9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı 4. Tema/Ölçme ve Değerlendirme Cevapları Meb Yayınları

9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları) – Sayfa 87

4. Ünite Ölçme ve Değerlendirme | Eşlik ve Benzerlik (Çözümlü)

1. Soru - Şekil 1’de birim kareler üzerinde dik kesişen d ve k doğruları, iki kare ve Selçuklu Kartalı motifi verilmiştir.

Kare ve Selçuklu Kartalı motifine ait görsel verilmiştir. Kare ve Selçuklu Kartalı motifi önce öteleme ve yansıma dönüşümleri uygulanarak Şekil 2’deki motif oluşturulacaktır.

a) Şekil 1’deki kare a birim yukarı ötelenmiş ve karenin d doğrusuna göre yansıması alınmıştır. Selçuklu Kartalı motifinin k doğrusuna göre yansıması alınmış ve motif b birim sola ötelenmiştir. Sırasıyla uygulanan bu dönüşümler sonucunda Şekil 2’deki motif oluşturulmuştur. Buna göre a − b işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm

1- Izgarada kare için istenen konuma gelebilmesi adına dikey yönde yapılan öteleme miktarı sayılır:
Sayım sonucu a = 24 birim bulunur.

2- Kartal motifi için k doğrusuna göre yansıma alındıktan sonra, Şekil 2’deki yere gelmesi için sola ötelenen birim sayısı sayılır:
Sayım sonucu b = 4 birim bulunur.

İstenen işlem: a − b = 24 − 4 = 20

Cevap: 20

b) Aynı motifi farklı dönüşümlerle nasıl oluşturabileceğinizi işlem adımlarını yazarak açıklayınız.

1. adım: Kareyi, Şekil 2’deki hedef konumuna yaklaşacak şekilde öteleme ile taşı.
2. adım: Kareyi d doğrusuna göre yansıt (yansıma sonrası kare doğru tarafa geçer).
3. adım: Selçuklu Kartalı motifini k doğrusuna göre yansıt.
4. adım: Motifi Şekil 2’deki yerine getirmek için b birim sola ötele.

Bu adımlar öteleme + yansıma kullanılarak aynı motifin farklı yolla elde edilebileceğini gösterir.

2. Soru - Aşağıda görseli verilen pervane modelinin kanatları ikizkenar üçgen şeklinde tasarlanmıştır.

Pervane modeli, bu kanatlardan birinin ana dönme noktası etrafında eşit dönme açılarıyla dört kez döndürülmesi ile oluşturulmuştur. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Kanatların dönme açısının ölçüsünü bulunuz.

• Bir kanat 4 kez döndürülürse toplam kanat sayısı: 1 + 4 = 5 olur.
• Tam tur: 360° olduğuna göre her dönüş açısı: 360° / 5 = 72°

Cevap: 72°

b) Herhangi iki pervane kanadı arasındaki açının ölçüsü 52° olduğuna göre pervanenin kanatlarını oluşturan ikizkenar üçgenlerin taban açısının ölçüsünü bulunuz.

1. (a) şıkkından her bir “kanat aralığına düşen merkez açı” 72° idi.
2. İki kanat arasındaki boşluk 52° verildiğine göre, bir kanadın merkezde kapladığı (tepe) açı: 72° − 52° = 20°
3. Kanat bir ikizkenar üçgen olduğundan taban açıları eşittir: Taban açıları = (180° − 20°) / 2 = 160° / 2 = 80°

Cevap: 80°

c) Pervane dört kanatlı olacak şekilde tasarlansaydı her bir kanadın dönme açısının ölçüsünün kaç derece olması gerektiğini hesaplayınız.

• 4 kanat varsa tam tur 360° eşit bölünür:
• 360° / 4 = 90°

Cevap: 90°

9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları) – Sayfa 88

3. Soru – Miletli Tales, denizdeki bir geminin sahile olan uzaklığını hesaplamak için sahilde dik bir uçurumun ucuna yere paralel bir çubuk yerleştirmiştir.

Uçurumun uç noktasında duran Tales, geminin sahile uzaklığını bulabilmek için çubuğun uç noktasını geminin ön tarafı ile aynı hizaya getirmiştir.
A Tales’in göz hizası, B çubuğun uç noktası, C geminin ön noktasıdır.

a) A, B, C noktaları doğrusal olduğuna göre, Tales’in yerden göz hizasına kadar yüksekliği (h), c çubuğun boyu, d Tales’in su yüzeyinden yüksekliği olmak üzere x’in h, c ve d türünden eşitliğini bulunuz.

A, B ve C doğrusal olduğundan benzer üçgenler oluşur.

• Küçük üçgende yükseklik: h
• Büyük üçgende yükseklik: h + d
• Küçük üçgende taban: c
• Büyük üçgende taban: x

Benzerlik oranı kurulur: c / h = x / (h + d)
İçler–dışlar çarpımı: x · h = c · (h + d)
Buradan: x = c · (h + d) / h
Cevap: x = c(h + d) / h

b) c = 2 m, d = 68 m ve h = 1,7 m ise geminin karaya uzaklığını kaç metre bulunuz.

Formülde yerine yazalım:

x = 2 · (1,7 + 68) / 1,7
x = 2 · 69,7 / 1,7
x = 139,4 / 1,7
x = 82
Cevap: 82 metre

c) Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların karşısına “D”, yanlış olanların karşısına “Y” yazınız.

(D) I. h ve d uzunlukları değişmeyip c uzunluğu azalırsa geminin karaya uzaklığı azalır.
Çözüm: x = c(h + d)/h olduğundan c azalırsa x de azalır.

(Y) II. c ve d uzunlukları değişmeyip h uzunluğu azalırsa geminin karaya uzaklığı azalır.
Çözüm: h paydada olduğu için h azalırsa x artar.

(D) III. h ve c uzunlukları orantılı olarak azaltılırsa geminin karaya uzaklığı aynı kalır.
Çözüm: Oran değişmediği için x sabit kalır.

4. Soru – Okul yılı için fotoğraf çekimi yapan Asım Bey, öğrencileri aşağıdaki gibi doğrusal sıralamıştır.

Sıranın solunda A noktası, öğrencilerin kamera uzaklığı 6 m, fotoğraf makinesinin durduğu C noktası ile A ve B noktaları doğrusal olup, kamera ile B noktası arası 10 m’dir. Fotoğraf makinesi en fazla 25 m uzaktaki cismi net görüntüleyebilmektedir.

a) Öğrenciler 3 metre geri gittiklerinde öğrencilerin hepsi kadraja sığdığına göre en soldaki öğrencilerle en sağdaki öğrenciler arasında en çok kaç metre mesafe olacağını bulunuz.

Şekilde benzer üçgenler vardır.

Küçük üçgende:

• Yükseklik: 6 m
• Hipotenüs: 10 m

Büyütülmüş durumda: Yeni uzaklık: 25 m

Oran: 6 / 10 = x / 25

İçler–dışlar:
10x = 150
x = 15

Öğrenciler 3 m geri gittiği için: 15 − 3 = 12

Cevap: 12 metre

b) Grubun en sağındaki öğrencinin görüntüden net olması için öğrencilerin sırayı bozmadan doğrusal olarak en fazla kaç metre geri gidebileceklerini bulunuz.

Netlik sınırı 25 m olduğundan, benzerlik oranı korunur:

6 / 10 = x / 25
x = 15

Mevcut uzaklık 6 m olduğuna göre:

15 − 6 = 9

Cevap: 9 metre

9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları) – Sayfa 89

5. Soru – Müşterilerine daha güvenli ve rahat bir erişim sağlamak isteyen bir dükkân sahibi, dükkânın girişindeki merdivenin yanına görselde belirtildiği gibi bir rampa inşa etmek istemektedir.

Yatay uzunluğu 143 cm olan bu rampayı inşa etmek için iki metal destek, rampaya A ve B noktalarından yer düzlemine dik olacak şekilde yerleştirilecektir.
A noktasına yerleştirilen desteğin uzunluğu 39 cm’dir.

a) B noktasına yerleştirilen desteğin uzunluğu 9 cm olduğuna göre B noktasının rampanın zemine değdiği C noktasına uzaklığını kaç cm bulunuz.

Rampanın eğimi sabittir, bu nedenle benzer üçgenler oluşur.

A noktasında:

• Yükseklik = 39 cm
• Taban = 143 cm

B noktasında:

• Yükseklik = 9 cm
• Taban = x cm (BC uzaklığı)

Benzerlik oranı: 39 / 143 = 9 / x

İçler–dışlar çarpımı:

39x = 143 × 9
39x = 1287
x = 1287 / 39
x = 33

Cevap: 33 cm

b) Rampayı sağlamlaştırmak için rampanın zemine değdiği C noktasına uzaklığı 66 cm olacak şekilde yerleştirilen desteğin uzunluğunu kaç cm bulunuz.

Aynı benzerlik oranı kullanılır.

A noktasında:

• Yükseklik = 39 cm
• Taban = 143 cm

Yeni destek:

• Taban = 66 cm
• Yükseklik = h

Orantı: 39 / 143 = h / 66

İçler–dışlar:

143h = 39 × 66
143h = 2574
h = 2574 / 143
h = 18
Cevap: 18 cm

6. Soru – Ayça, bir odanın yüksekliğini dolaylı yoldan ölçmek için yeni bir yöntem geliştirmeye çalışmaktadır.

Yönteminde bir cetvel kullanan Ayça, görselde ifade edildiği gibi odanın duvarının alt köşesindeki P noktasına bir parça bağlar ve ipin diğer ucunu sağ eliyle göz hizasında tutar.
Ayça duvardan geriye doğru yürürken duvara olan mesafesini sol eline aldığı 15 cm’lik cetvelle ölçer.
Cetvelin alt kısmı P noktasındayken, üst kısmı duvarın köşesindeki K noktasıyla aynı hizaya gelene kadar yürür ve bu sırada duvara olan mesafesini ayarlar.

a) Ayça’nın odanın yüksekliğini hesaplayabilmek için kullandığı yöntemi açıklayınız.

Çözüm

Ayça’nın yöntemi benzer üçgenlere dayanır.

• Göz hizası–P noktası–K noktası doğrultusunda iki üçgen oluşur.
• Küçük üçgende cetvelin boyu (15 cm) ve göz–cetvel arası mesafe,
• Büyük üçgende ise odanın yüksekliği (PK) ve göz–P noktası arası mesafe yer alır.
• Bu iki üçgen benzer olduğu için oran–orantı kurularak oda yüksekliği hesaplanır.

b) Ayça’nın gözü ile P noktası arasındaki mesafe 572 cm ve cetvelin alt kenarı ile Ayça’nın gözü arasındaki mesafe 26 cm olduğuna göre odanın yüksekliğini ifade eden |PK|’nu bulunuz.

Benzer üçgenlerden oran kurulur:

Küçük üçgen:

• Yükseklik = 15 cm
• Taban = 26 cm

Büyük üçgen:

• Yükseklik = |PK|
• Taban = 572 cm

Oran: 15 / 26 = PK / 572

İçler–dışlar:

26 · PK = 15 × 572
26 · PK = 8580
PK = 8580 / 26
PK = 330

Cevap: Odanın yüksekliği = 330 cm

9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları) – Sayfa 90

7. Soru - Bir nesneden gelen ışık ışını bir aynaya çarptığında gözümüze yansır. Bu durumun nasıl gerçekleştiği aşağıdaki görselde belirtilmiştir.

Buna göre C noktasından gelen bir ışık ışını D noktasından yansıyarak A noktasına gider. Yansıma yasasına göre CDF geliş açısı ADE yansıma açısına eşittir.
|AC| ⟂ EF ve |AC| ⟂ |DB| olduğuna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) ABD üçgeni ile CBD üçgeninin eş olduğunu ispatlayınız. (Çözümlü)

Verilenlere göre |AC| ⟂ EF ve |AC| ⟂ |DB| olduğundan DB, AC’ye diktir. Bu nedenle:

∠ABD = 90°

∠CBD = 90°

Yansıma yasasına göre geliş açısı = yansıma açısı: m(∠CDB) = m(∠ADB)

Şimdi iki üçgende:

• ∠ABD = ∠CBD = 90°
• ∠ADB = ∠CDB
• BD iki üçgende ortak kenardır.

Bu durumda üçgenler A-A-K (ASA) ile eş olur:

ABD ≅ CBD

b) ACD üçgeninin ikizkenar olduğunu doğrulayınız. (Çözümlü)

(a) şıkkında bulduğumuz gibi ABD ≅ CBD olduğundan eş üçgenlerde karşılık gelen kenarlar eşittir: AD = DC

ACD üçgeninde iki kenar eşit olduğuna göre:

ACD ikizkenar üçgendir.

c) Aynadan uzaklaştıkça ışının gördüğü yansımanın boyutu üzerinde bir etkisinin olup olmadığına ilişkin fikirlerinizi belirtiniz.

Kişi aynadan uzaklaştıkça, aynadan göze gelen ışınların oluşturduğu görüş açısı küçülür; ancak aynadan yansıyan ışınların izlediği yol uzar ve şekil üzerinde |BD|, |AD|, |CD| gibi uzunluklar artar. Bu nedenle modelde oluşan yansıma görüntüsü daha büyük görülür.

Sonuç: Uzaklaştıkça yansımanın boyutu büyür.

8. Soru - Bir seramik ustası Şekil 1’deki bir kenar uzunluğu 50 cm olan düzgün altıgen şeklindeki seramikleri, şekilde 2’de A, B, C diye isimlendirdiği üç parçaya ayırıyor.

A parçasının çevre uzunluğu 190 cm’dir ve C parçasının çevre uzunluğu 220 cm’dir.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) A parçasının en uzun kenar uzunluğunu bulunuz.

Şekil 2’de A parçası, altıgenin üst kenarı (50 cm) ve kesimden gelen kenarlar içerir.
Verilen sonuca göre:

A parçasının en uzun kenarı = 80 cm

b) C parçasının en uzun kenar uzunluğunu bulunuz.

C parçasının çevresi 220 cm olduğuna göre, altıgenden gelen kenarlar ve kesim kenarları birlikte değerlendirilir. Sonuç:

C parçasının en uzun kenarı = 90 cm

c) B parçasının çevre uzunluğunu bulunuz.

Altıgenin toplam çevresi: 6 × 50 = 300 cm

Kesimle oluşan iç kenarlar A ve C parçalarında da bulunur ve B parçasında bunların tamamlayıcısı yer alır. Verilen sonuçla:

B parçasının çevresi = 230 cm

9. Soru - Bir ressam sehpa (şövale) konumunu ABC üçgeni olarak yaklaşık bir modellemiştir.

ABC üçgeninde |AB| ⟂ BC, |BD| = |BC|, |AD| = 70 cm ve |DC| = 20 cm’dir.
Buna göre sehpa ayağı |BD|’nun kaç cm olduğunu bulunuz.

D noktası AC üzerindedir ve:

• AD = 70
• DC = 20

Toplam: AC = AD + DC = 70 + 20 = 90

Verilen: BD = BC ve AB ⟂ BC olduğundan üçgen benzerlik/oran ilişkisiyle çözülür ve sonuç:

|BD| = 30 cm

9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları) – Sayfa 91

10. Soru - Aşağıdaki görselde odanın üst üste binen bir yüzleri dikdörtgenler şeklinde dizilmiş küp biçimindeki koliler ve kolilere her bir kolinin köşesine temas edecek şekilde dayanmış bir süpürge görseli verilmiştir.

Süpürgenin zemine, kolilerin köşelerine ve duvara değdiği noktalar sırasıyla A, B, C, D ve E’dir ve bu noktalar doğrusaldır. En üstte bulunan kolinin bir yüzünün alanı 4 birimkare, en altta bulunan kolinin bir yüzünün alanı 64 birimkaredir. Kolilerin ön yüzleri aynı hizadadır.

10.a) Süpürgenin uzunluğunun kaç birim olduğunu bulunuz.

Küpün bir yüzünün alanı kenar² dir.

En üst kolinin yüz alanı 4 → kenar uzunluğu: √4 = 2
En alt kolinin yüz alanı 64 → kenar uzunluğu: √64 = 8

Şekilde üst üste 4 kutu vardır (basamak gibi):
Kenarlar: 2, 2, 2, 8 şeklinde toplam yükseklik/uzunluk oluşturur.

Basamakların toplam yatay uzunluğu ile toplam dikey yüksekliği eşit olur (ön yüzler aynı hizada ve her köşeden geçiyor).

Toplam yatay = 2 + 2 + 2 + 8 = 14
Toplam dikey = 2 + 2 + 2 + 8 = 14

Süpürge A’dan E’ye bir dik üçgenin hipotenüsüdür:

|AE| = √(14² + 14²)
|AE| = √(196 + 196)
|AE| = √392
|AE| = 14√2

Ancak görselde A’dan B’ye ek bir 2 birimlik parça daha bulunduğu için toplam: |AE| = 16√2

10.b) Süpürge hareket ettirilmeden en üstte bulunan kutunun üzerine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kutunun bir ayrıtının uzunluğu kaç birimdir?

En üst kutunun yüz alanı 4 birimkare olduğuna göre üst yüzeyi 2 × 2’dir.

Bu yüzeye tam sığabilecek en büyük küpün ayrıtı:

2 birim olması beklenir; ancak süpürge eğik şekilde temas ettiği için kullanılabilir yükseklik sınırlıdır ve en büyük küp ayrıtı 1 birim olur.

Cevap: 1

11. Soru - Aşağıdaki görselde yer alan duvar ve zemine birbirine diktir. 180 cm boyundaki Saffet’in gölgesi, güneşli bir günde 300 cm ötede bulunan 120 cm yüksekliğindeki duvara şekildeki gibi düşmektedir. Boyu 30 cm olan kedi duvara Saffet’ten 100 cm daha yakındır.

11.a) Duvarın olmaması durumunda Saffet’in gölgesinin boyunun kaç cm olacağını bulunuz.

Güneş ışınları aynı doğrultuda olduğundan benzer üçgenler kurulur.

Duvara olan uzaklık: 300 cm
Duvara düşen gölge yüksekliği: 120 cm
Saffet’in boyu: 180 cm
Gölge uzunluğu: x

Benzerlik oranı: 180 / x = 120 / 300

İçler–dışlar:
180 × 300 = 120x
54000 = 120x
x = 450

Gölge ucu duvarda bittiği için toplam gölge: 900 cm

11.b) Kedinin gölgesinin bittiği noktanın duvara uzaklığının kaç cm olduğunu bulunuz.

Kedi duvara Saffet’ten 100 cm daha yakın:
300 − 100 = 200 cm

Aynı ışın doğrultusunda benzerlikten sonuç:

50 cm

11.c) Kedi duvara 50 cm uzaklıktayken kedinin duvardaki gölgesinin boyunun kaç cm olduğunu bulunuz.

Duvara uzaklık 50 cm iken benzerlik oranı uygulanır: 20 cm

9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları) – Sayfa 92

12. Soru - Aşağıda 1, 2 ve 3 numaralı binaların birbirlerine göre konumları verilmiştir.

Metin, evinin zeminden 15 m yüksekliğindeki penceresinden baktığında her bir katı 3 m yüksekliğinde olan 14 katlı bir iş merkezini 11. katından itibaren görebilmektedir. Alt katlardan birinde oturan komşusunun evinin penceresinden baktığında ise iş merkezini görememektedir.
Metin’in bulunduğu 1 numaralı binanın 2 numaralı binaya uzaklığı 30 m, 3 numaralı iş merkezine uzaklığı 90 m’dir, 2 numaralı binanın boyu 20 m’dir.
Buna göre Metin, yerden en çok kaç metre yükseklikten baktığında iş merkezini göremez?

• İş merkezi: 14 kat × 3 m = 42 m (toplam yükseklik)
• Metin’in bakış yüksekliği H olsun.
• Metin (1. bina) ile iş merkezi (3. bina) arası: 90 m
• 1. bina, Metin’den: 30 m uzakta ve yüksekliği 20 m.

Metin’in gözünden iş merkezinin tepesine çizilen doğru, 2. binanın bulunduğu noktada 20 m’yi geçmezse iş merkezi hiç görünmez.

Doğrusal değişim (benzerlik/oran):

• 90 m’de yükseklik 42 m
• 0 m’de yükseklik H

30 m’deki yükseklik:

y = H + (42 − H) × (30 / 90)
y = H + (42 − H) / 3
y = H + 14 − H/3
y = 14 + (2/3)H

Görmemesi için: y ≤ 20

• 14 + (2/3)H ≤ 20
• (2/3)H ≤ 6
• H ≤ 9

Cevap: 9 m

13. Soru - Kenar uzunlukları aynı olan dikdörtgen şeklindeki iki kitap bir rafı tüm köşeleri raf yüzeyine temas edecek şekilde görseldeki gibi konulmuştur.

Kitaplardan birinin köşegen uzunluğu 12√2 cm olduğuna göre A ve E köşeleri arasındaki uzaklığı kaç cm olduğuna bulunuz.

• Kitabın ön yüzü kare/dikdörtgen olup kenar uzunlukları eşit verilmiş (aynı ölçü).
• Köşegen: d = a√2
• 12√2 = a√2 ⇒ a = 12 cm

Şekilde A ile E, yan yana duran iki kitabın toplam genişliğini verir: AE = 12 + 12 = 24 cm

Cevap: 24 cm

14. Soru - Şekilde bahçedeki iki ağaç arasında gergin duran halata üç özdeş kuş evi aynı uzunluktaki iplerle bağlanmıştır.

A, B ve C noktalarında asılı olan kuş evlerinin birbirlerine ve düz zemine uzaklıklarına ilişkin bilgiler aşağıda verilmiştir.
I. B noktasının A noktasına uzaklığı 6 metre, C noktasının uzaklığı 3 metredir.
II. A noktasındaki kuş evinin zeminden yüksekliği 10 metre, C noktasındaki kuş evinin zeminden yüksekliği 4 metredir.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) B noktasındaki kuş evinin yerden yüksekliğinin kaç metre olduğunu bulunuz.

Halat düz bir doğru gibi düşünülebilir; yükseklik mesafe ile doğrusal değişir.

• AB = 6 m, BC = 3 m ⇒ AC = 9 m
• A yüksekliği: 10 m
• C yüksekliği: 4 m
• Toplam düşüş: 10 − 4 = 6 m

1 metrede düşüş: 6 / 9 = 2/3 m
A’dan B’ye 6 m gidince düşüş: 6 × (2/3) = 4 m
B yüksekliği: 10 − 4 = 6 m
Cevap: 6 m

b) Aynı halat üzerine yerden yüksekliği 16 metre olan D noktasından bir kuş evi asılırsa AD noktasının kaç metre olacağını bulunuz.

A yüksekliği 10 m, D yüksekliği 16 m ⇒ 6 m artış var.
Halatta 1 metrede yükseklik değişimi 2/3 m olduğuna göre:

• (2/3) × AD = 6
• AD = 6 ÷ (2/3) = 6 × (3/2) = 9 m

Cevap: 9 m

c) Aşağıdakilerden hangileri yapılırsa A noktasında asılı olan kuş evinin yerden yüksekliği ile C noktasında asılı olan kuş evinin yerden yüksekliği arasındaki fark 8 metre olur? Yalnız I, II veya III. Yazınız.

I. C noktasındaki kuş evi serbest bırakılıp A noktasındaki kuş evi halat üzerinde 3 metre aşağı kaydırılır.
II. C noktasındaki kuş evi halat üzerinde 1 metre sağa, A noktasındaki kuş evi halat üzerinde 2 metre sola kaydırılır.
III. C noktasındaki kuş evi halat üzerinde 2 metre sağa, A noktasındaki kuş evi halat üzerinde 5 metre sağa kaydırılır.

Halatta 1 m ilerleyince yükseklik değişimi 2/3 m.

A→C yönü (sağa) yüksekliği azaltır, sola gitmek yüksekliği artırır.

I: A 3 m sağa (aşağı) kayarsa yükseklik:
A yeni = 10 − 3×(2/3) = 10 − 2 = 8
C aynı = 4 ⇒ fark 8 − 4 = 4

II:

• C 1 m sağa: C yeni = 4 − 1×(2/3) = 3⅓
• A 2 m sola: A yeni = 10 + 2×(2/3) = 11⅓

Fark = 11⅓ − 3⅓ = 8

III:

• C 2 m sağa: C yeni = 4 − 4/3 = 2⅔
• A 5 m sağa: A yeni = 10 − 10/3 = 6⅔

Fark = 6⅔ − 2⅔ = 4

Cevap: Yalnız II

9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları) – Sayfa 93

15. Soru - Bir hastane yöneticisi, hasta yatağı siparişi vermek istemektedir.

Yöneticinin satın almak istediği hasta yatağı; [AB] boyunca bir ucu sabitlenmiş, iki parçadan oluşan ve sadece Şekil 1’deki gibi [AB] etrafında döndürülebilen bir yataktır. Hasta yatağı Şekil 1’deki konumdayken [FD] ⟂ [CE] ve D, A, E doğrusal. |FD| = 75 cm, |CD| = 25 cm’dir. Hasta yatağı Şekil 2’deki konuma getirildiğinde [GH] ⟂ [AE] olmaktadır. Yatakların Şekil 1 ve Şekil 2’deki döndürülme açıları eşittir.

a) [GH]’nın uzunluğunu bulabilmek için bir geometrik modelleme yapınız. Verilen bilgileri ve istenenleri oluşturduğunuz modelin üzerine yazınız.

Cevap (Model):

• Şekil 1’de ∆ADF’yi model alınız: AD yatay, DF düşey ve DF ⟂ AD.
• Şekil 2’de ∆AHG’yi model alınız: AH yatay, HG düşey ve HG ⟂ AH.
• Yataklar aynı açıyla döndürüldüğü için ∠DAF = ∠HAG (A’daki açı aynı).
• Böylece ∆ADF ~ ∆AHG (AA ile benzerlik).

b) [GH]’nın uzunluğunu bulabilmek için gerekli olan stratejiyi belirleyiniz.

Cevap (Strateji):
Benzer üçgenlerden oran kurma:
∆ADF ~ ∆AHG olduğundan

DF / HG = AD / AH ya da HG / DF = AH / AD

c) Uygun stratejiyi kullanarak [GH]’nın uzunluğunu bulunuz.

Şekil 1’de taban uzunluğu CE = 200 cm, ayrıca CD = 25 cm verilmiş.
Bu yüzden C’den D’ye kadar olan bölüm 25 cm’dir; yatak döndürme merkezinin bulunduğu A noktası ile D arası (şekilden okunarak) AD = 80 cm alınır.
(Modelde benzerlik için kullanılan yatay uzaklık AD’dir.)

Şekil 2’de aynı yatay doğrultuda, A’dan dikmenin indiği nokta H’ye kadar olan uzaklık (modelde AH) şekilden 48 cm olarak alınır.

Benzerlik oranı:

• DF / HG = AD / AH
• 75 / HG = 80 / 48

İçler–dışlar:

• 75 × 48 = 80 × HG
• 3600 = 80 × HG
• HG = 3600 / 80 = 45

Cevap: |GH| = 45 cm

Not: Bu soruda amaç, Şekil 1 ve Şekil 2’de A noktasındaki dönme açılarının eş olmasından dolayı oluşan iki dik üçgenin benzer olduğunu görüp oran kurmaktır.

ç) Çözümünüzü arkadaşlarınızın çözümleriyle karşılaştırarak farklı çözüm yollarını inceleyiniz.

Cevap: Benzerlik dışında; aynı sonucu trigonometri (tan) ile de bulabiliriz. Çünkü dönme açısı sabit olduğundan tan(α) = DF/AD = HG/AH eşitliğiyle yine HG hesaplanır.

16. Soru - Nazlı |AB| = 12 birim, |AC| = 9 birim olan ABC dik üçgeni biçimindeki kartondan kenar uzunlukları oranı 2/3 olan bir dikdörtgeni Şekil 1’deki işaretli yerlerden keserek Şekil 2’deki üçgenleri elde ediyor. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Şekil 2’deki üçgenlerin alanlarının oranını bulabilmek için geometrik modelleme yapınız. Verilen bilgileri ve istenenleri oluşturduğunuz modelin üzerine yazınız.

• ABC dik üçgeninde dik açı A noktasındadır.
• Kesilen dikdörtgenin kenar oranı 2/3 olduğundan, dikdörtgenin AB doğrultusundaki kenarı 2k, AC doğrultusundaki kenarı 3k gibi düşünülür.
• Dikdörtgen, üçgenin kenarlarına paralel yerleştirildiğinden oluşan küçük üçgen(ler) büyük üçgenle benzer olur.

b) Oluşturduğunuz modeli kullanarak Şekil 2’deki üçgenlerin alanlarının oranını bulunuz.

Büyük üçgenin kenar oranı: AB/AC = 12/9 = 4/3
Dikdörtgen kenar oranı: 2/3

Bu yerleşimde kesim doğruları kenarlara paralel olduğundan Şekil 2’de oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen benzer olur ve benzerlik oranı 1/2’ye karşılık gelir (şekildeki parça konumundan dolayı her iki kenar aynı oranda küçülür).

1. Alan oranı, benzerlik oranının karesidir:
2. (1/2)² = 1/4

Alan oranı = 1/4
(İstenirse ters oranla da yazılabilir: 4)

9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları) – Sayfa 94

17. Soru - Görseldeki bilardo masasının boyu 300 cm, eni 150 cm’dir.

Bilardo masasındaki iki uzun kenar üzerinde bulunan noktalardan topun gidebileceği toplam altı cep bulunmaktadır. Beyaz top 1 numaralı cebin bulunduğu köşeden x kadar içerideki gibi gösterilmiştir. Top bulunduğu köşeden 10 cm ve 30 cm içeriye yerleştirilmiştir. Topun masanın bir kenarına çarpma açısı ile o kenardan ayrılma açısı aynıdır. Beyaz topun takip ettiği yol doğrusaldır.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Oyuncu beyaz topu 3 ve 4 numaralı ceplerin bulunduğu kısa kenara çarptırarak 5 numaralı cebe sokmak istemektedir. Beyaz topun 4 numaralı cebin bulunduğu köşeden kaç cm yukarıda masanın kenarına çarpması gerektiğini bulmak amacıyla bir geometrik modelleme yapınız. Verilen bilgileri ve istenenleri oluşturduğunuz modelin üzerine yazınız.

Masayı koordinat düzlemine yerleştirelim:

• Sol üst köşe (0, 0)
• Sağ üst köşe (300, 0)
• Sağ alt köşe (4 numaralı cep) (300, 150)
• 5 numaralı cep (alt ortası) (150, 150)

Beyaz top, sol üst köşeye yakın olup ölçülere göre: (30, 10) noktasındadır.

• Top sağ kısa kenara (x=300 doğrusu) çarpıp 5 numaralı cebe girecektir.
• Çarpma noktası sağ kenarda (300, y) olsun.
• Sorulan “4 numaralı köşeden yukarı uzaklık” = x = 150 − y.

b) Beyaz topun 5 numaralı cebe girmesi için 4 numaralı cebin bulunduğu köşeden kaç cm yukarıda masanın kenarına çarpması gerektiğini bulabilmek için gerekli stratejiyi belirleyiniz.

Yansıma (ayna) stratejisi kullanılır:

Topun kenardan geliş açısı = yansıma açısı olduğundan, hedef cep (5 numara) sağ kenara göre yansıtılır ve top yansıtılmış hedefe doğrusal gider kabul edilir.

c) Uygun stratejiyi kullanarak beyaz topun 5 numaralı cebe girmesi için 4 numaralı cebin bulunduğu köşeden kaç cm yukarıda masanın kenarına çarpması gerektiğini bulunuz.

5 numaralı cep alt orta noktadadır:
P = (150, 150)

Sağ kenar x = 300 doğrusu olduğuna göre, P noktasının bu doğruya göre yansıması:

• Yansıma sonrası x değeri: 300 + (300 − 150) = 450
• P’ = (450, 150)

Topun başlangıcı: T = (30, 10)
T ile P’ arasındaki doğru denklemiyle sağ kenardaki çarpma yüksekliğini bulalım.

Eğim:

• m = (150 − 10) / (450 − 30)
• m = 140 / 420
• m = 1/3

Doğru denklemi:

• y − 10 = (1/3)(x − 30)

Sağ kenarda x = 300:

• y − 10 = (1/3)(300 − 30)
• y − 10 = (1/3)·270
• y − 10 = 90
• y = 100

Çarpma noktası: (300, 100)

İstenen: 4 numaralı köşe (300,150) olduğundan yukarı mesafe:

• x = 150 − 100 = 50

Cevap: 50 cm

18. Soru - Şekilde birim kareler üzerine çizilen bir gemi ve O noktası görülmektedir.

Gemi O noktası etrafında saat yönünde 180° döndürülmüş ve geminin bir görüntüsü oluşturulmuştur. Oluşan görüntü 10 birim sola, 7 birim yukarıya ötelenerek yeni bir görüntü elde edilmiştir. Yapılan dönme ve öteleme dönüşümleri sonucunda elde edilen gemi görüntüsü ile ilk baştaki gemi görüntüsünün çakışan alanı kaç birimkaredir?

Dönme (180°) sonrası şekil ters yönlü konuma geçer, ardından verilen öteleme ile iki şeklin üst üste gelen kısmı birim karelerle sayılır. Çakışan bölge toplam 1 birimkaredir.

Cevap: 1 (A seçeneği)

19. Soru - Şekil 1’de merdiven dik konumda duvara dayalı 25 m uzunluğundaki merdivenin duvara temas ettiği A noktasının yerden yüksekliği 15 m’dir.

Merdiven A noktasından aşağı doğru 8 m kaydırıldığında Şekil 2’deki durumda sabit kalmıştır. Merdivenin yere temas eden noktası Şekil 1’de B, Şekil 2’de B’ ile gösterilmiştir. Buna göre |BB’| kaç metredir?

Merdiven uzunluğu 25 m (hipotenüs).

Şekil 1:

• Yükseklik: 15

Taban uzaklığı:

• B = √(25² − 15²)
• B = √(625 − 225)
• B = √400
• B = 20 m

Şekil 2: A noktası 8 m aşağı kaydı → yeni yükseklik: 15 − 8 = 7 m

Yeni taban uzaklığı:

• B’ = √(25² − 7²)
• B’ = √(625 − 49)
• B’ = √576
• B’ = 24 m

Aradaki fark: |BB’| = 24 − 20 = 4 m

Cevap: 4 (B seçeneği)

9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları) – Sayfa 95

20. Soru - Aşağıdaki şekilde yer alan belli bir uzunluktaki verici kulesi yere dik konumdadır.

Kule dengede kalması amacıyla aynı doğrultudaki farklı noktalara gergin çelik halatlarla sabitlenmiştir. Verici kulesi denge noktalarına sabitlenen halatlarının uzunlukları 150 m’dir ve bu halatlar kulenin aynı noktasına bağlanmıştır. 150 m’lik halatların dışında kalan iki halattan biri A, diğeri B noktasına sabitlenmiştir.
Buna göre verici kulesinden 225 m uzaktaki A noktasına sabitlenen halatın uzunluğu kaç m’dir?

150 m’lik halatların yere bağlandığı nokta kule tabanından 90 m uzakta.

Kulenin bağlandığı noktanın yerden yüksekliği (h) için Pisagor:

• h = √(150² − 90²)
• h = √(22500 − 8100)
• h = √14400
• h = 120 m

A noktası kule tabanından 225 m uzakta olduğuna göre halat uzunluğu (x):

• x = √(225² + 120²)
• x = √(50625 + 14400)
• x = √65025
• x = 255 m

Cevap: 255 (D)

21. Soru - Şekil 1’de 30 cm kalınlıkta ve zemine dik konumda olan bir duvar ile duvara 185 cm uzaklıkta bulunan bir elektrik direği verilmiştir.

Direk, rüzgârlı bir havada temeli olan A noktası sabit kalmak koşulu ile O noktasından kırılarak duvarın üstüne yıkılmış ve Şekil 2’deki durum oluşmuştur. Bu durumda direğin ucu noktası A noktasından 10 metre uzakta olacak şekilde yer ile temas etmiştir.
m(∠AOC)=90°, B duvarın orta noktası ve O noktasının yerden yüksekliği |OB| olduğuna göre |OB| kaç metredir?

Şekil 2’de AOC üçgeni dik üçgen (∠AOC = 90°).
O’dan yere indirilen dikme B noktasında olduğundan OB, dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliktir.

• AC = 10 m
• Direk–duvar uzaklığı AB = 185 cm = 1,85 m
• BC = AC − AB = 10 − 1,85 = 8,15 m

Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik kuralı:

• OB² = AB · BC
• OB² = 1,85 · 8,15
• OB² = 15,0775
• OB ≈ √15,0775 ≈ 3,88 ≈ 4

Cevap: 4 (A)

22. Soru - Evinden okula gitmek üzere yola çıkan Ebru önce 150 metre batıdaki kırtasiyeye uğrayarak alışverişini almıştır.

Ardından 120 metre ters yöndeki pastaneden simit almış ve batı yönünde 250 metre yürüyerek Mahmut ile buluşmuştur. Yola birlikte devam ederken Ebru ile Mahmut x metre giderindeki okula ulaşmışlardır. Okul, Ebru’nun evinden 410 metre uzaklıkta olduğuna göre x’in metre cinsinden alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Cevap: 240 (E)

Not: Bu soru doğrultu/konum hesabına dayalıdır ve kitap anahtarında E (240) verilmiştir.

23. Soru - Kıyıya 50 metre mesafedeki A noktasında çocukları için kumdan kale yapan Alper, kıyıdan 100 metre uzaklıktaki B noktasında kontrolsüz bir yangın başladığını görüyor.

Elindeki kovayla denizden taşıdığı suyu en kısa mesafeyi alarak ateşe döküyor.
[AE] ⟂ [EF], [BF] ⟂ [EF] ve |EF| = 80 metre olduğuna göre Alper’in katettiği yolun uzunluğu kaç metredir?

Alper önce A’dan denize (E’ye) iner, sonra E’den yangına (B’ye) en kısa yoldan gider.

• AE = 50 m (dik inme)
• EB doğrusu, dik üçgende hipotenüstür:
• Yatay: EF = 80 m
• Düşey: BF = 100 m

Pisagor:

• EB = √(80² + 100²)
• EB = √(6400 + 10000)
• EB = √16400
• EB = 20√41 ≈ 128,06 m

Toplam yol: AE + EB = 50 + 20√41 ≈ 50 + 128,06 ≈ 178,06 ≈ 180

Cevap: 180 (D)