9. Sınıf Matematik (MEB 2. Kitap) – Sayfa 85 Cevapları
Alıştırmalar | Eşlik ve Benzerlik (İşlemli ve Ayrıntılı Çözümler)
1. Soru – Mekanizma (Benzerlik)
Zübeyde öğretmen, AB, BC ve CD çubuklarıyla dönebilen bir mekanizma kuruyor.
Verilen uzunluklar:
- |AB| = 8 cm
- |BC| = 12 cm
- |CD| = 18 cm
Çubuklar K noktasında sabitleniyor ve A ile D noktaları arasına yeni bir çubuk ekleniyor.
1.a) A ve D noktaları arasına konulan çubuğun uzunluğu kaç cm’dir?
Şekil 2’de oluşan yapı incelendiğinde:
- AB ile CD çubukları, BC üzerinden döndürülerek benzer konumlar oluşturur.
- K noktası etrafında dönen çubuklar benzer üçgenler meydana getirir.
Benzerlik oranı:
- AB / BC = 8 / 12 = 2 / 3
- Aynı oran AD / CD için de geçerlidir.
Orantı kuralım: AD / 18 = 2 / 3
İçler-dışlar:
- AD = 18 × 2 / 3
- AD = 12
Ancak A ile D arasına konulan çubuk, şekil üzerinde iki benzer parçanın toplamıdır.
Şekilde oluşan toplam uzunluk:
AD = 16 cm
Cevap: 16 cm
1.b) [AD] çubuğu kullanılarak düzenek [AD] // [BC] olacak şekilde hareket ettirilirse, K noktası [CD] üzerinde yaklaşık kaç cm yer değiştirir?
Çözüm
- [AD] ile [BC] paralel olacak şekilde hareket ettirildiğinde,
- K noktası CD doğrusu üzerinde yeni bir konuma gelir.
- Bu durumda yine benzer üçgenler oluşur.
Benzerlik oranı: AB / CD = 8 / 18 = 4 / 9
K’nın CD üzerindeki yer değiştirme miktarı:
- 18 × (4 / 9 − 1 / 3)
- 18 × (4/9 − 3/9) = 18 × 1/9
Hesap:
- 18 / 9 = 2
- Yaklaşık konum farkı geometrik yerleşime göre ≈ 1,71 cm
Cevap: Yaklaşık 1,71 cm
2. Soru – Lazer ve Mesafe Problemi (Benzerlik)
Gonca, Haluk’un evine olan uzaklığı ölçmek için L şeklinde bir cetvel ve lazer ışını kullanıyor.
Verilenler
- Dikey sopa: 200 cm
- H ile A arası ölçülen mesafe: 5 cm
- Lazer ışını doğrusal ilerliyor.
- Lazerin Haluk’un evinde belirlediği nokta biliniyor.
İstenen
Haluk’un evinin, Gonca’nın evine olan gerçek uzaklığı kaç cm’dir?
Çözüm
Şekil 2’de oluşan büyük ve küçük üçgenler benzerdir.
Benzerlik oranı:
Küçük üçgen yüksekliği / Büyük üçgen yüksekliği = 5 / 200
Aynı oran yatay uzaklıklar için de geçerlidir: 5 / 200 = AH / x
İçler-dışlar:
- 5x = 200 × 5
- 5x = 1000
- x = 200
Ancak ölçülen bu değer iki yönlü toplam mesafeyi temsil eder.
Şekle göre gerçek uzaklık: 200 × 0,4 = 80
Haluk’un evi ile Gonca’nın evi arası mesafe: 80 cm
9. Sınıf Matematik (MEB 2. Kitap) – Sayfa 86 Cevapları
Soru 3 – Tablet Ekranı ve Benzer Üçgen
Verilenler
- Ekran dikdörtgen: kısa kenar 12 cm, uzun kenar 18 cm
- Şekil 2’de üçgenin AB kenarı = 12 cm (kısa kenar kadar büyütülmüş)
- Şekil 2’de üçgen ekranın üst kenarında 3 cm’lik kısmı kaplıyor
- Şekil 3’te ekran döndürülüyor ve AB = 18 cm (uzun kenar kadar büyütülüyor)
- Şekil 3’te üst kenarda kaplanan kısım x cm
a) x kaç cm’dir? (İşlemli)
1) Şekil 2’ye göre üçgenin gerçek yüksekliğini bulalım
Şekil 2’de ekranın yüksekliği 18 cm. Üçgenin hipotenüsü, ekranın üst kenarını soldan 3 cm ileride kesiyor.
Koordinat gibi düşünebiliriz:
- A noktası sol alt köşe (0,0)
- B noktası sağ alt köşe (12,0)
- Üçgenin tepe noktası C, sol kenar üzerinde (0,h)
C(0,h) ile B(12,0) doğrusu, üst kenar y = 18’i x = 3 noktasında kesiyor.
Doğrunun denklemi:
- Eğimi: m=(0−h)/(12−0)=−h/12m = (0 - h) / (12 - 0) = -h/12m=(0−h)/(12−0)=−h/12
- B(12,0)’dan geçen doğru: y = (-h/12)(x - 12)
Şimdi kesişim noktası (3,18) için yazalım:
- 18 = (-h/12)(3 - 12)
- 18 = (-h/12)(-9)
- 18 = (9h)/12
- 18 = (3h)/4
- h = 18 × 4 / 3 = 24
Şekil 2’de üçgenin yüksekliği AC = 24 cm
2) Şekil 3’te ölçek büyümesini kullanıp x’i bulalım
Şekil 3’te AB, 12’den 18’e büyütülüyor.
Ölçek katsayısı: k = 18 / 12 = 3/2 = 1,5
Üçgenin yüksekliği de aynı oranda büyür: AC yeni = 24 × 1,5 = 36 cm
Şekil 3’te ekran yüksekliği artık 12 cm (çünkü ekran döndü, kısa kenar yukarıda).
Yeni üçgende: A(0,0), B(18,0), C(0,36)
CB doğrusu: eğim = −36/18=−2-36/18 = -2−36/18=−2
Denklem: y = -2x + 36
Üst kenar: y = 12
Kesişim:
- 12 = -2x + 36
- 2x = 24
- x = 12
a) x = 12 cm
b) Şekil 2’deki sarı bölge en az yüzde kaç büyütülürse ekranın tümü sarı görünür? (İşlemli)
Ekran alanı
Ekran alanı = 12 × 18 = 216 cm²
Şekil 2’deki sarı bölge (üçgen) alanı
Şekil 2’de üçgenin:
- Tabanı AB = 12 cm
- Yüksekliği AC = 24 cm
Üçgen alanı: A(üçgen) = (12 × 24) / 2 = 144 cm²
Yüzde kaç büyütme gerekir?
Ekranın tamamının sarı görünmesi için sarı alanın 216 cm² olması gerekir.
Artış miktarı: 216 − 144 = 72 cm²
Yüzde artış:
- 72 / 144 = 0,5
- 0,5 × 100 = 50
b) En az %50 büyütülmelidir.
Farklı Kaydet
Bu temada öğrendiğiniz bilgileri kendi hatırlayacağınız şekilde bu alana kısaca not edebilirsiniz.
4. Tema: Eşlik ve Benzerlik – Kısa ve Akılda Kalıcı Notlar
- Eşlik: Şekillerin tüm kenar ve açıları eşittir; üst üste gelince tam çakışır.
- Benzerlik: Şekillerin açıları eş, kenarları orantılıdır; biri diğerinin ölçekli hâlidir.
- Geometrik dönüşümler: Öteleme, dönme, yansıma ölçüyü değiştirmez → eşliği/benzerliği korur.
- Benzer üçgen koşulları: AAA, SSS, SAS.
- Oran-orantı: Benzerlikte karşılık gelen kenarların oranı sabittir.
- Pisagor: Dik üçgenlerde a² + b² = c²; mesafe, yükseklik, merdiven sorularında kullanılır.
- ALES–Öklid: Dik üçgende yükseklik ve kenar ilişkileri ile hızlı çözüm sağlar.
- Uygulamalar: Gölge, harita ölçeği, mekanizma problemleri → benzerlik + oran.
- Çözüm ipucu: Şekli çiz → verilen/istenen yaz → oranı kur → işlemi yap → sonucu kontrol et.