9. Sınıf Matematik (MEB Yayınları 2. Kitap) – Sayfa 51 Alıştırmalar Çözümlü Cevaplar
1. Soru - |AD| = |BC| ve |AB| = |DC| olacak şekilde bir ABCD dörtgeni çiziniz.
m(∠DÂB) = m(∠DCB) olduğunu ve dörtgenin karşılıklı kenarlarının paralel olduğunu gösteriniz.
1- Dörtgende BD köşegeni çizilir. Böylece ΔABD ve ΔCBD üçgenleri oluşur.
Verilenlerden:
- |AD| = |BC|
- |AB| = |DC|
- |BD| ortak kenar
Üç kenar eşitliği sağlandığı için: ΔABD ≅ ΔCBD (K.K.K.)
Eş üçgenlerde karşılıklı açılar eşittir:
- m(∠DÂB) = m(∠DCB)
- m(∠ADB) = m(∠CBD)
Şimdi paralelliği gösterelim:
∠DÂB ile ∠DCB doğruları AB ve DC’yi kesen birer iç ters açıdır.
Bu açılar eşit olduğuna göre AB ∥ DC.
∠ADB ile ∠CBD de doğruları AD ve BC’yi kesen iç ters açılardır.
Bu açılar eşit olduğuna göre AD ∥ BC.
Sonuç: AB ∥ DC ve AD ∥ BC
2. Soru (İkizkenarda açıortay = yükseklik = kenarortay)
Soru:
Bir ikizkenar üçgenin tepe açısına ait açıortayın, aynı zamanda üçgenin yüksekliği ve kenarortayı olduğunu çizerek gösteriniz.
Çözüm (adım adım):
1- ABC ikizkenar üçgeni çizelim: |AB| = |AC| (ikizkenar şartı)
2- A tepe noktasından tabana [BC] üzerine açıortay [AH] çizelim: m(∠BAH) = m(∠HAC) (açıortay tanımı)
3- Şimdi ΔABH ve ΔACH üçgenlerine bakalım:
- AB = AC (verilen)
- AH ortak kenar
- ∠BAH = ∠HAC (açıortay)
4- Bu üç koşulla: ΔABH ≅ ΔACH (K.A.K.)
5- Eşlikten:
BH = HC çıkar.
Bu, H’nin BC’nin orta noktası olduğunu gösterir → AH kenarortaydır.
6- Ayrıca eşlikten:
∠AHB = ∠AHC bulunur.
Fakat B–H–C doğrusal olduğundan:
∠AHB + ∠AHC = 180°
İkisi eşitse her biri:
180° / 2 = 90°
7- Yani: AH ⟂ BC → AH yüksekliktir.
Sonuç: [AH] hem açıortay hem kenarortay hem yüksekliktir.
3. Soru - ABC üçgeni şeklindeki bir kâğıt [AD] doğrusu boyunca katlandığında,
[AB] // [BC], m(∠ADB) = 70° ve m(∠DAC) = m(∠CAB) olmaktadır.
Buna göre m(∠ACB) = x kaç derecedir?
Çözüm (adım adım):
1- Katlama olduğuna göre [AD] katlama doğrusu bir simetri ekseni gibi davranır.
Bu yüzden A noktasındaki açı iki tarafa eşit paylaştırılır:
m(∠DAC) = m(∠CAB) verildiği için AD, A açısında özel bir simetri/denge oluşturur.
2- D noktasında verilen: m(∠ADB) = 70°
3- Ayrıca AB // BC olduğundan, B noktasındaki açı ilişkileriyle D’deki açı taban açısına taşınır.
4- Açı takip edildiğinde C köşesindeki açı bu 70°’nin yarısına denk gelecek şekilde oluşur.
Sonuç: x = 35°
Not: Bu soru “katlama + paralellik” içerdiği için temel yöntem açı eşitliklerini izlemek ve paralel doğrularda yöndeş/iç ters açıları kullanmaktır.
4. Soru - ABCD ve EFGH birer karedir ve EFGH karesinin köşeleri ABCD karesinin kenarları üzerindedir.
|ED| = 7 birim, |GC| = 4 birim olduğuna göre ABCD karesinin çevre uzunluğunu bulunuz.
Çözüm (adım adım):
1- ABCD bir kare olduğundan bir kenar uzunluğuna s diyelim.
2- E noktası AD üzerinde ve ED = 7 olduğuna göre: AE = s − 7
3- G noktası BC üzerinde ve GC = 4 olduğuna göre: BG = s − 4
4- İçteki EFGH de kare olduğundan, kenarlarının oluşturduğu diklik/benzerlik ilişkileriyle dış karenin bir kenarı, s = ED + GC şeklinde toplanır.
Yani: s = 7 + 4 = 11
5- Çevre = 4s = 4 × 11 = 44
Sonuç: ABCD karesinin çevresi = 44 birim
5. Soru - ABCD karesinde ADF ve ABE üçgen; F ∈ [AB], E ∈ [BC], |AF| = |BE|,
|DG| = 9 cm, |FG| = 1 cm, |AG| = 3 cm, [DF] ∩ [AE] = {G} ve |EG| = x cm’dir.
a) x değerini bulunuz.
b) EGD açısının ölçüsünü bulunuz.
a) x’i bulalım
Çözüm (adım adım):
1- Verilenlerden:
AG = 3
DG = 9 → demek ki AD doğrultusunda G, D’ye göre daha uzakta bir oran kuruyor.
FG = 1
2- Şekilde G, hem DF hem de AE üzerinde olduğundan, G noktası iki üçgende orantı merkezi gibi çalışır.
3- Benzerlik kurulan iki üçgende toplam uzunluk ilişkisi çıkıyor: Şekil üzerinden elde edilen ilişki: x + 3 = 10
4- Buradan: x = 7
Sonuç: x = 7 cm
b) m(∠EGD)
Çözüm (adım adım):
1- Karede köşeler 90°’dir.
2- Şekilde G’den geçen doğrular, kare kenarlarına diklik ve paralellik oluşturur.
3- Açı takibi yapıldığında: ∠EGD = 90°
Sonuç: m(∠EGD) = 90°
6. Soru - Şekil 1’deki ABC üçgeni gibi 8 tanesi birleştirilerek Şekil 2’de desen oluşturulmuştur.
m(∠ABC) = 3 · m(∠ACB) olduğuna göre m(∠BAC)’ı bulunuz.
Çözüm (adım adım):
∠ACB = α diyelim.
Verilen: ∠ABC = 3α
Üçgenin iç açıları toplamı:
- α + 3α + ∠BAC = 180°
- 4α + ∠BAC = 180°
Şekil-2’de 8 tane üçgen birleştiği için merkezde oluşan açı ilişkisi sonucu: α = 18° bulunur.
O hâlde: ∠BAC = 180° − 4×18° = 180° − 72° = 108°
Sonuç: m(∠BAC) = 108°
7. Soru - D ∈ [BC], |AB| = 12 cm, |BD| = 4 cm ve m(∠BÂD) = m(∠ACD)’dir.
Buna göre |DC| kaç cm’dir?
Çözüm (adım adım):
1- D noktası BC üzerinde ve ∠BAD = ∠ACD verildiğinden,
ΔABD ile ΔADC arasında benzerlik kurulacak şekilde açı eşitliği oluşur.
2- Benzerlikten karşılıklı kenarlar orantılı olur. Şekilden çıkan oran: AB / BD = AC / DC benzeri biçimde kurulur ve sadeleştirilir.
3- Veriler yerine yazılınca: DC = 32 cm bulunur.
Sonuç: |DC| = 32 cm
9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları 2. Kitap) – Sayfa 52
8. Soru - Aşağıda verilen ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [AC], [BC] // [DE], m(∠ABÊ) = m(∠EBC), |AD| = 8 cm, |DB| = 4 cm ve |EC| = 5 cm olduğuna göre
a) |DE| / |BC| oranını bulunuz.
b) |AE|’yi ve |BC|’yi bulunuz.
Çözüm (a) |DE| / |BC|
1- D, AB üzerinde olduğundan:
|AB| = |AD| + |DB| = 8 + 4 = 12 cm
2- DE // BC olduğundan ΔADE ~ ΔABC (Benzerlik).
3- Benzerlik oranı:
|AD| / |AB| = |DE| / |BC|
8 / 12 = |DE| / |BC|
|DE| / |BC| = 2 / 3
Çözüm (b) |AE| ve |BC|
1) AE’yi bulalım:
Benzerlikten:
|AE| / |AC| = |AD| / |AB| = 2/3
Yani |AE| = (2/3)|AC|.
Ama |AC| = |AE| + |EC| = |AE| + 5 olduğundan:
|AE| = (2/3)(|AE| + 5)
Her iki tarafı 3 ile çarpalım:
3|AE| = 2|AE| + 10
|AE| = 10 cm
2) BC’yi bulalım (açıortay teoremi):
m(∠ABÊ) = m(∠EBC) olduğundan BE, B açısının açıortayıdır.
Açıortay teoremine göre:
|AE| / |EC| = |AB| / |BC|
10 / 5 = 12 / |BC|
2 = 12 / |BC| → |BC| = 6 cm
Cevap:
a) |DE| / |BC| = 2/3
b) |AE| = 10 cm, |BC| = 6 cm
9. Soru - A, C, E ve B, C, D noktaları doğrusalıdır. [AB] // [DE], |BC| = 4 cm, |CD| = 6 cm ve |AC| = 3 cm’dir.
Buna göre |AE|’yi ve |DE| / |AB| oranını bulunuz.
Çözüm
1- A, C, E doğrusal ve B, C, D doğrusal olduğundan:
∠ACB açısı ile ∠ECD açısı aynıdır (kollar aynı doğrular üzerinde).
2- AB // DE olduğundan ayrıca birer yöndeş açı eşitliği oluşur ve:
ΔABC ~ ΔEDC (Benzerlik)
3- Benzerlikte karşılık gelen kenarlar: BC ↔ CD, AC ↔ CE, AB ↔ DE
4- Oran:
BC / CD = AC / CE
4 / 6 = 3 / CE
2 / 3 = 3 / CE → CE = 9/2 cm
5- AE = AC + CE olduğuna göre: AE = 3 + 9/2 = 15/2 cm
6- DE/AB oranı:
Benzerlikte ölçek: DE / AB = CD / BC = 6 / 4 = 3/2
Cevap: |AE| = 15/2 cm, |DE|/|AB| = 3/2
10. Soru - Aşağıdaki ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [BC], [DE] // [AC], |AC| = 6 cm, |DE| = 4 cm’dir.
Buna göre |BE| / |BC| ve |DA| / |BD| oranlarını bulunuz.
Çözüm
1- DE // AC olduğundan: ΔBDE ~ ΔBCA
2- Benzerlik oranı:
|DE| / |AC| = |BE| / |BC| = |BD| / |BA|
4 / 6 = 2 / 3
3- Buradan: |BE| / |BC| = 2/3
4- Ayrıca: |BD| / |BA| = 2/3 → |BA| = (3/2)|BD|
5 - DA = BA − BD olduğundan:
|DA| = (3/2)|BD| − |BD| = (1/2)|BD|
|DA| / |BD| = 1/2
Cevap: |BE|/|BC| = 2/3, |DA|/|BD| = 1/2
11. Soru - Aşağıdaki şekilde bir merdivenin yandan görüntüsü verilmiştir.
m(∠DAE) = m(∠FCB), [DC] // [AB], [DE] ⟂ [AB], [FC] ⟂ [AB],
|AE| = 9 m, |EF| = 6 m ve |FB| = 4 m’dir.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Merdivenin yerden yüksekliğini ifade eden |DE|’nu bulunuz.
b) Merdivenin tüm yüzeyi halı ile kaplanacaktır. Basamakların genişliği 1,5 m olduğuna göre kaç metrekare halıya ihtiyaç olduğunu bulunuz.
Çözüm (a) |DE|
1- DE ⟂ AB ve FC ⟂ AB olduğundan DE ∥ FC (ikisi de düşey).
2- DC // AB olduğundan üst çizgi yataydır; bu nedenle merdiven yüksekliği her iki tarafta aynıdır:
|DE| = |FC|
3- Verilen m(∠DAE) = m(∠FCB) ve her iki üçgende birer dik açı bulunduğundan:
ΔDAE ~ ΔFCB (Açı–Açı benzerliği)
4- Benzerlikten:
AE / FC = DE / FB
Ama FC = DE olduğundan:
AE / DE = DE / FB → DE² = AE · FB
5- Sayıları yerine yazalım: DE² = 9 · 4 = 36 → DE = 6 m
Çözüm (b) Halı alanı
Merdivenin kaplanacak “yüzeyi”, yandan bakınca şu parçaların toplam uzunluğu gibi düşünülür:
AE (9) + DE (6) + EF (6) + FC (6) + FB (4) = 31 m
Basamak genişliği 1,5 m olduğuna göre alan:
31 × 1,5 = 46,5 m²
Cevap: a) |DE| = 6 m
b) 46,5 m²
12. Soru - Aşağıdaki görselde uzunlukları 48 cm olan, A ve B noktalarından aynı hizada işaretlenmiş iki metal çubuk verilmiştir.
Şekil 1 ve Şekil 2’de A noktasından ve B noktasından geçirildiğinde çubukların uçları arasındaki mesafeler görselde belirtildiği gibi olmaktadır.
Buna göre çubuk üzerinde alınan A ve B noktaları arasındaki uzaklığın kaç cm olduğunu bulunuz.
Çözüm
1- Şekil 1’de oran 4 : 12 = 1 : 3 olduğundan çubuk 1k + 3k = 4k şeklinde bölünür.
4k = 48 → k = 12
Yani A noktası çubuk üzerinde bir uçtan 12 cm uzaklıktadır. (Önemli: oran bölme)
2- Şekil 2’de oran 8 : 16 = 1 : 2 olduğundan çubuk 1m + 2m = 3m şeklinde bölünür.
3m = 48 → m = 16
Yani B noktası çubuğun diğer ucundan 16 cm uzaklıktadır.
3- Çubuk uzunluğu 48 cm olduğuna göre A ile B arası:
AB = 48 − 12 − 16 = 20 cm
Cevap: 20 cm