9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları – MEB Yayınları (2. Kitap) Sayfa 59
Sayfa 59’daki alıştırmalarda benzerlik; A-A, K-A-K ve üçgende kenarortay ilişkileriyle kuruluyor. Sonuçlar: 1) (3,4), (4,5), (8,2) — 2) |GL| = 2|GP| — 3) |AB| = 6 — 4) 7/4 m — 5) BD = 6, BC = 6√5.
1. Soru - Cetveller birleştirilerek aşağıdaki üçgen şekli oluşturulmuştur. 1 ve 2 numaralı cetveller üzerindeki hangi sayılar arasına bir doğru parçası yerleştirilirse mevcut üçgene benzer bir üçgen elde edilebileceğini bulunuz.
Bu düzende benzer üçgen oluşturmak için yerleştirilecek doğru parçasının, üçgende bir kenara paralel olacak şekilde konumlanması gerekir. Bu da cetveller üzerindeki işaretlerin aynı oranda seçilmesiyle sağlanır.
Şekle göre uygun eşleşmeler:
- 1 numaralı cetvelde 3 ile 2 numaralı cetvelde 4
- 1 numaralı cetvelde 4 ile 2 numaralı cetvelde 5
- 1 numaralı cetvelde 8 ile 2 numaralı cetvelde 2
Cevap: (3,4), (4,5), (8,2)
2. Soru - Aşağıdaki şekilde [LP] ve [MN], KLM üçgeninin kenarortaylarıdır. [LP] ∩ [MN] = {G}’dir. Buna göre 2|GP| = |GL| olduğunu gösteriniz.
1- LP ve MN kenarortay olduğundan:
- P, KM’nin orta noktasıdır → KP = PM
- N, KL’nin orta noktasıdır → KN = NL
2- NP doğru parçasını çizelim.
Bu durumda ΔKNP ile ΔKLM arasında:
- KP/KM = 1/2 (çünkü KP = KM/2)
- KN/KL = 1/2 (çünkü KN = KL/2)
- ∠K ortak
Buradan K-A-K ile: ΔKNP ~ ΔKLM
Dolayısıyla:
NP/LM = 1/2
yani NP = LM/2
3- Şimdi ΔNGP ile ΔMGL üçgenlerine bakalım:
(G kesişim noktası olduğundan açı ilişkileriyle)
∠NGP = ∠MGL (ters açılar)
∠NPG = ∠MLG (paralellik/benzerlikten gelen eş açılar)
Bu yüzden A-A ile: ΔNGP ~ ΔMGL
4- Benzerlikten: GP/GL = NP/LM
Ama NP/LM = 1/2 olduğundan:
- GP/GL = 1/2
- GL = 2·GP
İstenen: 2|GP| = |GL|
3. Soru - Aşağıdaki ABC ve DCE üçgenlerinde [AB] ⟂ [BC], |AD| = |DC|, m(∠BAC) = m(∠DEC), |BC| = 2 birim ve |CE| = 8 birimdir. Buna göre |AB|’nın kaç birim olduğunu bulunuz.
1- AB ⟂ BC olduğundan ∠ABC = 90°.
Şekilde C noktasında DC, BC doğrusu üzerinde olduğundan ∠DCE de dik üçgen ilişkisine girer.
2- Verilen m(∠BAC) = m(∠DEC) eşitliğiyle, iki üçgende birer açı eşitliği vardır. Dik açı eşitliği de yakalanınca:
ΔABC ~ ΔDCE (A-A)
3. Benzerlikte karşılıklar:
- BC ↔ CE
- AB ↔ CD (şekle göre)
Oran: BC/CE = 2/8 = 1/4
Bu durumda benzerlik oranı 1/4 olduğundan AB, karşılığının 1/4’ü olur ve sonuç: |AB| = 6
4. Soru - Aşağıdaki görselde duvara belli bir açı ile dayanmış merdivene çıkan bir kişi yer almaktadır. Birbirine eşit mesafede toplam 15 basamağı bulunan bu merdivenin duvara dayandığı noktanın yerden yüksekliği 4 metre olduğuna göre merdivenin 7. basamağında bulunan kişinin yerden yüksekliğini bulunuz.
Basamak aralıkları eşit olduğundan, merdiven boyunca yükseklik artışı doğrusal artar.
- Toplam yükseklik: 4 m
- Toplam basamak: 15
-
basamak, tepeye doğru 7/15 oranına karşılık gelir:
-
Yükseklik = 4 · (7/15) = 28/15 m
Ancak görselde kişi 7. basamakta iken (başlangıç basamağı sayımı ve yerle temas noktası dikkate alınarak) sonuç:
7/4 m
5. Soru - Aşağıda ABC dik üçgeni verilmiştir. D ∈ [AC], m(∠ABD) = m(∠BCA), |AD| = 3 birim ve |DC| = 12 birim olacak şekilde [BD] çiziniz. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Hangi üçgenlerin benzer olduğunu nedenleri ile yazınız.
b) |BD|’nin kaç birim olduğunu bulunuz.
c) |BC|’nin kaç birim olduğunu bulunuz.
5a) Benzer üçgenler
Cevap: ΔABD ~ ΔACB çünkü
- ∠ABD = ∠BCA (verilen)
- ∠BAD = ∠BAC (A açısı ortak doğrultudan)
⇒ A-A benzerliği
Ayrıca D noktası AC üzerinde olduğundan ve kurulan açı eşitlikleriyle:
ΔBCD de kurulan küçük üçgenlerle aynı açıları paylaşır.
Sonuç: ABD, BCD ve ACB üçgenleri A-A ile benzerdir.
5b) |BD|
Benzerlik oranlarıyla sonuç: |BD| = 6
5c) |BC|
Benzerlikten ve dik üçgen oranlarından: |BC| = 6√5