9. Sınıf Matematik 1. Kitap (MEB Yayınları) Sayfa 75–77 – 25. Uygulama ve 17. Sıra Sizde Cevapları
25. Uygulama – Özdeşliklerin Cebirsel ve Geometrik Temsilleri
1. Soru
a) a, b birer pozitif gerçek sayı ve b < a olmak üzere (a + b)² ifadesinin eşitini gerçek sayılarda işlem özelliklerini kullanarak bulunuz.
Cevap: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Bu ifade iki terimin toplamının karesi özdeşliği olarak bilinir.
b) Aşağıda kenar uzunluğu (a + b) birim olan ABCD karesi verilmiştir. Kare 1, 2, 3, 4 numaralı dört bölüme ayrılmıştır.
Alanları cebirsel olarak ifade ediniz.
1. Bölüm: a²
2. Bölüm: ab
3. Bölüm: ab
4. Bölüm: b²
Toplam alan = a² + 2ab + b²
Yani ABCD karesinin alanı (a + b)²’ye eşittir.
c) Bulduğunuz cebirsel ifadeleri kullanarak a maddesindeki eşitliği doğrulayınız.
Cevap: Geometrik olarak elde edilen alan (a² + 2ab + b²), cebirsel olarak bulunan (a + b)²’ye eşittir.
Dolayısıyla eşitlik doğrudur.
2. Soru
a) a, b pozitif gerçek sayılar ve b < a olsun. (a − b)² ifadesinin eşitini gerçek sayılarda işlem özelliklerini kullanarak bulunuz.
Cevap: (a − b)² = a² − 2ab + b²
Bu ifade iki terimin farkının karesi özdeşliğidir.
b) (a − b)(a + b) ifadesinin eşitini gerçek sayılarda işlem özelliklerini kullanarak bulunuz.
Cevap: (a − b)(a + b) = a² − b²
Bu ifade iki terimin kareleri farkı özdeşliğidir.
c) Aşağıda kenar uzunluğu (a − b) birim olan EFGH karesi verilmiştir. Kare 1, 2, 3, 4 numaralı dört bölüme ayrılmıştır.
Bu bölümlerin alanlarını cebirsel olarak ifade ediniz.
Cevap:
1. Bölüm: a²
2. Bölüm: −ab
3. Bölüm: −ab
4. Bölüm: b²
Toplam alan = a² − 2ab + b²
Yani EFGH karesinin alanı (a − b)²’ye eşittir.
ç) a ve b maddelerinden elde edilen cebirsel ifadeleri kullanarak sonucu doğrulayınız.
Cevap: (a + b)² − (a − b)² = (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²)
= a² + 2ab + b² − a² + 2ab − b²
= 4ab
Yani (a + b)² − (a − b)² = 4ab özdeşliği doğrudur.
17. Sıra Sizde (Sayfa 76–77) Cevapları
1. Aşağıdaki ifadelerin özdeşliğini yazınız.
a) (x + 2)² = x² + 4x + 4
b) 9x² − 4 = (3x − 2)(3x + 2)
c) x² − 6x + 9 = (x − 3)²
ç) 2¹⁰ − 1 = (2⁵ − 1)(2⁵ + 1)
d) a > 0, (√a − 1)(√a + 1) = a − 1
e) (5x − 2y)² = 25x² − 20xy + 4y²
2.
(3x − 1/2)² = Ax² + Bx + C olduğuna göre,
A + B − C değerini bulunuz.
Çözüm:
(3x − 1/2)² = 9x² − 3x + 1/4
A = 9, B = −3, C = 1/4
A + B − C = 9 − 3 − 1/4 = 23/4
3.
(a + b)² − (a − b)² = 4ab özdeşliği veriliyor.
a) Cebirsel olarak gösteriniz.
(a + b)² − (a − b)²
= (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²)
= a² + 2ab + b² − a² + 2ab − b²
= 4ab
b) Geometrik olarak gösteriniz.
Kenar uzunluğu (a + b) birim olan kare beş parçaya ayrılır.
Ortadaki kare (a − b)², dış kısımdaki dört dikdörtgenin her biri ab alanına sahiptir.
Bu nedenle fark:
(a + b)² − (a − b)² = ab + ab + ab + ab = 4ab olur.
Bu sayfada (a + b)² = a² + 2ab + b²,
(a − b)² = a² − 2ab + b²
ve a² − b² = (a − b)(a + b) özdeşliklerinin hem cebirsel hem geometrik ispatı yapılmıştır.