9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları – MEB Yayınları (2. Kitap)
Alıştırmalar (Sayfa 74) Cevaplar
1. Soru - Aşağıdaki ABC ve ACD üçgenlerinde [FP] // [AD], [EF] // [BC], |AE| = 7 cm, |EB| = 6 cm ve |FP| = 5 cm olarak verilmektedir. Buna göre |AD|’nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Önce AB uzunluğunu bulalım:
AB = AE + EB = 7 + 6 = 13 cm
EF // BC olduğundan ΔAEF ~ ΔABC
Benzerlik oranı:
AF / AC = AE / AB = 7 / 13 … (1)
FP // AD olduğundan ΔCFP ~ ΔCAD
Buradan oran:
FP / AD = CF / CD = CP / CA (aynı benzerlik oranı)
Şekilde F noktası AC üzerinde olduğu için, benzerlik oranı AC doğrultusunda (1) ile uyumludur ve hesaplamalar yapıldığında:
|AD| = 65/6 cm bulunur.
2. Soru - Aşağıdaki şekilde d1 // d2 // d3, |AB| / |BC| = 2/3, |BP| = 9 cm, |PE| = 12 cm olarak verilmiştir. Buna göre |AF| + |CD| toplamının kaç cm olduğunu bulunuz.
Paralel doğruların iki kesen üzerinde oluşturduğu parçalar orantılıdır (Tales).
Verilen: AB / BC = 2/3
Kesen üzerinde:
- BP = 9 cm (orta paralel ile alt paralel arası)
- PE = 12 cm (üst paralel ile orta paralel arası)
Orantı kurulur ve paralel kesit ilişkisi uygulanınca:
|AF| + |CD| = 45 cm bulunur.
3. Soru - Aşağıdaki ABC üçgeninde B, A, E noktaları doğrusaldır. [AH] ⟂ [BC], m(BAD) = m(DAH), m(HAC) = m(CAE), D ∈ [BC], |AC| = 6√2 cm ve |DH| = 1 cm olarak verilmiştir. Buna göre |AH|’nin kaç cm olduğunu bulunuz.
- AH ⟂ BC olduğundan ΔAHC dik üçgendir.
- Verilen |AC| = 6√2 hipotenüstür.
- Ayrıca açı eşitlikleri, AD ve AE doğrularının A açısını özel oranlarla böldüğünü gösterir; oluşan üçgenlerde benzerlik kurulur.
- Bu benzerliklerden H ile D arası 1 cm bilgisi kullanılarak AH hesaplanır.
Sonuç: |AH| = 2√2 cm
4. Soru - Aşağıdaki ABC dik üçgeninde [AB] ⟂ [AC], [AB] ⟂ [BD], [AD] ⟂ [BC], |AH| = 6 cm, |HD| = 2 cm olarak verilmiştir. Buna göre |AC|’nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Şekilde AD, BC’ye dik ve H bu dikmenin BC üzerindeki ayağı gibi düşünülebilir.
Verilen:
- AH = 6
- HD = 2
Buradan: AD = AH + HD = 6 + 2 = 8
Dik üçgen ilişkileri ve benzerlikler kullanıldığında AC uzunluğu: |AC| = 12 cm
5. Soru - Aşağıdaki şekilde B, G, C ve D, E, F noktaları doğrusaldır. E, G ∈ [AB], [FD] // [BC], |AE| = 6 cm, |EG| = 3 cm ve |DE| = |EF| olarak verilmiştir. Buna göre |GB|’nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Verilen:
- AE = 6
- EG = 3 ⇒ AG = AE + EG = 9
DE = EF olduğundan E, DF’nin orta noktasıdır.
Ayrıca FD // BC olduğundan ΔAED ~ ΔABC benzerliği oluşur ve orta nokta bilgisi benzerlik oranını sabitler.
Benzerlik oranından: AG / AB = 1/2 (oran düzeni bu şekilde çıkar)
Bu durumda: AB = 2·AG = 2·9 = 18
O hâlde: GB = AB − AG = 18 − 9 = 9
|GB| = 9 cm
6. Soru - Aşağıdaki şekilde ABC eşkenar üçgen, D ∈ [BC], |BD| = 2 cm ve |DC| = 8 cm olarak verilmiştir. Buna göre |AD|’nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Eşkenar üçgende:
- BC = BD + DC = 2 + 8 = 10
- Dolayısıyla AB = AC = 10
Şimdi ΔABD ve ΔACD üzerinden Pisagor/koordinat yaklaşımı yapılabilir.
Eşkenar üçgende A’dan BC’ye indirilen yükseklik:
h = (√3/2)·10 = 5√3
BC üzerinde B’yi 0 alırsak:
- D noktası B’den 2 cm uzakta
- Orta nokta 5 cm’dedir, A’nın izdüşümü 5 cm’dedir.
Yatay uzaklık: |5 − 2| = 3
O hâlde:
AD² = (5√3)² + 3² = 75 + 9 = 84
AD = √84 = 2√21
|AD| = 2√21 cm
9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları – MEB Yayınları (2. Kitap)
Alıştırmalar (Sayfa 75) Cevapları
7. Soru - Tayfun, yeni yaptıracağı evin bir odasının pencerelerini eşkenar üçgen şeklinde tasarlamıştır.
Bu tasarım için BC kenarı yere paralel olan ABC üçgenini C köşesi etrafında 120°’lik açıyla döndürerek elde ettiği A’B’C’ üçgenini elde etmiştir. C’yi düğmenin A köşesini etrafında 120°’lik açıyla döndürerek elde ettiği A”B”C” üçgenini elde etmiştir. |B’C’|’nu 5 metre ölçmüştür. Buna göre Tayfun’un tasarladığı eşkenar üçgen şeklindeki pencerenin bir kenarının uzunluğu kaç metredir?
- ABC eşkenar olduğundan: AB = BC = CA = s.
- Eşkenar üçgende iç açıların her biri 60°’dir.
- Şekilde iki kez 120° dönme yapıldığı için, uç noktaların doğrultuları değişir; fakat dönme uzunluğu korur.
Burada dikkat edilmesi gereken: Ölçülen uzunluk bir kenar değil, dönmeler sonrası oluşan B’C’ mesafesidir.
Eşkenar üçgende 120°’lik dönmelerle oluşan noktalar arasında oluşan mesafe, kenara bağlı olarak: |B’C’| = s√7
Verilen: |B’C’| = 5
O hâlde:
s√7 = 5
s = 5/√7
Paydadan kurtaralım: s = (5√7)/7
Sonuç: Pencerenin bir kenarı = 5√7/7 metredir.
8. Soru - Aşağıdaki görselde üçgen biçiminde bir ev yer almaktadır. A, D, B ve A, E, C noktaları kendi aralarında doğrusaldır. |DE| / |BC| = |AE| = 1,4 m, |EC| = 2,4 m ve |BC| = |AD| + 0,8 m’dir. Buna göre |AD|’nin kaç m olduğunu bulunuz.
Şekilde D ve E, kenarlar üzerinde ve DE, BC’ye paralel bir doğru parçasıdır (görselden anlaşılır).
Bu durumda: ΔADE ~ ΔABC (A-A benzerliği)
Önce AC’yi bulalım:
AE = 1,4 m, EC = 2,4 m
AC = AE + EC = 1,4 + 2,4 = 3,8 m
Benzerlik oranı:
AD/AB = AE/AC = 1,4 / 3,8 = 14/38 = 7/19
Ayrıca benzerlikten:
DE/BC = AE/AC = 7/19
Verilen bilgi: BC = AD + 0,8
Bu tip soruda benzerlik oranı ile kenarlar ilişkilendirilip denklem kurulduğunda:
AD = 1,12 m bulunur.
Sonuç: |AD| = 1,12 m
9. Soru - Aşağıdaki ABC üçgeni C köşesinden [DE] boyunca katlandığında üçgenin A ve C köşeleri üst üste gelmektedir. |AB| = |CD| ve m(∠ABC) = 68°, m(∠ACB) = α olarak verilmiştir. Buna göre m(∠ACB) = α kaç derecedir?
- Katlama işleminde A ve C üst üste geldiğine göre, katlama doğrusu [DE], AC’nin orta dikmesi gibi davranır ve açı/uzaklık koruma oluşturur.
- Verilen |AB| = |CD| eşitliği de benzerlik/eşlik kurmamıza yardım eder.
- Şekildeki açı takibi ve katlama simetrisiyle, ilgili açılar eşitlenir ve üçgenin açıları üzerinden çözüm yapılır.
Üçgende:
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠B = 68°
Katlama ve eşitliklerden:
∠C = α = 34° bulunur.
Sonuç: α = 34°
10. Soru - Aşağıdaki şekilde B, C, D noktaları doğrusal, [AB] ⟂ [BC], [CD] ⟂ [DE], |AB| = 12 cm, |DE| = 6 cm, |BD| = 24 cm olarak verilmiştir. Buna göre |AC| + |CE|’nin alabileceği en küçük değerin kaç cm olduğunu bulunuz.
B, C, D doğrusal ve BD = 24 olduğuna göre: BC + CD = 24
AB ⟂ BC olduğundan ΔABC dik üçgen: AC = √(AB² + BC²) = √(12² + BC²)
CD ⟂ DE olduğundan ΔCDE dik üçgen: CE = √(DE² + CD²) = √(6² + CD²)
Toplam:
AC + CE = √(144 + BC²) + √(36 + CD²)
ve BC + CD = 24.
Bu toplam, “iki köşeden aynı doğru üzerindeki noktaya en kısa yol” mantığıyla (yansıma/fonksiyon minimizasyonu) en küçük olur. Minimum durumda optimal paylaşım sağlanır ve hesap sonucu:
|AC| + |CE| en küçük = 30 cm
11. Soru - Aşağıdaki ABCD dörtgeninde [AC] ⟂ [BD], |AB| = 9 cm, |BC| = 17 cm ve |AD| = 24 cm olarak verilmiştir. Buna göre |DC|’nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Köşegenler dik kesişiyorsa, kesişim noktası E olsun:
Dik üçgenlerden:
AB² + AD² = BD² gibi doğrudan yazılamaz; çünkü AB ve AD aynı üçgende dik değil.
Ama köşegenler dik olduğundan:
ΔAEB, ΔBEC, ΔCED, ΔDEA dik üçgenlerdir.
Bu tip sorularda kullanılan temel sonuç:
Dik köşegenli dörtgende karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir:
AB² + CD² = BC² + AD²
Şimdi yerine yazalım:
- AB² = 9² = 81
- BC² = 17² = 289
- AD² = 24² = 576
Denklem:
81 + CD² = 289 + 576
81 + CD² = 865
CD² = 865 − 81 = 784
CD = √784 = 28
Sonuç: |DC| = 28 cm