10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 15-17 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 15-16-17 Cevapları (MEB Yayınları)

Konu: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler

Soru 1: Yandaki şekilde verilen direğin tabana olan uzaklığı (AC) ve halatın yere bağlantı noktası (D) ile direğin yüksekliği arasındaki ilişkiyi inceleyiniz. Uzun halatın uzunluğunun direğin boyuna oranı ile kısa halatın uzunluğunun [BA] na oranı arasındaki ilişkiyi belirleyiniz.

Cevap 1: Uzunluklar orantılandığında, uzun halatın direğe oranı ile kısa halatın tabana oranı birbirine eşittir. Bu durum, benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranlarının sabit olduğunu gösterir.

Soru 2: Bir mimarın çizdiği bina planındaki boyut ile binanın gerçek boyutu arasındaki oran, bir sanatçının çizdiği tasarımın boyutu ile o tasarımın gerçek boyutu arasındaki oran gibi örneklerle hangi matematiksel kavram açıklanmaktadır?

Cevap 2: Bu kavram benzerliktir. Benzerlik, iki şekil arasında orantılı uzunluk ilişkisi kurmayı sağlar.

1. Uygulama Etkinliği

Soru 3: Bir dik üçgende dar açıların trigonometrik oranlarını bulmak için 3 grup çizim yapınız. Her grup aynı açıyı farklı üçgen çizerek ölçsün. Bu ölçümlerde elde edilen sinüs, kosinüs ve tanjant değerleri arasında nasıl bir ilişki vardır?

Cevap 3: Her grup farklı üçgen çizmesine rağmen, aynı açı için bulunan sinüs, kosinüs ve tanjant oranları eşittir. Yani, benzer üçgenlerde aynı açılara karşılık gelen kenar oranları değişmez.

Soru 4: Çizdiğiniz üçgenlerde dar açılar için elde edilen trigonometrik oranların sabit kalmasının sebebi nedir?

Cevap 4: Çünkü benzer üçgenlerde karşılıklı kenar uzunluklarının oranı sabittir. Bu sabit oranlar trigonometri için temel oluşturur.

Sayfa 16 Cevapları

Konu: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar – sin = karşı/hipotenüs, cos = komşu/hipotenüs

Soru 3 – Tabloyu doldurma (grup çalışması ilkeleri)

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar – Basit Tablo

α açısı için:

• sin α = karşı / hipotenüs = AB / AC
• cos α = komşu / hipotenüs = BC / AC
• tan α = karşı / komşu = AB / BC
• cot α = komşu / karşı = BC / AB

Tabloya yerleşim:

• Karşı / Hipotenüs → sin α
• Komşu / Hipotenüs → cos α
• Karşı / Komşu → tan α
• Komşu / Karşı → cot α

Soru 4 – Sonuçları sınıfta sunma

“Grupların elde ettiği oranlar neyi gösteriyor?”

Cevap 4: Benzer üçgenlerde aynı açıya karşılık gelen kenar oranları sabittir. Bu yüzden farklı üçgenler çizsek de aynı açı için sin ve cos değerleri değişmez.

Soru 5 – Açı–oran karşılaştırması

“Her üç grubun bulduğu oranları karşılaştırın.”

Cevap 5: Aynı dar açı için elde edilen oranlar eşit çıkar; bu da trigonometrik oranların açıya bağlı, uzunluğa bağlı olmadığını kanıtlar.

Soru 6 – Genelleme yazınız

Cevap 6 (genelleme): Karşılıklı bütün kenar uzunlukları orantılı olan (benzer) dik üçgenlerin, orantılı kenarlarını gören dar açıların ölçüleri ve trigonometrik oranları (sin, cos) birbirine eşittir.

Soru 7 – Aşağıdaki üçgenler için tabloları doldurunuz

a) Dar açıların sinüs ve kosinüs değerleri

ABC Üçgeni (AB=3, AC=4, BC=5, ∠A=90°)

• sin b = karşı/hipotenüs = AC/BC = 4/5
• cos b = komşu/hipotenüs = AB/BC = 3/5
• sin c = karşı/hipotenüs = AB/BC = 3/5
• cos c = komşu/hipotenüs = AC/BC = 4/5

DEF Üçgeni (DF=5, DE=12, EF=13, ∠D=90°)

• sin e = karşı/hipotenüs = DF/EF = 5/13
• cos e = komşu/hipotenüs = DE/EF = 12/13
• sin f = karşı/hipotenüs = DE/EF = 12/13
• cos f = komşu/hipotenüs = DF/EF = 5/13

KLN Üçgeni (KL=8, KN=15, LN=17, ∠K=90°)

• sin l = karşı/hipotenüs = KN/LN = 15/17
• cos l = komşu/hipotenüs = KL/LN = 8/17
• sin n = karşı/hipotenüs = KL/LN = 8/17
• cos n = komşu/hipotenüs = KN/LN = 15/17

b) Yorum: Üç örnekte de hipotenüs (5, 13, 17) sabit alınarak sin = karşı/hip, cos = komşu/hip kuralı ile sonuçlar bulunur; benzerlik nedeniyle açı aynıysa oran aynıdır.

Sayfa 17 Cevapları

Konu: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar – Tanjant ve Kotanjant

Soru b – Tablo 2’nin tamamlanması

Her dik üçgende tanjant ve kotanjant:

• tan(α) = karşı dik kenar / komşu dik kenar
• cot(α) = komşu dik kenar / karşı dik kenar

ABC Üçgeni (AB=3, AC=4, BC=5, ∠A=90°)

• tan b = karşı/komşu = AC/AB = 4/3
• cot b = komşu/karşı = AB/AC = 3/4
• tan c = karşı/komşu = AB/AC = 3/4
• cot c = komşu/karşı = AC/AB = 4/3

DEF Üçgeni (DF=5, DE=12, EF=13, ∠D=90°)

• tan e = karşı/komşu = DF/DE = 5/12
• cot e = komşu/karşı = DE/DF = 12/5
• tan f = karşı/komşu = DE/DF = 12/5
• cot f = komşu/karşı = DF/DE = 5/12

KLN Üçgeni (KL=8, KN=15, LN=17, ∠K=90°)

• tan l = karşı/komşu = KN/KL = 15/8
• cot l = komşu/karşı = KL/KN = 8/15
• tan n = karşı/komşu = KL/KN = 8/15
• cot n = komşu/karşı = KN/KL = 15/8

Soru 8 – Genelleme

“Bir dik üçgende bir dar açıya göre kenar uzunluklarının oranı nedir?”

Cevap: Bir dik üçgenin tüm kenar uzunlukları aynı oranda değişirse, üçgenin açı ölçüleri değişmez.
➡ Yani tanjant ve kotanjant değerleri açıya bağlıdır, uzunluklara bağlı değildir.

Soru 9 – Problem Çözümü

Spor merkezinde dik üçgen şeklinde iki adet toplanma alanı yapılıyor.

• Birincisinin kenarları: 3 m ve 6 m (dik kenarlar)
• İkincisinin dik kenarlarından biri: 8 m
• Diğer dik kenarı = x m

İki üçgenin dar açılarından biri eşit verilmiş olduğuna göre üçgenler benzer üçgendir.

Orantı kuralı: 3 ↔ 8, 6 ↔ x

3/8 = 6/x ​
3x = 48
x = 16

Cevap: İkinci toplanma alanının diğer dik kenarı 16 metredir.