10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 227-238 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 227 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru 1: Verilen adımları takip ederek g(x)=a·f(x+k) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Kısa Cevap: a=1, k=0 için grafik f(x)=√x grafiğidir; yani orijinden başlayan artan bir eğri elde edilir.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 228 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru a) Tablodaki boşlukları doldurunuz.

Kısa Cevap: Tablo 1’de eksik olan ifadeler n(x)=4√x ve s(x)=-3√x şeklindedir. Tablo 2’de ise kaydırma ve katsayıya göre fonksiyonlar kök içinde toplama-çıkarma ve dışarıdan çarpma ile yazılır.

Tablo 1: r = 0, k = 0 iken a sürgüsündeki değişime göre dönüşümler

n(x) için

• a değeri: 4
• Cebirsel temsil: n(x) = 4√x
• Yapılan cebirsel işlem: 4 ile çarpma
• Grafik dönüşümü: 4 kat dikey daralma

s(x) için

• a değeri: -3
• Cebirsel temsil: s(x) = -3√x
• Yapılan cebirsel işlem: -3 ile çarpma
• Grafik dönüşümü: x eksenine göre yansıma ve 3 kat dikey daralma

Tablo 2: k = 0 iken a ve r sürgüsüne göre dönüşümler

m(x) için

• a = 1, r = -3
• Cebirsel temsil: m(x) = √(x-3)
• Yapılan cebirsel işlem: x yerine -3 ekleme
• Grafik dönüşümü: sağa 3 birim öteleme

n(x) için

• a = 2, r = 3
• Cebirsel temsil: n(x) = 2√(x+3)
• Yapılan cebirsel işlem: x yerine 3 ekleme, 2 ile çarpma
• Grafik dönüşümü: sola 3 birim öteleme, 2 kat dikey daralma

s(x) için

• a = -2, r = -3
• Cebirsel temsil: s(x) = -2√(x-3)
• Yapılan cebirsel işlem: x yerine -3 ekleme, -2 ile çarpma
• Grafik dönüşümü: sağa 3 birim öteleme, x eksenine göre yansıma, 2 kat dikey daralma

Özet Tablo

Tablo 1 eksik cevaplar

• n(x) = 4√x
• 4 ile çarpma
• 4 kat dikey daralma
• s(x) = -3√x
• -3 ile çarpma
• x eksenine göre yansıma ve 3 kat dikey daralma

Tablo 2 eksik cevaplar

• m(x) = √(x-3) → sağa 3 birim öteleme
• n(x) = 2√(x+3) → sola 3 birim öteleme, 2 kat dikey daralma
• s(x) = -2√(x-3) → sağa 3 birim öteleme, x eksenine göre yansıma, 2 kat dikey daralma

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 229 Cevapları (MEB Yayınları)

c) Tablo 3’teki boşlukları doldurunuz.

Kısa Cevap: Tablo 3’te eksik olan fonksiyonlar sırasıyla m(x)=√x−1, n(x)=4√x+3 ve s(x)=−2√x−2 şeklindedir.

m(x) için

• a = 1, k = -1
• Cebirsel temsil: m(x) = √x - 1
• Yapılan cebirsel işlem: Karekök fonksiyonundan 1 çıkarma
• Grafik dönüşümü: y ekseni boyunca 1 birim negatif yönde öteleme

n(x) için

• a = 4, k = 3
• Cebirsel temsil: n(x) = 4√x + 3
• Yapılan cebirsel işlem: 4 ile çarpma, 3 ekleme
• Grafik dönüşümü: 4 kat dikey daralma, y ekseni boyunca 3 birim pozitif yönde öteleme

s(x) için

• a = -2, k = -2
• Cebirsel temsil: s(x) = -2√x - 2
• Yapılan cebirsel işlem: -2 ile çarpma, 2 çıkarma
• Grafik dönüşümü: x eksenine göre yansıma, 2 kat dikey daralma, y ekseni boyunca 2 birim negatif yönde öteleme

ç) Tablo 4’teki boşlukları doldurunuz.

Kısa Cevap: Tablo 4’te eksik olan fonksiyonlar m(x)=√(x−2)−1, n(x)=2√(x+3)−4 ve s(x)=−√(x−1)+1 şeklindedir.

m(x) için

• a = 1, r = -2, k = -1
• Cebirsel temsil: m(x) = √(x - 2) - 1
• Yapılan cebirsel işlem: Bağımsız değişkenin 2 eksiğinin karekökünden 1 çıkarma
• Grafik dönüşümü: x ekseni boyunca 2 birim pozitif yönde öteleme, y ekseni boyunca 1 birim negatif yönde öteleme

n(x) için

• a = 2, r = 3, k = -4
• Cebirsel temsil: n(x) = 2√(x + 3) - 4
• Yapılan cebirsel işlem: 2 ile çarpma, bağımsız değişkenin 3 fazlasının karekökünden 4 çıkarma
• Grafik dönüşümü: 2 kat dikey daralma, x ekseni boyunca 3 birim negatif yönde öteleme, y ekseni boyunca 4 birim negatif yönde öteleme

s(x) için

• a = -1, r = -1, k = 1
• Cebirsel temsil: s(x) = -√(x - 1) + 1
• Yapılan cebirsel işlem: -1 ile çarpma, bağımsız değişkenin 1 eksiğinin kareköküne 1 ekleme
• Grafik dönüşümü: x eksenine göre yansıma, x ekseni boyunca 1 birim pozitif yönde öteleme, y ekseni boyunca 1 birim pozitif yönde öteleme

Özet Cevaplar

Tablo 3

• m(x)=√x−1
• n(x)=4√x+3
• s(x)=−2√x−2

Tablo 4

• m(x)=√(x−2)−1
• n(x)=2√(x+3)−4
• s(x)=−√(x−1)+1

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 230 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru 2: Verilen dönüşümlere göre fonksiyonların cebirsel ve grafik temsillerini yazınız.

Kısa Cevap: Dönüşümlere göre cebirsel ifadeler sırasıyla
g(x)=3√x, g(x)=-√(x+4), g(x)=√(x-2)+3, g(x)=-3√(x-2)+1 olur.

1. Dönüşüm: 3 kat dikey daralma

Cebirsel Temsil: g(x)=3√x

Detaylı Cevap: Karekök referans fonksiyonu f(x)=√x tir.
Fonksiyon 3 ile çarpılırsa grafik dikey doğrultuda 3 kat değişir.

Temel noktalar:

• (0,0)
• (1,3)
• (4,6)

Grafik orijinden başlar ve artan şekilde devam eder.

2. Dönüşüm: x eksenine göre yansıma, x ekseni boyunca negatif yönde 4 birim öteleme

Cebirsel Temsil: g(x)=-√(x+4)

• x eksenine göre yansıma olduğu için başa eksi işareti gelir.
• x ekseninde sola 4 birim öteleme olduğu için x yerine x+4 yazılır.

Bu yüzden:
g(x)=-√(x+4)

Temel noktalar:

• (-4,0)
• (-3,-1)
• (0,-2)

Grafik (-4,0) noktasından başlar ve aşağı doğru ilerler.

3. Dönüşüm: x ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim öteleme

Cebirsel Temsil: g(x)=√(x-2)+3

• Sağa 2 birim öteleme için x yerine x-2 yazılır.
• Yukarı 3 birim öteleme için fonksiyonun dışına +3 eklenir.

Bu nedenle: g(x)=√(x-2)+3) değil, doğru ifade g(x)=√(x-2)+3 olur.

Temel noktalar:

• (2,3)
• (3,4)
• (6,5)

Grafik (2,3) noktasından başlar ve artarak devam eder.

4. Dönüşüm: 3 kat dikey daralma, x eksenine göre yansıma, x ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim ve y ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim öteleme

Cebirsel Temsil: g(x)=-3√(x-2)+1

• Sağa 2 birim öteleme için: x-2
• 3 ile çarpma için: 3√(x-2)
• x eksenine göre yansıma için: -3√(x-2)
• Yukarı 1 birim öteleme için: -3√(x-2)+1

Sonuç: g(x)=-3√(x-2)+1

Temel noktalar:

• (2,1)
• (3,-2)
• (6,-5)

Grafik (2,1) noktasından başlar ve aşağı doğru ilerler.

Toplu Cevaplar

Cebirsel Temsiller:

1. g(x)=3√x
2. g(x)=-√(x+4)
3. g(x)=√(x-2)+3
4. g(x)=-3√(x-2)+1

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 231 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru 3: f(x)=√x fonksiyonundan türetilen g(x)=a·√(x+r)+k fonksiyonunun nitel özelliklerini yazınız.

(a, r, k ∈ R, a ≠ 0, r > 0, k > 0)

Kısa Cevap: a>0 ise fonksiyon artan, a<0 ise azalandır. Tanım kümesi her iki durumda da [-r, ∞) olur. Görüntü kümesi ise a>0 için [k, ∞), a<0 için (-∞, k] olur.

a > 0 durumu

Tanım Kümesi

Karekök içi negatif olamaz:

x + r ≥ 0
x ≥ -r

Bu yüzden tanım kümesi = [-r, ∞) olur.

Görüntü Kümesi

√(x+r) ≥ 0 olduğundan ve a>0 olduğu için
a·√(x+r) ≥ 0 olur. Buna bir de k eklenirse:

g(x) = a·√(x+r) + k ≥ k

Bu yüzden görüntü kümesi = [k, ∞) olur.

İşareti

Fonksiyonun en küçük değeri k’dir. Soruda k>0 verildiği için fonksiyonun tüm değerleri pozitiftir.

Artanlık-Azalanlık

a>0 olduğunda karekök fonksiyonu yön değiştirmez. Bu yüzden fonksiyon artan olur.

Maksimum-Minimum Noktaları ve Değerleri

En küçük x değeri x=-r’dir. Bu durumda:

g(-r)=a·√0+k=k

Yani minimum değer k, bunu aldığı nokta (-r, k) olur.
Maksimum değer yoktur.

a < 0 durumu

Tanım Kümesi

Yine karekök içi negatif olamaz:

x + r ≥ 0
x ≥ -r

Bu yüzden tanım kümesi = [-r, ∞) olur.

Görüntü Kümesi

√(x+r) ≥ 0 ve a<0 olduğundan
a·√(x+r) ≤ 0 olur. Buna k eklenirse:

g(x)=a·√(x+r)+k ≤ k

Bu yüzden görüntü kümesi = (-∞, k] olur.

İşareti

Fonksiyonun en büyük değeri k’dir. Ancak aşağıya doğru sonsuza gidebildiği için hem pozitif, hem sıfır, hem de negatif değerler alabilir.
Sıfır olduğu değer için:

a·√(x+r)+k=0
a·√(x+r)=-k
√(x+r)=-k/a

Burada a<0 olduğu için -k/a > 0 olur. Kare alırsak:

x+r = (k/|a|)^2
x = (k/|a|)^2 - r

Buna göre:

• [-r, (k/|a|)^2 - r) aralığında pozitif
• x = (k/|a|)^2 - r için 0
• ((k/|a|)^2 - r, ∞) aralığında negatif olur.

Artanlık-Azalanlık

a<0 olduğunda grafik x eksenine göre yansır. Bu nedenle fonksiyon azalan olur.

Maksimum-Minimum Noktaları ve Değerleri

En büyük değer, yine x=-r için elde edilir:

g(-r)=a·√0+k=k

Yani maksimum değer k, bunu aldığı nokta (-r, k) olur.
Minimum değer yoktur.

Tablo Hâlinde Cevap

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 232 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru 4: Verilen fonksiyonların tanım kümesi, görüntü kümesi ve işaretini bulunuz.

m(x) = -2√(x-2)

Kısa Cevap: Tanım kümesi [2, ∞), görüntü kümesi (-∞, 0] olur. Fonksiyon x=2 için 0, x>2 için negatiftir.

Grafik incelemesi

Grafik (2,0) noktasından başlar ve sağa doğru giderken aşağı iner.
Bu nedenle:

• Tanım kümesi: [2, ∞)
• Görüntü kümesi: (-∞, 0]
• İşareti:
  • x = 2 için m(x)=0
  • x > 2 için m(x)<0

Cebirsel inceleme

Fonksiyon: m(x) = -2√(x-2)

Karekök içi negatif olamaz:

x - 2 ≥ 0
x ≥ 2

Bu yüzden tanım kümesi [2, ∞) olur.

Karekök her zaman 0 veya pozitiftir.
Ancak başında -2 olduğu için sonuç her zaman 0 veya negatif olur.

Bu nedenle görüntü kümesi (-∞, 0] olur.

İşaret incelemesi:

• x=2 için: m(2)=-2√0=0
• x>2 için: √(x-2)>0 olduğundan m(x)<0

n(x) = 3√(x-1) + 2

Kısa Cevap: Tanım kümesi [1, ∞), görüntü kümesi [2, ∞) olur. Fonksiyon her zaman pozitiftir.

Grafik incelemesi

Grafik (1,2) noktasından başlar ve sağa doğru artan şekilde devam eder.
Bu nedenle:

• Tanım kümesi: [1, ∞)
• Görüntü kümesi: [2, ∞)
• İşareti: Daima pozitiftir

Cebirsel inceleme

Fonksiyon: n(x) = 3√(x-1) + 2

Karekök içi negatif olamaz:

x - 1 ≥ 0
x ≥ 1

Bu yüzden tanım kümesi [1, ∞) olur.

Ayrıca:

√(x-1) ≥ 0
3√(x-1) ≥ 0

Buna 2 eklenirse:

n(x) = 3√(x-1) + 2 ≥ 2

Bu nedenle görüntü kümesi [2, ∞) olur.

İşaret incelemesi:

• En küçük değer 2 olduğu için fonksiyon hiç sıfır veya negatif olmaz
• Yani her x için pozitiftir

Özet

m(x) = -2√(x-2)

• Tanım kümesi: [2, ∞)
• Görüntü kümesi: (-∞, 0]
• İşareti: x=2’de 0, x>2’de negatif

n(x) = 3√(x-1) + 2

• Tanım kümesi: [1, ∞)
• Görüntü kümesi: [2, ∞)
• İşareti: Her zaman pozitif

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 233 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru b: m(x) = -2√(x-2) fonksiyonunun artan-azalan ve maksimum-minimum özellikleri

Kısa Cevap: Fonksiyon [2, ∞) aralığında azalandır. Maksimum değeri (2,0) noktasında 0’dır, minimum değeri yoktur.

Grafik İncelemesi

Fonksiyon x = 2 noktasından başlar ve sağa doğru ilerledikçe aşağı iner.

• Başlangıç noktası: (2, 0)
• Grafik sağa gittikçe azalır
• Bu nedenle:

Azalan olduğu aralık: [2, ∞)
Artan olduğu aralık: Yok

Cebirsel İnceleme

Fonksiyon: m(x) = -2√(x-2)

• √(x-2) arttıkça değer büyür
• Ancak başında -2 olduğu için sonuç küçülür

Bu yüzden fonksiyon azalan fonksiyondur

Maksimum – Minimum Değerler

• x = 2 için:
  m(2) = -2√0 = 0

Maksimum değer:

• Değer: 0
• Nokta: (2, 0)
• x arttıkça fonksiyon sürekli azalır ve -∞’ye gider

Minimum değer: Yoktur

Özet

• Tanım aralığı: [2, ∞)
• Azalan: [2, ∞)
• Artan: Yok
• Maksimum: (2, 0) → 0
• Minimum: Yok

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 234 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru: n(x)=3√(x-1)+2 fonksiyonunun artan-azalan olduğu aralıkları ve maksimum-minimum noktalarını bulunuz.

Kısa Cevap: Fonksiyon [1, ∞) aralığında artandır. Minimum değeri 2’dir ve (1,2) noktasında alınır, maksimum değeri yoktur.

n(x)=3√(x-1)+2

Karekök içinin sıfırdan büyük ya da eşit olması gerekir:

x-1 ≥ 0
x ≥ 1

Bu yüzden fonksiyon x=1 noktasından başlar.

Karekök fonksiyonu zaten artandır.
Bir de 3 ile çarpılıp 2 birim yukarı ötelenmiş olduğundan artma özelliği değişmez.

Bu nedenle:

• Artan olduğu aralık: [1, ∞)
• Azalan olduğu aralık: Yoktur

En küçük x değeri 1 olduğuna göre:
n(1)=3√(1-1)+2=3.0+2=2

Bu yüzden:

• Minimum nokta: (1,2)
• Minimum değer: 2
• Maksimum değer: Yoktur

Soru 5a: Verilen fonksiyonların tanım kümesi, görüntü kümesi ve işaretini bulunuz.

1. Fonksiyon: h(x)=4√x

Kısa Cevap: Tanım kümesi [0, ∞), görüntü kümesi [0, ∞) olur. x=0 için sıfır, x>0 için pozitiftir.

Detaylı Cevap: Karekök içi negatif olamaz:

x ≥ 0

Bu yüzden:

• Tanım kümesi: [0, ∞)

Ayrıca:
√x ≥ 0 olduğundan
4√x ≥ 0

Bu yüzden:

• Görüntü kümesi: [0, ∞)

İşareti:

• x=0 için h(0)=0
• x>0 için h(x)>0

Yani fonksiyon negatif değer almaz.

2. Fonksiyon: m(x)=-3√(x+2)

Kısa Cevap: Tanım kümesi [-2, ∞), görüntü kümesi (-∞, 0] olur. x=-2 için sıfır, x>-2 için negatiftir.

Detaylı Cevap: Karekök içi negatif olamaz:

x+2 ≥ 0
x ≥ -2

Bu yüzden: Tanım kümesi: [-2, ∞)

Karekök ifadesi sıfır ya da pozitiftir.
Baştaki -3 nedeniyle sonuç sıfır ya da negatif olur.

Bu yüzden: Görüntü kümesi: (-∞, 0]

İşareti:

• x=-2 için m(-2)=0
• x>-2 için m(x)<0

Özet Cevaplar

n(x)=3√(x-1)+2

• Artan: [1, ∞)
• Azalan: Yok
• Minimum nokta: (1,2)
• Minimum değer: 2
• Maksimum: Yok

h(x)=4√x

• Tanım kümesi: [0, ∞)
• Görüntü kümesi: [0, ∞)
• İşareti: x=0’da 0, x>0’da pozitif

m(x)=-3√(x+2)

• Tanım kümesi: [-2, ∞)
• Görüntü kümesi: (-∞, 0]
• İşareti: x=-2’de 0, x>-2’de negatif

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 235 Cevapları (MEB Yayınları)

Kısa Cevap: n(x)=3√(x-1)-2 fonksiyonunun tanım kümesi [1,∞), görüntü kümesi [-2,∞) olur. h(x)=4√x artan bir fonksiyondur ve minimum değeri 0’dır; m(x)=-3√(x+2) ise azalan bir fonksiyondur ve maksimum değeri 0’dır.

n(x)=3√(x-1)-2 Fonksiyonunun İncelenmesi

Tanım Kümesi, Görüntü Kümesi ve İşareti

Verilen fonksiyon: n(x)=3√(x-1)-2

Karekök içi negatif olamayacağı için:

x-1 ≥ 0
x ≥ 1

Bu nedenle tanım kümesi [1,∞) olur.

Karekök ifadesi en küçük 0 değerini alır.
Bu durumda: n(1)=3√0-2=-2

Fonksiyon artarak devam ettiği için en küçük değeri -2 olur. Bu yüzden görüntü kümesi [-2,∞) şeklindedir.

İşaret incelemesi için:

3√(x-1)-2 = 0
3√(x-1)=2
√(x-1)=2/3
x-1=4/9
x=13/9

Buna göre:

• [1, 13/9) aralığında negatif
• x=13/9 için 0
• (13/9, ∞) aralığında pozitif

h(x)=4√x Fonksiyonunun İncelenmesi

Artan-Azalan Olduğu Aralıklar

Verilen fonksiyon: h(x)=4√x

Karekök fonksiyonu temel olarak artandır. 4 ile çarpılması bu özelliği değiştirmez.
Bu nedenle fonksiyon:

• [0,∞) aralığında artandır
• Azalan olduğu bir aralık yoktur

Maksimum-Minimum Noktaları ve Değerleri

Detaylı Cevap: Fonksiyonun tanım kümesi [0,∞) olduğundan en küçük x değeri 0’dır.

h(0)=4√0=0

Bu nedenle:

• Minimum nokta: (0,0)
• Minimum değer: 0

Fonksiyon sürekli arttığı için:

• Maksimum değer yoktur

m(x)=-3√(x+2) Fonksiyonunun İncelenmesi

Artan-Azalan Olduğu Aralıklar

Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon:

m(x)=-3√(x+2)

Önce tanım şartını yazalım:

x+2 ≥ 0
x ≥ -2

Yani tanım kümesi [-2,∞) olur.

Karekök fonksiyonu artan olsa da başındaki eksi işareti nedeniyle grafik aşağı doğru yönelir. Bu yüzden fonksiyon:

• [-2,∞) aralığında azalandır
• Artan olduğu bir aralık yoktur

Maksimum-Minimum Noktaları ve Değerleri

En küçük x değeri -2’dir.

m(-2)=-3√0=0

Bu nedenle:

• Maksimum nokta: (-2,0)
• Maksimum değer: 0

Fonksiyon sağa doğru gittikçe sürekli küçülür. Bu yüzden:

• Minimum değer yoktur

Özet Cevaplar

n(x)=3√(x-1)-2

• Tanım kümesi: [1,∞)
• Görüntü kümesi: [-2,∞)
• İşareti:
  [1,13/9) negatif, 13/9’da sıfır, (13/9,∞) pozitif

h(x)=4√x

• Artan: [0,∞)
• Azalan: Yok
• Minimum nokta: (0,0)
• Minimum değer: 0
• Maksimum: Yok

m(x)=-3√(x+2)

• Azalan: [-2,∞)
• Artan: Yok
• Maksimum nokta: (-2,0)
• Maksimum değer: 0
• Minimum: Yok

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 236 Cevapları (MEB Yayınları)

Kısa Cevap: n(x)=3√(x-1)-2 fonksiyonu [1,∞) aralığında artandır, minimum değeri -2’dir ve maksimumu yoktur. g(x)=a√(x+r)+k fonksiyonunda a>0 ise artan, a<0 ise azalandır.

Soru: n(x)=3√(x-1)-2 fonksiyonunun artan-azalan ve maksimum-minimum özellikleri

Artan-Azalan Olduğu Aralıklar

Fonksiyon: n(x)=3√(x-1)-2

Tanım şartı: x-1 ≥ 0 → x ≥ 1

Karekök fonksiyonu artan olduğu için ve 3 ile çarpılması bu özelliği değiştirmediğinden:

Artan olduğu aralık: [1,∞)
Azalan olduğu aralık: Yok

Maksimum-Minimum Noktaları ve Değerleri

En küçük x değeri: x=1

n(1)=3√0-2=-2

Minimum nokta: (1, -2)
Minimum değer: -2

Fonksiyon sürekli arttığı için: Maksimum değer yoktur

Soru 6: Karşılaştırma

Kısa Cevap: Grafik çizimi ve matematik yazılım sonuçları aynıdır; fark varsa çizim hatasından kaynaklanır.

Detaylı Cevap: Elle çizilen grafik ile bilgisayar ortamında çizilen grafikler genellikle aynı sonucu verir.
Olası farklar:

• Ölçek hatası
• Nokta yerleştirme hatası
• Yuvarlama farkları

Bilgisayar grafikleri daha hassas ve doğrudur.

Soru 7: g(x)=a√(x+r)+k Fonksiyonu Genelleme

Durum 1: a > 0

• Tanım kümesi: [-r, ∞)
• Görüntü kümesi: [k, ∞)

İşareti:

• k ≥ 0 ise genelde pozitif
• k < 0 ise başlangıçta negatif olabilir
• Artanlık: Artan
• Minimum: (-r, k)
• Maksimum: Yok

Durum 2: a < 0

• Tanım kümesi: [-r, ∞)
• Görüntü kümesi: (-∞, k]

İşareti: Başlangıçta pozitif olabilir, sonra negatife düşer

• Artanlık: Azalan
• Maksimum: (-r, k)
• Minimum: Yok

Özet Tablo

a > 0 için:

• Artan
• Minimum var → (-r, k)
• Maksimum yok

a < 0 için:

• Azalan
• Maksimum var → (-r, k)
• Minimum yok

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 237 Cevapları (MEB Yayınları)

Kısa Cevap: f(x)= (2π/3)√x fonksiyonu [1,9] aralığında artandır. Minimum değeri 2π/3, maksimum değeri 2π’dir.

a) Sarkacın periyodunun grafiği

Verilen fonksiyon: f(x)= (2π/3)√x

Tanım aralığı: x ∈ [1,9]

Önemli noktalar:

• x=1 → f(1)=2π/3
• x=4 → f(4)= (2π/3)·2 = 4π/3
• x=9 → f(9)= (2π/3)·3 = 2π

Grafik:

• (1, 2π/3)’ten başlar
• (9, 2π)’ye kadar artan eğri şeklinde ilerler
• Kök fonksiyonu olduğu için eğri yukarı doğru artar ama eğimi giderek azalır

b) Sarkacın boyu arttıkça periyot nasıl değişir?

Kısa Cevap: Boy arttıkça periyot artar ancak artış hızı giderek azalır.

Fonksiyon karekök fonksiyonudur (√x).
Bu tür fonksiyonlar:

• Sürekli artar
• Ancak artış hızı zamanla azalır

Yani:

• İlk başta hızlı artış
• Sonra daha yavaş artış

Sonuç: Sarkacın boyu uzadıkça periyot artar ama artış giderek yavaşlar.

c) Maksimum ve minimum değerler

Kısa Cevap: Minimum değer 2π/3 (x=1), maksimum değer 2π (x=9).

Fonksiyon artan olduğu için:

• En küçük değer → sol uçta
• En büyük değer → sağ uçta olur

Minimum:

• x=1
• f(1)=2π/3

Maksimum:

• x=9
• f(9)=2π

Özet

• Tanım aralığı: [1,9]
• Artan fonksiyon
• Minimum: 2π/3 (x=1)
• Maksimum: 2π (x=9)
• Artış hızı zamanla azalır

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 238 Cevapları (MEB Yayınları)

Kısa Cevap: g(x)=a√(x+r)+k (a>0, r>0, k>0) fonksiyonu [−r,∞) aralığında tanımlıdır, artandır ve minimum değeri (−r, k) noktasındadır.

9. Soru Cevapları

Tanım Kümesi

Kısa Cevap: [−r, ∞)

Detaylı Cevap: Karekök içi sıfırdan büyük olmalıdır:
x + r ≥ 0 → x ≥ −r
Bu yüzden tanım kümesi:
[−r, ∞)

Görüntü Kümesi

Kısa Cevap: [k, ∞)

√(x+r) ≥ 0 olduğundan:
a√(x+r) ≥ 0 (a>0)
Buna k eklenince:
g(x) ≥ k
Görüntü kümesi: [k, ∞)

İşareti

Kısa Cevap: Her zaman pozitiftir.

Detaylı Cevap:
a√(x+r) ≥ 0 ve k>0 olduğundan:
Fonksiyon daima pozitiftir
Negatif değer yoktur

Artanlık-Azalanlık

Kısa Cevap: Artan (azalan yok)

Detaylı Cevap: √x fonksiyonu artandır.
a>0 olduğu için yön değişmez.
[−r,∞) aralığında sürekli artar

Maksimum-Minimum Noktalar

Kısa Cevap: Minimum: (−r, k) — Maksimum: Yok

Detaylı Cevap:
En küçük x değeri: x = −r
g(−r) = k

Minimum noktası: (−r, k)
Sonsuza gittiği için maksimum yoktur

10. Soru Cevapları

Verilen fonksiyon: g(x) = 2√(x−3) + 1

Kısa Cevap: Minimum nokta: (3, 1)

• Artan aralık: [3, ∞)
• Maksimum: Yok

Tanım Kümesi

x−3 ≥ 0 → x ≥ 3
[3, ∞)

Minimum Nokta

x=3 için:
g(3)=2√0+1=1

Minimum nokta: (3,1)

Artanlık

√x artan olduğundan:
Fonksiyon [3,∞) aralığında artandır

Maksimum

Fonksiyon sonsuza gider:
Maksimum yoktur

Genel Değerlendirme

• Grafik yöntemi: Görsel ve anlaşılır
• Cebirsel yöntem: Daha kesin ve ispatlı
• En iyi sonuç: İkisi birlikte kullanıldığında elde edilir