10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 161-164 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 161 Cevapları – MEB Yayınları

3.3. Bölünebilme Özelliklerini Kullanarak Kalan Bulma

Konuya Başlarken – Sorular ve Cevaplar

1. Soru: 360 sayısı aşağıda verilen sayılardan hangileri ile tam bölünebilir?

Verilen sayılar: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10

Cevap: 360 sayısı; 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 ve 10 ile tam bölünebilir.
Çünkü 360 sayısının asal çarpanları:
360 = 2³ × 3² × 5
Bu nedenle verilen sayıların tamamı 360’ı kalansız böler.

2. Soru: 360’ı tam bölen sayıları bulurken hangi yöntemleri kullandınız?

Cevap: Bölünebilme kuralları, asal çarpanlara ayırma ve listeleme yöntemleri kullanılmıştır.
Bu yöntemler sayesinde 360’ın hangi sayılarla kalansız bölündüğü kolayca belirlenir.

3. Soru: Bir sayının başka bir sayıya tam bölünüp bölünmediği hangi yöntemlerle bulunur?

Cevap: Bölünebilme kuralları, uzun bölme ve asal çarpanlara ayırma yöntemi ile bulunur.
Bu yöntemler sayesinde bir sayının kalansız bölünüp bölünmediği kesin olarak anlaşılır.

4. Uygulama Cevapları

Aşağıda verilen soruları cevaplayınız.
1. Tablolarda verilen sayıların sırasıyla 2, 5, 10, 4 ve 8 ile bölümünden kalanları örnekteki gibi basamak çözümlemelerini yaparak bulunuz.

148 sayısının 2 ile bölümünden kalan:

148 = 100 + 40 + 8
Kalan: 0
2 ile tam bölünür.

254 sayısının 2 ile bölümünden kalan:

254 = 200 + 50 + 4
Kalan: 0
2 ile tam bölünür.

375 sayısının 2 ile bölümünden kalan:

375 = 300 + 70 + 5
Kalan: 1
2 ile tam bölünmez.

Genelleme: Bir sayının 2 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağının 2 ile bölümünden kalandır.

b- Yukarıda elde ettiğiniz sonuçlara göre bir sayının 5 ile bölümünden kalanı bulmaya dair varsayımlarda bulununuz.

240 sayısının 5 ile bölümünden kalan:

240 = 200 + 40 + 0
Kalan: 0
5 ile tam bölünür.

375 sayısının 5 ile bölümünden kalan:

375 = 300 + 70 + 5
Kalan: 0
5 ile tam bölünür.

413 sayısının 5 ile bölümünden kalan:

413 = 400 + 10 + 3
Kalan: 3
5 ile tam bölünmez.

Genelleme: Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağının 5 ile bölümünden kalandır.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 162 Cevapları – MEB Yayınları

c) 10 ile Bölümden Kalan - Yukarıda elde ettiğiniz sonuçlara göre bir sayının 10 ile bölümünden kalanı bulmaya dair varsayımlarda bulununuz.

Sayılar ve Sonuçlar:

• 360 → Kalan 0 (10 ile tam bölünür)
• 420 → Kalan 0 (10 ile tam bölünür)
• 758 → Kalan 8 (10 ile tam bölünmez)

Genelleme: Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, sayının birler basamağına eşittir.

ç) 4 ile Bölümden Kalan - Yukarıda elde ettiğiniz sonuçlara göre bir sayının 4 ile bölümünden kalanı bulmaya dair varsayımlarda bulununuz.

Sayılar ve Sonuçlar:

• 184 → Kalan 0 (4 ile tam bölünür)
• 352 → Kalan 0 (4 ile tam bölünür)
• 538 → Kalan 2 (4 ile tam bölünmez)

Genelleme: Bir sayının 4 ile bölümünden kalan, son iki basamağı 4’e bölünerek bulunur.

d) 8 ile Bölümden Kalan - Yukarıda elde ettiğiniz sonuçlara göre bir sayının 8 ile bölümünden kalanı bulmaya dair varsayımlarda bulununuz.

Sayılar ve Sonuçlar:

• 248 → Kalan 0 (8 ile tam bölünür)
• 532 → Kalan 4 (8 ile tam bölünmez)
• 1318 → Kalan 6 (8 ile tam bölünmez)

Genelleme: Bir sayının 8 ile bölümünden kalan, sayının son üç basamağı 8’e bölünerek bulunur.

2. Soru – Aşağıda birer örnek içeren tabloları uygun sayılar ile doldurunuz. (Her bir hücreye en az 2 sayı daha yazınız.)

2 ile Bölünebilme

• Kalanı 0 Olan Sayılar: 124, 872, 588
• Kalanı 1 Olan Sayılar: 251, 305, 683

5 ile Bölünebilme

• Kalanı 0 Olan Sayılar: 125, 860, 685
• Kalanı 1 Olan Sayılar: 251, 106, 356
• Kalanı 2 Olan Sayılar: 257, 342, 477
• Kalanı 3 Olan Sayılar: 143, 478, 913
• Kalanı 4 Olan Sayılar: 379, 134, 599

10 ile Bölünebilme – Kalanlar Tablosu

• Kalanı 0 Olan Sayılar: 140, 350, 470, 290, 510, 310, 270, 340, 120, 240
• Kalanı 1 Olan Sayılar: 351, 851, 131
• Kalanı 2 Olan Sayılar: 472, 122, 832
• Kalanı 3 Olan Sayılar: 293, 103, 923
• Kalanı 4 Olan Sayılar: 514, 824, 574
• Kalanı 5 Olan Sayılar: 315, 275, 815
• Kalanı 6 Olan Sayılar: 276, 216, 486
• Kalanı 7 Olan Sayılar: 347, 277, 837
• Kalanı 8 Olan Sayılar: 128, 488, 748
• Kalanı 9 Olan Sayılar: 249, 589, 939

4 ile Bölünebilme – Kalanlar Tablosu

• Kalanı 0 Olan Sayılar: 240, 564, 932
• Kalanı 1 Olan Sayılar: 133, 245, 681
• Kalanı 2 Olan Sayılar: 274, 386, 914
• Kalanı 3 Olan Sayılar: 375, 253, 875

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 163 Cevapları – MEB Yayınları

8 ile Bölünebilme – Kalanlar Tablosu

• Kalanı 0 Olan Sayılar: 120, 256, 400
• Kalanı 1 Olan Sayılar: 161, 241, 321
• Kalanı 2 Olan Sayılar: 242, 330, 490
• Kalanı 3 Olan Sayılar: 139, 355, 611
• Kalanı 4 Olan Sayılar: 284, 300, 740
• Kalanı 5 Olan Sayılar: 325, 453, 557
• Kalanı 6 Olan Sayılar: 406, 326, 566
• Kalanı 7 Olan Sayılar: 567, 439, 887

3. Tabloya yazdığınız sayılardan yola çıkarak bir doğal sayının 2, 5, 10, 4 ve 8 ile bölümünden kalanı bulmak için örnekteki gibi genellemelerde bulununuz ve genellemelerinizi varsayımlarınız ile karşılaştırınız.

2 ile Bölünmeden Kalan – Tam Genelleme

Bir sayının 2 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 2 ile bölümünden kalana eşittir.
Eğer birler basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 ise sayı 2 ile tam bölünür ve kalan 0 olur.
Eğer birler basamağı 1, 3, 5, 7 veya 9 ise sayı 2 ile tam bölünmez ve kalan 1 olur.

5 ile Bölünmeden Kalan – Tam Genelleme

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, yalnızca o sayının birler basamağına bakılarak bulunur.
Eğer birler basamağı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür ve kalan 0 olur.
Birler basamağı 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 veya 9 olduğunda ise sayı 5 ile tam bölünmez ve kalan buna göre 1, 2, 3 veya 4 olur.

10 ile Bölünmeden Kalan – Tam Genelleme

Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, sayının birler basamağındaki rakama eşittir.
Eğer birler basamağı 0 ise sayı 10 ile tam bölünür ve kalan 0 olur.
Birler basamağı 0’dan farklı ise kalan, doğrudan bu rakamdır.

4 ile Bölünmeden Kalan – Tam Genelleme

Bir sayının 4 ile bölümünden kalan, yalnızca son iki basamağı dikkate alınarak bulunur.
Sayının son iki basamağındaki sayı 4 ile tam bölünüyorsa, büyük sayı da 4 ile tam bölünür ve kalan 0 olur.
Eğer son iki basamak 4 ile tam bölünmüyorsa, bu iki basamağın 4 ile bölümünden kalan, büyük sayının da 4 ile bölümünden kalanı olur.

8 ile Bölünmeden Kalan – Tam Genelleme

Bir sayının 8 ile bölümünden kalan, yalnızca sayının son üç basamağına bakılarak bulunur.
Eğer son üç basamaktaki sayı 8 ile tam bölünüyorsa, büyük sayı da 8 ile tam bölünür ve kalan 0 olur.
Eğer son üç basamak 8 ile tam bölünmüyorsa, son üç basamağın 8 ile bölümünden kalan, büyük sayının da 8 ile bölümünden kalanı olur.

4. Oluşturduğunuz genellemelerin varsayımlarınızı karşılayıp karşılamadığını aşağıda verilen örnekteki gibi sınayınız.

5 ile Bölünmeden Kalanlar – Doğrulama

152 ÷ 5

152 − 150 = 2
Kalan = 2

1279 ÷ 5

1279 − 1275 = 4
Kalan = 4

10 ile Bölünmeden Kalanlar – Doğrulama

152 ÷ 10

152 = 10 × 15 + 2
Kalan = 2

1279 ÷ 10

1279 = 10 × 127 + 9
Kalan = 9

4 ile Bölünmeden Kalanlar – Doğrulama

152 ÷ 4

152 = 4 × 38 + 0
Kalan = 0

1279 ÷ 4

1279 = 4 × 319 + 3
Kalan = 3

8 ile Bölünmeden Kalanlar – Doğrulama

152 ÷ 8

152 = 8 × 19 + 0
Kalan = 0

1279 ÷ 8

1279 = 8 × 159 + 7
Kalan = 7

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 164 Cevapları – MEB Yayınları

Soru 5: Genellemelerinizden yola çıkarak bir doğal sayının 2, 5, 10, 4 ve 8 ile bölümünden kalanı bulmak için örnekteki gibi önermeler oluşturunuz.

Bir sayının 2 ile bölümünden kalan, son basamağının 2 ile bölümünden kalana eşittir.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan,
son basamağı 0 veya 5 ise kalan 0; diğer tüm durumlarda kalan 1 veya 2 veya 3 veya 4 olabilir.
(Kısaca: kalan, sayının son basamağına bağlıdır.)

Bir sayının 10 ile bölümünden kalan,
sayının son basamağına eşittir.

Bir sayının 4 ile bölümünden kalan,
sayının son iki basamağının 4 ile bölümünden kalanına eşittir.

Bir sayının 8 ile bölümünden kalan,
sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden kalanına eşittir.

6. Aşağıda verilen örneklerdeki gibi basamak çözümlemesi yapınız ve önermelerinizi cebirsel olarak doğrulayınız. abcde beş basamaklı bir sayı olsun.

Soru 7: Siz de benzer çözümler yaparak bir sayının 5, 10 ve 8 ile bölümünden kalanı veren önermelerinizi cebirsel olarak doğrulayınız.

1) 5 ile Bölüm Kalanının Cebirsel Doğrulanması

Bir sayı: abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e

Bu sayı 5’e göre: abcde = 5(2000a + 200b + 20c + 2d) + e

Buradan görüyoruz ki: Sayının 5 ile bölümünden kalan, “e” yani son basamaktır.

2) 10 ile Bölüm Kalanının Cebirsel Doğrulanması

abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e

10’a göre düzenleyelim: abcde = 10(1000a + 100b + 10c + d) + e

Buradan: Sayının 10 ile bölümünden kalan yine “e” rakamıdır.

3) 8 ile Bölüm Kalanının Cebirsel Doğrulanması

abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e

8’e göre düzenleyelim: abcde = 8(1250a + 125b) + cde

Buradan: Sayının 8 ile bölümünden kalan, son üç basamakla oluşturulan “cde” sayısının 8 ile bölümünden kalanıdır.