9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Sayfa 220 Cevapları MEB Yayınları
6. Uygulama: Olayların Olasılık Değerlerini Hesaplama
Soru 1: Çark bir kez çevrildiğinde ibrenin gösterdiği yere gelen sayı ve kutudan çekilen topa ait deneyin tüm çıktılarını görselleştiriniz.
Kısa Cevap: Çarkta 8 sayı, kutuda 5 top vardır.
Bu yüzden deneyin toplam çıktı sayısı 8 × 5 = 40’tır.
Çarkta 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sayıları vardır.
Kutuda ise üzerinde 1, 2, 3, 4, 6 yazan 5 top bulunmaktadır.
Bu durumda tüm çıktılar sıralı ikili şeklinde yazılır:
{
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,6),
(7,1), (7,2), (7,3), (7,4), (7,6),
(8,1), (8,2), (8,3), (8,4), (8,6)
}
Toplam çıktı sayısı 40’tır.
Soru 2: Çarktaki parçalardan herhangi birinin ibrenin gösterdiği parça olma olasılık değeri, diğer parçaların gösterilme olasılık değerine ya da kutudaki toplardan herhangi birinin seçilme olasılık değerine, diğer topların seçilme olasılık değerine göre farklı mıdır? Açıklayınız.
Kısa Cevap: Çarktaki bütün sayıların gelme olasılığı eşittir. Kutudaki bütün topların seçilme olasılığı da eşittir.
Ancak çarktaki bir sayının gelme olasılığı ile kutudan bir topun seçilme olasılığı birbirinden farklıdır.
Çark 8 eş parçaya ayrılmıştır. Bu nedenle çarktaki her sayının gelme olasılığı: 1 / 8
Kutuda 5 özdeş top vardır. Bu nedenle her topun seçilme olasılığı: 1 / 5
Buna göre:
- Çarktaki sayılar kendi arasında eş olasılıklıdır.
- Kutudaki toplar da kendi arasında eş olasılıklıdır.
- Ama 1/8 ile 1/5 eşit değildir.
Yani çarktaki sayıların olasılıkları birbirine eşit, kutudaki topların olasılıkları da birbirine eşittir; fakat çark ve kutu arasında olasılık değerleri farklıdır.
Soru 3: Çark bir kez çevrildiğinde okun gösterdiği yere gelen sayının asal sayı olma olayı veya kutudan çekilen topun üzerinde tek sayı yazma olayı A olsun. A olayını oluşturan olayları B ve C olayları olarak ifade ediniz.
Kısa Cevap: B: Çarkta asal sayı gelmesi
C: Kutudan tek sayılı top gelmesi
A olayı iki farklı durumdan oluşmaktadır:
- B olayı: Çarkta gelen sayının asal sayı olması
- C olayı: Kutudan çekilen topun üzerindeki sayının tek sayı olması
Bu nedenle: A = B ∪ C
Soru 4: B ve C olaylarının istenen çıktılarını bulunuz.
Kısa Cevap: B olayı: Çarkta 2, 3, 5, 7 gelmesi
C olayı: Kutudan 1 veya 3 yazılı top gelmesi
Çarktaki asal sayılar: 2, 3, 5, 7
Bu yüzden B olayının çıktıları:
B = {
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6),
(7,1), (7,2), (7,3), (7,4), (7,6)
}
Kutudaki tek sayılar:
1, 3
Bu yüzden C olayının çıktıları:
C = {
(1,1), (1,3),
(2,1), (2,3),
(3,1), (3,3),
(4,1), (4,3),
(5,1), (5,3),
(6,1), (6,3),
(7,1), (7,3),
(8,1), (8,3)
}
Soru 5: Çark bir kez çevrildiğinde ibrenin gösterdiği yere gelen sayının asal sayı olma olayı ve kutudan çekilen topun üzerinde tek sayı yazma olayı D olsun. B, C ve D olaylarının olasılık değerlerini elde ediniz.
P(B) = 1/2
P(C) = 2/5
P(D) = 1/5
Detaylı Cevap:
B olayı: Çarkta asal sayı gelmesi
Asal sayılar: 2, 3, 5, 7 → 4 sayı
P(B) = 4 / 8 = 1 / 2
C olayı: Kutudan tek sayı yazılı top gelmesi
Tek sayılı toplar: 1, 3 → 2 top
P(C) = 2 / 5
D olayı: Hem çarkta asal sayı gelmesi hem de kutudan tek sayılı top gelmesi
- Asal sayı sayısı: 4
- Tek sayılı top sayısı: 2
Uygun durum sayısı: 4 × 2 = 8
Toplam çıktı sayısı: 40
P(D) = 8 / 40 = 1 / 5
Soru 6: A olayının istenen çıktılarını elde ediniz ve bu olayın olasılık değerini hesaplayınız.
Kısa Cevap: A olayı, B veya C olaylarının gerçekleşmesidir.
P(A) = 13/20
A olayı: A = B ∪ C
Yani çarkta asal sayı gelmesi veya kutudan tek sayı gelmesi yeterlidir.
Birleşim olasılığı formülü:
P(A) = P(B) + P(C) - P(B ∩ C)
Burada:
- P(B) = 1/2
- P(C) = 2/5
- P(B ∩ C) = P(D) = 1/5
Yerine yazalım:
P(A) = 1/2 + 2/5 - 1/5
P(A) = 1/2 + 1/5
P(A) = 5/10 + 2/10 = 7/10
A olayının olasılığı 7/10’dur.
A olayının çıktıları, ya birinci bileşeni asal olan ya da ikinci bileşeni tek olan tüm ikililerdir:
A = {
(1,1), (1,3),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,6),
(4,1), (4,3),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6),
(6,1), (6,3),
(7,1), (7,2), (7,3), (7,4), (7,6),
(8,1), (8,3)
}
Toplam uygun çıktı sayısı:
28
P(A) = 28 / 40 = 7 / 10
Soru 7: Bu deneyde incelenen B, C ve D olaylarının olasılık değerleri kullanılarak A olayının olasılık değeri bulunabilir mi? Açıklayınız.
Kısa Cevap: Evet, bulunabilir.
Çünkü A olayı, B ve C olaylarının birleşimidir.
A olayı, B veya C’nin gerçekleşmesi olduğundan:
A = B ∪ C
Birleşim olasılığı şu şekilde bulunur:
P(A) = P(B) + P(C) - P(D)
Burada:
- P(B) = 1/2
- P(C) = 2/5
- P(D) = 1/5
Hesaplayalım:
P(A) = 1/2 + 2/5 - 1/5 = 1/2 + 1/5 = 7/10
Bu nedenle A olayının olasılığı B, C ve D kullanılarak bulunabilir.
Soru 8: Hangi olayların ortak çıktısı vardır, hangilerinin yoktur? Ortak çıktısı olan olaylardan oluşan olayın olasılık değeri hesaplanırken neler fark ettiniz? Açıklayınız.
Kısa Cevap: B ile C olaylarının ortak çıktısı vardır.
Ortak çıktılı olaylarda toplama yaparken ortak kısım bir kez çıkarılmalıdır.
- B olayı: Çarkta asal sayı gelmesi
- C olayı: Kutudan tek sayı gelmesi
- D olayı: Hem asal sayı hem tek sayı gelmesi
Buradan görüyoruz ki:
B ve C olaylarının ortak kısmı D olayıdır.
Yani B ile C’nin ortak çıktıları vardır.
Bu ortak çıktılar, hem asal sayı hem de tek sayı içeren durumlardır.
Bu yüzden birleşim olasılığı hesaplanırken:
P(B ∪ C) = P(B) + P(C) - P(B ∩ C)
şeklinde işlem yapılır.
Çünkü ortak bölge iki kez sayılmış olur.
Fazlalığı önlemek için ortak kısım bir kez çıkarılır.