9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları MEB Yayınları (2. Kitap) – Sayfa 55
11. Sıra Sizde – Çözümlü Cevaplar
|BC| uzunluğu 5 ile 19 arasında tam sayı değerler alabilir. Bu nedenle en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı 24 olur.
Yandaki ABC üçgeninde D ∈ [AB], F ∈ [AC], 2|BD| = |AD|, 2|FC| = |AF|, |DE| = 5 birim ve |FE| = 8 birim olduğuna göre |BC|’nin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerleri toplamının kaç birim olduğunu bulunuz.
1) D ve F noktalarının konumu (oran)
2|BD| = |AD| ⇒ AD = 2·BD
Bu da AB = AD + BD = 2BD + BD = 3BD demektir.
⇒ BD = AB/3, AD = 2AB/3
2|FC| = |AF| ⇒ AF = 2·FC
Benzer şekilde AC = AF + FC = 2FC + FC = 3FC
⇒ FC = AC/3, AF = 2AC/3
Buradan görülür ki: AD/AB = 2/3 ve AF/AC = 2/3
Bu yüzden D ve F noktaları A’dan aynı oranda seçilmiştir, dolayısıyla:
[DF] // [BC] ve ΔADF ~ ΔABC
2) Benzerlikten DF ile BC ilişkisi
Benzerlik oranı: AD/AB = 2/3
O hâlde karşılık gelen kenarlar için:
- DF/BC = 2/3
- BC = (3/2)·DF
3) DF uzunluğunun alabileceği aralık
D, E, F noktalarıyla bir DEF üçgeni oluşuyor ve: DE = 5, EF = 8
Üçgen eşitsizliğine göre üçüncü kenar DF:
- |8 − 5| < DF < 8 + 5
- 3 < DF < 13
4) BC aralığı ve tam sayılar
BC = (3/2)·DF olduğundan:
- (3/2)·3 < BC < (3/2)·13
- 4,5 < BC < 19,5
Bu aralıkta tam sayı değerler: 5, 6, 7, …, 19
En küçük tam sayı: 5
En büyük tam sayı: 19
Toplam: 5 + 19 = 24