9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Sayfa 117-121 Cevapları Meb Yayınları

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 117 Cevapları (MEB Yayınları)

5. Uygulama: Königsberg Yürüyüş Rotası Problemi

Soru 1: Aşağıdaki tabloda verilen görsellerde bir şehirdeki belirli noktalar arasındaki farklı yolları temsil eden çizgeler yer almaktadır. Buna göre A noktasından yola çıkan bir kişi her yolu yalnızca bir kez kullanmak şartıyla başladığı noktaya dönüyorsa ✓, dönemiyorsa ✗ sembolü kullanılarak tabloyu doldurunuz.

Königsberg Şehrindeki Yürüyüş Rotası Problemi Çözümü

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 118 Cevapları (MEB Yayınları)

5. Tema: Algoritma ve Bilişim – Königsberg Problemi

Soru 2: Yandaki çizge; A ya da B düğümünden başlanarak, kalem hiç kaldırılmadan, her ayrıtın bir kez geçilerek, görseldeki oklar takip edilerek, başlanılan noktaya dönmek şartıyla kâğıt üzerine çizilebilir. Tablodaki diğer çizge örneklerini de bir başlangıç noktası belirleyerek, kaleminizi hiç kaldırmadan ve her ayrıtı bir kez geçmek şartıyla kâğıt üzerine çiziniz.

Kısa Cevap: Tüm düğümleri çift dereceli olan çizgeler tek hamlede çizilebilir.

Detaylı Cevap: Bir çizgenin kalemi kaldırmadan çizilebilmesi için Euler yolu kuralı uygulanır.

• Eğer tüm düğümlerin ayrıt sayısı çift ise çizim yapılabilir ve başlangıç noktasına dönülür.
• Eğer tek dereceli düğüm sayısı 2’den fazla ise çizim mümkün değildir.

Bu nedenle verilen çizgelerde uygun başlangıç noktası seçilerek her ayrıt bir kez geçilecek şekilde çizim yapılabilir ya da yapılamaz.

Soru 3: Kâğıt üzerine yaptığınız çizimlerde her bir düğümün sahip olduğu ayrıt sayısının tek ya da çift olmasının çizgenin kalem hiç kaldırılmadan çizilebilme durumu ile ilişkisini açıklayınız.

Kısa Cevap: Tüm düğümler çift ise çizilebilir, tek düğüm sayısı fazla ise çizilemez.

Bir çizgede:

• Tüm düğümler çift dereceli ise → kapalı yol vardır (çizilebilir)
• Sadece 2 düğüm tek ise → açık yol vardır (başka noktada biter)
• 2’den fazla tek düğüm varsa → çizilemez

Bu nedenle düğümlerin tek/çift olması çizimin mümkün olup olmadığını belirler.

Soru 4: Yanda verilen modelde Königsberg şehrinin köprüleri ve A noktasının üzerinde olduğu ada yer almaktadır. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Çizgede her bir düğümün ayrıt sayısının tek ya da çift olmasının rota planlarına bir etkisi olup olmadığını açıklayınız.

Kısa Cevap: Evet, doğrudan etkisi vardır.

Detaylı Cevap: Şekildeki düğümler incelendiğinde:

• A düğümü → 5 ayrıt (tek)
• B, C ve D düğümleri → 3 ayrıt (tek)

Toplamda 4 tane tek dereceli düğüm vardır.
Euler kuralına göre ikiden fazla tek düğüm olduğu için rota tamamlanamaz.
Yani her köprüden bir kez geçerek aynı noktaya dönmek mümkün değildir.

b) Her köprüden yalnızca bir kez geçmek şartıyla belirlediğiniz bir başlangıç noktasına dönmenin mümkün olup olmadığını çözümleyen bir algoritmanın çalışması için gereken girdileri ve beklenen çıktıları tanımlayınız.

Kısa Cevap: Girdi: düğümler ve ayrıt sayıları → Çıktı: mümkün / değil sonucu

Girdi:

• Düğümler (A, B, C, D gibi noktalar)
• Her düğümün ayrıt (kenar) sayısı

İşlem:

• Tek dereceli düğümler sayılır
• Euler kuralı uygulanır

Çıktı:

• Eğer tüm düğümler çift → “Mümkün”
• Eğer 2’den fazla tek düğüm → “Mümkün değil”

Bu algoritma sayesinde rota çiziminin mümkün olup olmadığı kolayca belirlenir.

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 119 Cevapları (MEB Yayınları)

5. Tema: Algoritma ve Bilişim

5. Uygulama: Königsberg Şehrindeki Yürüyüş Rotası Problemini Çizgeler Yardımıyla Çözümleme

Soru c) Algoritmik doğal dil ve akış şeması yardımıyla algoritmanın işleyişini açıklayınız.

Kısa Cevap: Algoritma, düğümlerin ayrıt sayılarını inceleyerek her köprüden bir kez geçilip geçilemeyeceğini belirler. Eğer tek dereceli düğüm sayısı uygun değilse çözüm yoktur.

Algoritmik Doğal Dil:

1. Başla
2. Çizgedeki düğüm ve ayrıtları belirle.
3. Her düğümün bağlı olduğu ayrıt sayısını hesapla.
4. Tek dereceli düğümlerin sayısını bul.
5. Eğer tüm düğümler çift dereceli ise başlangıç noktasına dönülen bir rota vardır.
6. Eğer yalnızca 2 düğüm tek dereceli ise bir noktadan başlayıp diğer noktada biten rota vardır.
7. Eğer 2’den fazla tek dereceli düğüm varsa her köprüden yalnızca bir kez geçilen uygun rota yoktur.
8. Sonucu yaz.
9. Bitir

Akış Şeması: Başla → Düğüm ve ayrıtları belirle → Her düğümün derecesini hesapla → Tek dereceli düğüm sayısını bul →

• 0 ise → Kapalı rota var
• 2 ise → Açık rota var
• 2’den fazla ise → Rota yok
  → Sonucu yaz → Bitir

Soru ç) Elde ettiğiniz algoritmayı farklı durumlar (köprülerden birinin kullanım dışı kalması, bir düğüm noktasına yeni ayrıtlar eklenmesi vb.) için test ediniz.

Kısa Cevap: Algoritma, köprü sayısı değiştiğinde tekrar uygulanır ve yeni duruma göre sonucun değişip değişmediği kontrol edilir.

Detaylı Cevap: Bu algoritma farklı durumlarda da kullanılabilir. Bunun için çizgedeki düğüm dereceleri yeniden hesaplanır.

Örnek 1: Bir köprü kullanım dışı kalırsa
Bir ayrıt kaldırıldığında ona bağlı iki düğümün derecesi değişir. Bu durumda tek dereceli düğüm sayısı artabilir ya da azalabilir. Sonuç olarak önceden mümkün olan rota artık mümkün olmayabilir.

Örnek 2: Yeni bir ayrıt eklenirse
Yeni eklenen köprü, bağlı olduğu düğümlerin derecesini 1 artırır. Bu da düğümlerin tek ya da çift olma durumunu değiştirir. Böylece çizge yeni bir Euler yolu kazanabilir ya da kaybedebilir.

Sonuç: Algoritma her yeni durumda tekrar uygulanarak çözümün mümkün olup olmadığı belirlenir.

6. Uygulama: Temiz Çevre Optimizasyon Problemi

Soru 1: Tablodaki verileri kullanarak toplam mesafeyi en aza indirmeye çalışınız.

Kısa Cevap: En kısa rota A → B → C → D → A rotasıdır.

Detaylı Cevap: Verilen uzaklıklar şunlardır:

• A-B = 133
• B-C = 96
• C-A = 100
• C-D = 103
• D-A = 70
• B-D = 200

Çöp arabası A’dan başlayıp B, C ve D depolarına birer kez uğrayıp tekrar A’ya dönecektir. Olası rotalardan bazılarını karşılaştıralım:

1. A → B → C → D → A
   = 133 + 96 + 103 + 70
   = 402
2. A → B → D → C → A
   = 133 + 200 + 103 + 100
   = 536
3. A → C → B → D → A
   = 100 + 96 + 200 + 70
   = 466
4. A → C → D → B → A
   = 100 + 103 + 200 + 133
   = 536
5. A → D → C → B → A
   = 70 + 103 + 96 + 133
   = 402
6. A → D → B → C → A
   = 70 + 200 + 96 + 100
   = 466

Buna göre en küçük toplam mesafe 402 birimdir.

En kısa rotalar:

• A → B → C → D → A
• A → D → C → B → A

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 120 Cevapları (MEB Yayınları)

6. Uygulama: Temiz Çevre Optimizasyon Problemi

Soru 2: Tablodaki verileri kullanarak düğümler A, B, C ve D; ayrıtlar mesafeleri verilen sorumluluk sahasındaki yollar olacak şekilde bir çizge oluşturunuz.

Kısa Cevap: A, B, C ve D düğümleri birbirine mesafelerle bağlanarak çizge oluşturulur.

Verilen bilgilere göre düğümler: A, B, C, D
Bu düğümler arasında mesafelerle bağlantılar kurulur:

• A-B, B-C, C-D, D-A
• Ayrıca alternatif yollar (A-C, B-D gibi) da çizgeye eklenebilir.

Böylece tüm noktaları ve yolları temsil eden bir çizge modeli oluşturulur.

Soru 3: Toplam mesafeyi en aza indiren algoritmanın çalışması için gereken girdi verilerini ve beklenen çıktıları tanımlayınız.

Kısa Cevap: Girdi: mesafeler → Çıktı: en kısa rota

Girdi:

• Düğümler: A, B, C, D
• Bu düğümler arasındaki mesafe bilgileri

İşlem:

• Tüm olası rotalar belirlenir
• Toplam mesafeler hesaplanır
• En küçük olan seçilir

Çıktı:

• En kısa rota (örneğin A → B → C → D → A)
• Toplam minimum mesafe

Soru 4: Toplam mesafeyi en aza indiren algoritmanın işleyişini algoritmik doğal dil, akış şeması ve sözde kod ile ifade ediniz.

Kısa Cevap: Tüm yollar hesaplanır, en kısa olan seçilir.

Algoritmik Doğal Dil:

1. Başla
2. Düğümler ve mesafeleri al
3. Olası tüm rotaları oluştur
4. Her rotanın toplam mesafesini hesapla
5. En küçük mesafeyi seç
6. Sonucu yaz
7. Bitir

Akış Şeması: Başla → Mesafeleri al → Rotaları oluştur → Mesafeleri hesapla → En küçüğü seç → Sonucu yaz → Bitir

Sözde Kod:

Başla
Girdi: düğümler ve mesafeler
Rotaları oluştur
Her rota için toplam mesafeyi hesapla
En küçük mesafeyi bul
Çıktı: en kısa rota
Bitir

Soru 5: Oluşturduğunuz çizge üzerinde çöp arabasının katettiği toplam mesafeyi en aza indiren rotayı bulunuz.

Kısa Cevap: A → B → C → D → A

Olası tüm rotalar incelendiğinde:

• A → B → C → D → A en kısa mesafeyi verir
• Diğer rotalarda toplam mesafe daha büyüktür

Bu nedenle: En uygun rota = A → B → C → D → A

Bu rota ile:

• En az mesafe kat edilir
• En verimli çözüm elde edilir

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 121 Cevapları (MEB Yayınları)

6. Uygulama: Temiz Çevre Optimizasyon Problemi

Soru 6: Toplam mesafeyi en aza indiren rotanızı arkadaşlarınızın rotaları ile karşılaştırıp en iyi rotayı belirleyiniz.

Kısa Cevap: En iyi rota, toplam mesafesi en küçük olan rotadır. Bu soruda en uygun rota A → B → C → D → A rotasıdır.

Detaylı Cevap: Bir rotanın en iyi rota sayılabilmesi için diğer rotalara göre daha kısa toplam mesafeye sahip olması gerekir. Önceki sorularda yapılan hesaplamalara göre A → B → C → D → A ve aynı uzunluğu veren ters yönlü rota A → D → C → B → A, en kısa toplam mesafeyi vermektedir. Bu nedenle arkadaşlarınızın bulduğu rotalarla karşılaştırıldığında en iyi rota, toplam mesafesi en az olan rota olarak seçilmelidir.

Soru 7: Çöp deposu sayısı artarsa elde ettiğiniz algoritmanın performansının nasıl etkileneceğini açıklayınız.

Kısa Cevap: Çöp deposu sayısı arttıkça algoritmanın işi zorlaşır. Çünkü incelenecek rota sayısı artar.

Detaylı Cevap: Depo sayısı arttığında, bir noktadan diğerine gidilebilecek olası yol ve rota sayısı da büyür. Bu durumda tüm rotaları tek tek karşılaştırmak daha fazla zaman alır. Yani algoritmanın çalışma süresi uzar ve problem daha karmaşık hale gelir. Bu yüzden depo sayısı arttıkça algoritmanın performansı düşebilir ve daha sistemli yöntemlere ihtiyaç duyulur.

Soru 8: Çöp deposu sayısı artarsa algoritmanın performansını artırmak için hangi stratejileri önerirsiniz? Alternatif algoritma yaklaşımları neler olabilir?

Kısa Cevap: Yakın noktadan başlamak, gereksiz yolları elemek ve kısa yolları önce değerlendirmek performansı artırır.

Detaylı Cevap: Depo sayısı arttığında çözümü hızlandırmak için bazı stratejiler kullanılabilir:
1. En kısa kenarları önce değerlendirmek işimizi kolaylaştırır.
2. Çok uzun olan yolları baştan elemek gereksiz hesapları azaltır.
3. Çizge üzerinde en yakın komşuya gitme yöntemi uygulanabilir.
4. Bilgisayar destekli en kısa yol algoritmaları kullanılabilir.

Alternatif yaklaşım olarak, tüm yolları tek tek denemek yerine yakın komşu yöntemi, en kısa kenar seçimi ya da daha gelişmiş optimizasyon yöntemleri tercih edilebilir.

Soru 9: Bu problemin çözümünde kullanılan tablo ve çizgeden hangisinin daha verimli olduğunu açıklayınız.

Kısa Cevap: Çizge daha verimlidir. Çünkü yollar ve bağlantılar görsel olarak daha kolay anlaşılır.

Detaylı Cevap: Tablo, mesafeleri sayısal olarak göstermede faydalıdır. Ancak çizge, noktalar arasındaki ilişkileri ve alternatif yolları daha açık ve görsel biçimde ortaya koyar. Özellikle rota belirleme ve karşılaştırma yapılırken çizge üzerinden düşünmek daha kolaydır. Bu yüzden bu problemin çözümünde çizge kullanımı daha verimli kabul edilebilir. Tablo ise çizgeyi destekleyen yardımcı bir araçtır.

Soru 10: Bu problemin benzerlik gösterdiği gerçek yaşam durumlarını açıklayınız.

Kısa Cevap: Bu problem günlük hayatta dağıtım ve ulaşım planlamasında karşımıza çıkar.

Detaylı Cevap: Bu tür problemler gerçek yaşamda birçok alanda kullanılır. Örneğin:
kargo dağıtımı, posta dağıtımı, çöp toplama güzergâhı, okul servisi planlaması, ambulans ve itfaiye araçlarının rota belirlemesi gibi durumlarda en kısa ve en uygun yolun bulunması gerekir. Bu nedenle bu soru, matematiğin günlük hayattaki kullanımına güzel bir örnektir.