7.2 Olayların Olasılığına İlişkin Tümevarımsal Akıl Yürütme (Sayfa 214)
Konuya Başlarken – Soru Cevap
a) Olası tüm çıktıların görselleştirilebileceği temsil biçimleri neler olabilir?
- Ağaç şeması
- Tablo
- Listeleme yöntemi
b) Olası tüm çıktılar görselleştirilirken nasıl bir yol izlenebilir?
- Aşamaları belirlemek gerekir.
- Her bir ilk adım seçeneği için ikinci ve üçüncü adımlar ayrı ayrı değerlendirilir.
- Bütün olasılık çiftleri ya yazılı olarak listelenir ya da şema ile görsel temsili hazırlanır.
4. Uygulama Cevapları
1. Soru: Hilesiz 3 Madeni Paranın Olası Çıktıları
Soru: Hilesiz üç madeni paranın havaya atılması deneyinde olası tüm çıktıları görselleştiriniz.
Cevap:Tüm olası çıkışlar:
YYY, TYY, YTY, YYT, TTY, TYT, YTT, TTT
→ Toplam 8 farklı çıktı vardır.
2. Soru: Kullanılan Yöntem ve Alternatifler
Soru: Tüm çıktıları görselleştirmek için nasıl bir yöntem kullandınız? Farklı yöntemler neler olabilir?
- Biz bu çalışmada listeleme yöntemi kullandık.
- Ayrıca ağaç diyagramı veya tablo yöntemi de kullanılabilir.
- Bu yöntemler özellikle sistemli ve görsel gösterim açısından çok faydalıdır.
3. Soru: Ağaç Şeması Boşlukları Doldurma
Ağaç şemasında boş kalan kısımlar aşağıdaki gibi tamamlanmalıdır:
| İlk Para | İkinci Para | Üçüncü Para | Çıktı |
|---|---|---|---|
| TURA | YAZI | YAZI | TYY |
| TURA | YAZI | TURA | TYT |
| TURA | TURA | YAZI | TTY |
| TURA | TURA | TURA | TTT |
Böylece tüm kombinasyonlar tamamlanmış olur.
4. Soru: Görselleştirme Kontrolü
Soru: İlk adımda yaptığınız listelemeyi ağaç şemasıyla karşılaştırın.
Cevap: İlk listeleme yöntemiyle elde edilen sonuçlar, ağaç şemasında çıkan sonuçlarla tamamen örtüşmektedir.
Bu da kullanılan yöntemin doğru ve eksiksiz olduğunu kanıtlar.
5. Soru: Hilesiz üç madeni paranın havaya atılması deneyinde olası tüm çıktıların sayısı kaçtır?
Cevap: Her bir madeni paranın 2 olası sonucu vardır: yazı (Y) veya tura (T)
3 madeni para atıldığında:
2 × 2 × 2 = 8 farklı çıktı oluşur.
Bu çıktılar şunlardır: YYY, YYT, YTY, YTT, TYY, TYT, TTY, TTT
6. Soru: İstenen çıktıları oluşturmadan önce ağaç şeması oluşturmanın ne gibi faydaları olabilir?
- Her adımda kaç farklı seçenek olduğunu açıkça gösterir.
- Olası sonuçlara ulaşma yollarını sistemli bir şekilde ortaya koyar.
- Tüm olasılıkları eksiksiz görmeyi sağlar.
- Karmaşık olayların görsel analizini kolaylaştırır.
- Olasılık hesaplamalarında hataları azaltır.
- Öğrencinin düşünce sürecini destekleyerek problemi parçalayarak çözmesine yardımcı olur.
7. Soru: Herhangi bir olayda çıktı sayısı çok daha fazla olduğunda olası tüm çıktıları görselleştirmek için nasıl bir yol izlenebilir?
- Çok sayıda çıktı içeren olaylarda bilgisayar destekli programlar (örneğin Python, Excel, GeoGebra) kullanılabilir.
- Ağaç şeması yerine algoritmalar veya olasılık simülasyonları tercih edilebilir.
- Ayrıca, özetleme ve gruplandırma teknikleriyle çıktılar daha sade hale getirilebilir.
5. Uygulama – Hilesiz İki Sayı Küpünün Atılması
1. Soru: Tabloda boş bırakılan alanları örnekteki gibi doldurunuz.
Cevap: Tablonun her kutucuğu, iki zarın (1–6) üst yüzeylerinin oluşturduğu tüm olası sıralı ikilileri göstermelidir.
Tamamlanmış tüm hücreler şu şekildedir:
(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,6) yani toplam 36 farklı çıktı bulunur.
Bu doldurma işlemi doğru yapılmıştır.
2. Soru: Hilesiz iki sayı küpünün havaya atılması deneyinde olası tüm çıktılar kaç tanedir?
Cevap: Her bir zar için 6 farklı yüz vardır.
-
İki zar birlikte atıldığında:
6 × 6 = 36 farklı çıktı oluşur.
Bu çıktılar sıralı olduğu için örn. (2,3) ≠ (3,2)
Toplam çıktı sayısı: 36
3. Soru: Üst yüze gelen sayıların toplamının asal sayı olması olayında olası tüm çıktıları listeleyiniz.
Cevap: Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11
- Toplamı 2 olan: (1,1)
- Toplamı 3 olan: (1,2), (2,1)
- Toplamı 5 olan: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2)
- Toplamı 7 olan: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)
- Toplamı 11 olan: (5,6), (6,5)
???? Toplam asal toplam veren sıralı çift sayısı: 13