9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları – MEB Yayınları (2. Kitap) Sayfa 66
11. Uygulama: Öklid Teoremi Cevapları
Öklid teoremine göre dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüsün iki parçaya ayrılan uzunluklarının çarpımına eşittir: h² = p·k. Bu sonuç, BAC, ABH ve AHC üçgenlerinin A-A benzerliği ile ispatlanır.
1. Soru - Teoremi inceleyiniz.
Teorem: Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.
Verilenler: BAC dik üçgeni, [AH] ⟂ [BC], |BH| = p, |HC| = k, |BC| = a, |AC| = b ve |AB| = c
İspatlanacak ifade: h² = p · k
Cevap: BAC dik üçgeninde A’dan hipotenüs BC’ye indirilen yükseklik AH = h olsun. Yüksekliğin hipotenüsü böldüğü parçalar BH = p ve HC = k olduğunda Öklid teoremi şunu söyler:
h² = p·k
Yani yüksekliğin karesi = hipotenüs parçalarının çarpımıdır.
2. Soru - Teoremin BAC dik üçgeninde hipotenüse ait yüksekliğin çizilmesi ile ortaya çıkan ABH ve ACH dik üçgenleri kullanılarak nasıl ispatlanabileceğine ilişkin fikirlerinizi açıklayınız. Fikirlerinizi arkadaşlarınızla iletişim kuralları çerçevesinde tartışınız.
Cevap : Hipotenüse indirilen AH yüksekliği çizildiğinde iki adet dik üçgen oluşur: ABH ve AHC. Bu üçgenlerin her biri, büyük üçgen ABC ile aynı açılardan bazılarını içerdiği için benzerlik kurulabilir. Benzerlikten elde edilen oranlar kullanılarak h² = p·k eşitliği adım adım çıkarılır.
3. Soru - BAC, ABH ve ACH üçgenleri arasında herhangi bir benzerlik kuralı var mıdır? Varsa ulaştığınız benzerlik kuralını yazınız.
Cevap (Detaylı)
Evet vardır.
- ΔABC dik üçgendir (∠A = 90°).
- ΔABH ve ΔAHC de dik üçgendir (∠H = 90°).
Ayrıca:
- ∠ABC = ∠ABH (B açısı ortaktır / aynı doğrultudadır)
- ∠ACB = ∠ACH (C açısı ortaktır / aynı doğrultudadır)
Bu nedenle:
ΔABC ~ ΔABH ~ ΔAHC
Benzerlik kuralı: A-A (Açı-Açı)
4. Soru - ABH ve CAH üçgenleri arasında belirlediğiniz benzerlik kuralına uygun olarak üçgenlerin kenarları arasındaki ilişkiyi yazınız.
Cevap (Detaylı)
ΔABH ile ΔCAH (yani ΔAHC) benzer olduğundan karşılık gelen kenarlar oranlanır:
Eşleştirme (açı karşılıklarına göre):
- AB ↔ AC
- BH ↔ AH
- AH ↔ HC
Bu yüzden: AB / AC = BH / AH = AH / HC
Buradan özellikle şu oran çok önemlidir: BH / AH = AH / HC
Çapraz çarpım yaparsak:
- AH² = BH · HC
- h² = p · k
İstenen teorem elde edilir.
5. Soru - Teoremin ispatının tamamlanıp tamamlanmadığına ilişkin fikrinizi ispat sürecinde takip ettiğiniz adımlardan hareketle gerekçelendirerek açıklayınız ve arkadaşlarınızla tartışınız.
Cevap : İspat tamamlanmıştır; çünkü önce hipotenüse yükseklik çizilerek ABH ve AHC üçgenleri oluşturuldu, sonra bu üçgenler ile ABC üçgeni arasında A-A benzerliği kuruldu. Benzerlik oranlarından AH² = BH·HC bağıntısı çıkarılarak h² = p·k sonucu elde edildi.
6. Soru - Yaptığınız ispatta kullandığınız yöntemi değerlendirmek için BAC, ABH ve ACH üçgenleri arasındaki benzerlik kurallarını kullanarak b² = k · a ve c² = p · a eşitliklerini gösteriniz.
Cevap (Detaylı Gösterim)
(I) b² = k·a
Benzerlik: ΔABC ~ ΔAHC
Karşılık gelen kenar oranı: AC / BC = HC / AC
Yerine yazalım: b / a = k / b
Çapraz çarpım: b² = a·k
Gösterildi: b² = k·a
(II) c² = p·a
Benzerlik: ΔABC ~ ΔABH
Karşılık gelen kenar oranı: AB / BC = BH / AB
Yerine yazalım: c / a = p / c
Çapraz çarpım: c² = a·p
Gösterildi: c² = p·a