tanımsız hâle getirir. Bu yüzden ters fonksiyon bulunurken sadece işlem yapmak değil, aynı zamanda tanım kümesini doğru belirlemek gerekir.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 271 Cevapları MEB Yayınları

13. Uygulama: Rasyonel Referans Fonksiyonunun ve Bu Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonların Ters Fonksiyonlarının Bulunması

Soru 3 b) Doldurduğunuz tabloyu dikkate alarak rasyonel referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların hangi durumlarda terslerinin de fonksiyon olabileceği hakkında genellemeler yapınız.

Kısa Cevap: Fonksiyonun paydasını sıfır yapan değer tanım kümesinden çıkarılırsa ve tersinin paydasını sıfır yapan değer de uygun şekilde dışarıda bırakılırsa, tersi de fonksiyon olabilir.
Yani tanım ve değer kümeleri doğru seçilirse tersi de fonksiyon olur.

Detaylı Cevap: Rasyonel referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonlarda en önemli nokta, ifadeyi tanımsız yapan değerleri belirlemektir. Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için:

• Önce verilen fonksiyonun tanım kümesi doğru belirlenmelidir.
• Paydayı sıfır yapan değer, tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
• Ters fonksiyonda da benzer şekilde tanımsızlığa yol açan değer, ters fonksiyonun uygun kümesinden çıkarılmalıdır.
• Ayrıca fonksiyon bire bir olmalıdır.

Bu nedenle rasyonel fonksiyonlarda tersin fonksiyon olabilmesi için sadece cebirsel işlem yeterli değildir; tanım ve değer kümeleri de doğru düzenlenmelidir.

Soru 4- Aşağıdaki tabloda cebirsel temsili verilen fonksiyonların tanım ve değer kümesini, bu fonksiyonların tersinin olmasını sağlayan tanım ve değer kümesini, fonksiyonun tersinin cebirsel temsilini yazınız. Fonksiyonun ve tersinin grafiğini çiziniz. Tabloyu örnekteki gibi uygun şekilde doldurunuz. Doldurduğunuz tabloyu dikkate alarak genellemelerinizi ve varsayımlarınızı karşılaştırınız. Karşılaştırmanızı tablonun altındaki alana yazınız.

h(x) = 1 / (x + 1)

Kısa Cevap: h⁻¹(x) = 1/x - 1 olur.
Tanım kümesi R - {-1}, değer kümesi R - {0} şeklindedir.

Verilen fonksiyon: h(x) = 1 / (x + 1)

Tersini bulalım: y = 1 / (x + 1)
x = 1 / (y + 1)
x(y + 1) = 1
xy + x = 1
xy = 1 - x
y = (1 - x) / x
y = 1/x - 1

Buna göre: h⁻¹(x) = 1/x - 1

Fonksiyonun tanım ve değer kümesi

• Tanım kümesi: R - {-1}
• Değer kümesi: R - {0}

Ters fonksiyonun tanım ve değer kümesi

• Tanım kümesi: R - {0}
• Değer kümesi: R - {-1}

Grafik yorumu

Fonksiyon ve tersi, y = x doğrusuna göre simetriktir.

k(x) = 1 / (x - 2) - 1

Kısa Cevap: k⁻¹(x) = 1 / (x + 1) + 2 olur.
Tanım kümesi R - {2}, değer kümesi R - {-1} olur.

Verilen fonksiyon: k(x) = 1 / (x - 2) - 1

Tersini bulalım:

y = 1 / (x - 2) - 1
y + 1 = 1 / (x - 2)
x ve y yer değiştirirsek:

x + 1 = 1 / (y - 2)
y - 2 = 1 / (x + 1)
y = 1 / (x + 1) + 2

Buna göre:

k⁻¹(x) = 1 / (x + 1) + 2

Fonksiyonun tanım ve değer kümesi

• Tanım kümesi: R - {2}
• Değer kümesi: R - {-1}

Ters fonksiyonun tanım ve değer kümesi

• Tanım kümesi: R - {-1}
• Değer kümesi: R - {2}

Grafik yorumu

Fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.

Soru 4’ün Altındaki Karşılaştırma Yazısı

Kısa Cevap: Tanım ve değer kümeleri yer değiştirir.
Ayrıca grafikler y = x doğrusuna göre simetriktir.

Detaylı Cevap: Tablodaki örnekler incelendiğinde, bir rasyonel fonksiyonun tersi alınırken şu sonuçlara ulaşılır:

• Verilen fonksiyonun tanım kümesi, ters fonksiyonun değer kümesi olur.
• Verilen fonksiyonun değer kümesi, ters fonksiyonun tanım kümesi olur.
• Fonksiyon ile tersinin grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.

Bu nedenle önceki varsayımlar ile tablo sonuçları birbiriyle uyumludur.

Soru 5 - Rasyonel referans fonksiyonlardan türetilebilen fonksiyonların terslerinin cebirsel temsillerinin birer fonksiyon olmasına ilişkin şartlara ait önermenizi matematiksel olarak doğrulanacak şekilde sununuz.

Kısa Cevap: f: R - {a} → R - {b} ise
f⁻¹: R - {b} → R - {a} olur.

Detaylı Cevap: Rasyonel referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonlarda tersin de fonksiyon olabilmesi için, fonksiyonun tanım ve değer kümeleri uygun seçilmelidir. Eğer bir fonksiyon:

f: R - {a} → R - {b}

şeklinde tanımlanıyorsa, tersi de:

f⁻¹: R - {b} → R - {a}

şeklinde olur.

Burada:

• a, verilen fonksiyonu tanımsız yapan değerdir.
• b, fonksiyonun ulaşamadığı değerdir.

Bu değerler uygun şekilde çıkarıldığında hem fonksiyon hem de tersi birer fonksiyon olur.

Açıklama: Bu sayfada rasyonel fonksiyonların terslerinin bulunmasında sadece cebirsel dönüşüm yapılmadığı, aynı zamanda tanım kümesi ve değer kümesinin dikkatle incelenmesi gerektiği görülmektedir. Özellikle paydada sıfır yapan değerler ile fonksiyonun alamadığı değerler doğru belirlenirse, ters fonksiyon da düzgün şekilde yazılabilir. En önemli kural, tanım ve değer kümelerinin yer değiştirmesidir.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 272 Cevapları MEB Yayınları

13. Uygulama: Rasyonel Referans Fonksiyonunun ve Bu Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonların Ters Fonksiyonlarının Bulunması

Soru 6: Matematik yazılımlarını kullanarak aşağıda verilen adımları gerçekleştiriniz.

Soru 6 için tabloyu doldurunuz.

h(x) = 2/x - 4

Fonksiyonun cebirsel temsili

h(x) = 2/x - 4

Fonksiyonun tersinin cebirsel temsili

Kısa Cevap: h⁻¹(x) = 2 / (x + 4)

Verilen fonksiyon: y = 2/x - 4

Tersini bulmak için x ile y yer değiştirelim: x = 2/y - 4

Düzenleyelim: x + 4 = 2/y
y = 2 / (x + 4)

Bu nedenle: h⁻¹(x) = 2 / (x + 4)

Fonksiyonun tanım ve değer kümesi

Kısa Cevap:Tanım kümesi: R - {0}
Değer kümesi: R - {-4}

Detaylı Cevap: Fonksiyonda payda x olduğu için x = 0 olamaz. Bu yüzden tanım kümesi:

R - {0}

Ayrıca 2/x ifadesi hiçbir zaman 0 olamayacağı için fonksiyonun değeri -4 olamaz. Bu yüzden değer kümesi:

R - {-4}

Ters fonksiyonun tanım ve değer kümesi

Kısa Cevap: Tanım kümesi: R - {-4}
Değer kümesi: R - {0}

Detaylı Cevap:

Ters fonksiyonda tanım ve değer kümeleri yer değiştirir. Buna göre:

h⁻¹: R - {-4} → R - {0}

Grafik yorumu

Kısa Cevap: Fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.

Detaylı Cevap: Ana fonksiyonun grafiğinde bulunan her (a, b) noktası, ters fonksiyonda (b, a) olur. Bu nedenle iki grafik y = x doğrusuna göre ayna görüntüsü gibidir.

k(x) = 1/(x - 4)

Fonksiyonun cebirsel temsili

k(x) = 1 / (x - 4)

Fonksiyonun tersinin cebirsel temsili

Kısa Cevap: k⁻¹(x) = 1/x + 4

Verilen fonksiyon: y = 1 / (x - 4)
x ile y yer değiştirelim: x = 1 / (y - 4)

Düzenleyelim:

x(y - 4) = 1
y - 4 = 1/x
y = 1/x + 4

Bu nedenle: k⁻¹(x) = 1/x + 4

Fonksiyonun tanım ve değer kümesi

Kısa Cevap: Tanım kümesi: R - {4}
Değer kümesi: R - {0}

Detaylı Cevap: Payda x - 4 olduğundan x = 4 için ifade tanımsız olur. Bu nedenle tanım kümesi: R - {4}

Ayrıca 1/(x - 4) ifadesi hiçbir zaman 0 olamaz. Bu nedenle değer kümesi: R - {0}

Ters fonksiyonun tanım ve değer kümesi

Kısa Cevap: Tanım kümesi: R - {0}
Değer kümesi: R - {4}

Ters fonksiyonda tanım ve değer kümeleri yer değiştirir. Buna göre:

k⁻¹: R - {0} → R - {4}

Grafik yorumu

Kısa Cevap: Fonksiyon ve tersi y = x doğrusuna göre simetriktir.

Ters fonksiyon bulunduğunda tüm noktalar yer değiştirir. Bu yüzden ana grafik ile ters grafik arasında y = x doğrusuna göre simetri vardır.

Soru 7: Rasyonel referans fonksiyonun ve bu fonksiyondan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonlarına ait önermelerinizi fonksiyonların tanım-değer kümesi, artan-azalanlık, maksimum-minimum noktaları, simetri özellikleri bağlamında değerlendiriniz.

Kısa Cevap: Tanım ve görüntü kümeleri yer değiştirir.
Artan fonksiyonun tersi artan, azalan fonksiyonun tersi de azalandır.
Maksimum ve minimum noktaları yoktur.
Grafikler y = x doğrusuna göre simetriktir.

Detaylı Cevap: Rasyonel referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların tersleri incelendiğinde şu sonuçlara ulaşılır:

• Bir fonksiyonun tanım kümesi, ters fonksiyonun değer kümesi olur.
• Bir fonksiyonun değer kümesi, ters fonksiyonun tanım kümesi olur.
• Fonksiyon artan ise tersi de artan olur.
• Fonksiyon azalan ise tersi de azalan olur.
• Bu tür rasyonel fonksiyonlarda genellikle maksimum ve minimum nokta bulunmaz.
• Fonksiyonun grafiği ile ters fonksiyonun grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.

Bu özellikler, ters fonksiyon kavramının hem cebirsel hem de grafiksel yönünü açıkça gösterir.

Açıklama: Bu sayfada rasyonel fonksiyonların tersleri değerlendirilirken yalnızca tersini bulmak değil, aynı zamanda tanım kümesi, değer kümesi, artan-azalanlık ve simetri gibi özellikler birlikte ele alınmaktadır. En önemli sonuç, fonksiyon ile tersinin grafiklerinin y = x doğrusuna göre simetrik olması ve tanım-değer kümelerinin yer değiştirmesidir.