6. Uygulama
Olayların Olasılık Değerlerini Hesaplama
Verilen bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Görselde 8 eşit parçaya ayrılmış ve her parçasında sırasıyla 1’den 8’e kadar rakamların yazılı olduğu bir çark ve üzerinde 1, 2, 3, 4, 6 yazan 5 özdeş topun bulunduğu bir kutu verilmiştir
1. Çark bir kez çevrildiğinde ibrenin gösterdiği yere gelen sayıya ve kutudan çekilen topa ait deneyin tüm çıktılarını yazınız.
Cevap: Çark 8 dilimlidir ve her dilimde 1’den 8’e kadar bir sayı vardır. Kutuda ise üzerinde 1, 2, 3, 4, 6 yazılı 5 adet top vardır.
Tüm olası çıktılar, (çark sayısı, top sayısı) şeklindedir.
8 çark × 5 top = 40 farklı çıktı vardır.
| Çark ↓ / Top → | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,6) |
| 7 | (7,1) | (7,2) | (7,3) | (7,4) | (7,6) |
| 8 | (8,1) | (8,2) | (8,3) | (8,4) | (8,6) |
2. Çarktaki parçaların ya da kutudaki topların herhangi birinin seçilme olasılık değeri farklı mıdır? Açıklayınız.
Cevap: Hayır, farklı değildir.
Çark 8 eşit parçaya ayrılmıştır → Her sayı gelme olasılığı 1/8’dir.
Kutuda 5 top vardır ve her biri eşit olasılıkla seçilir → Her topun gelme olasılığı 1/5’tir.
Tüm parçalar ve toplar eş olasılıklıdır.
3. A olayı: çarkta gelen sayı asal sayı veya çekilen top tek sayı ise A olayıdır. B ve C olaylarını tanımlayınız.
B olayı: Çarkta gelen sayının asal sayı olması
→ Asal sayılar: 2, 3, 5, 7
C olayı: Kutudan çekilen topun tek sayı olması
→ Tek sayılar: 1 ve 3
A = B ∪ C (B veya C olması yeterlidir)
4. B ve C olaylarına ait çıktıları yazınız.
B olayı (çark asal):
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6),
(7,1), (7,2), (7,3), (7,4), (7,6) → Toplam 20 çıktı
C olayı (top tek):
(1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3),
(4,1), (4,3), (5,1), (5,3), (6,1), (6,3),
(7,1), (7,3), (8,1), (8,3) → Toplam 16 çıktı
5. D olayı: çarkta gelen sayı asal sayı ve çekilen top tek sayı → D olayının çıktıları ve olasılığı nedir?
-
Ortak çıktı: hem asal hem de top tek olanlar
→ (2,1), (2,3), (3,1), (3,3), (5,1), (5,3), (7,1), (7,3)
Toplam 8 çıktı
Olasılık: P(D) = 8 / 40 = 1/5
6. A olayının çıktıları ve olasılığı nedir?
Cevap: A = B ∪ C → 20 + 16 – 8 = 28 çıktı
P(A) = 28 / 40 = 7/10
Alternatif hesap:
P(A) = P(B) + P(C) – P(B ∩ C) = 1/2 + 2/5 – 1/5 = 7/10
7. B, C ve D kullanılarak A olasılığı bulunabilir mi?
Cevap: Evet, bulunabilir.
Çünkü A = B ∪ C olduğu için:
P(A) = P(B) + P(C) – P(D) formülüyle hesaplanabilir.
Burada D, B ∩ C’dir (ortak çıktılar).
8. Hangi olayların ortak çıktısı vardır? Hangilerinin yoktur? Açıklayınız.
-
B ve C olaylarının ortak çıktıları vardır → Bu da D olayıdır.
-
B ∩ C = D olduğundan:
P(A) = P(B) + P(C) – P(D) formülü kullanılarak A bulunur.
Diğer olaylar arasında (örneğin A ile B, A ile C) kesişim farklı olabilir.
Bu şekilde hem olay kümesi mantığı, hem de olaylar arası ilişkiler ve olasılık işlemleri sistemli biçimde ortaya konmuştur.