9. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 64 Cevapları MEB Yayınları 2026-2027, 19. Uygulama “Sayı Kümelerinin Dört İşleme Göre Kapalılığını İnceleme” bölümünde doğal, tam, rasyonel ve gerçek sayı kümelerinin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalı olup olmadığını incelemektedir.
9. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 64 Cevapları
19. Uygulama: Sayı Kümelerinin Dört İşleme Göre Kapalılığını İnceleme
1. Soru: ℕ, ℤ, ℚ ve ℝ kümelerinden alınan herhangi iki elemanla yapılan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin sonucunun aynı kümede kalıp kalmamasıyla ilgili varsayımlarınızı oluşturunuz. Örnek Cevap:
ℕ: Toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; çıkarma ve bölmeye göre kapalı değildir.
ℤ: Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; bölmeye göre kapalı değildir.
ℚ: Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır. Sıfıra bölme hariç bölme işlemine göre de kapalıdır.
ℝ: Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır. Sıfıra bölme hariç bölme işlemine göre de kapalıdır.
ℕ: Toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; çıkarma ve bölmeye göre kapalı değildir.
ℤ: Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; bölmeye göre kapalı değildir.
ℚ: Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır. Sıfıra bölme hariç bölme işlemine göre de kapalıdır.
ℝ: Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır. Sıfıra bölme hariç bölme işlemine göre de kapalıdır.
2. Soru: Her sayı kümesinden iki eleman seçerek toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapınız. Cevap:
Önemli: Bir kümenin bir işleme göre kapalı olabilmesi için kümeden seçilen herhangi iki elemanla yapılan işlemin sonucunun yine aynı kümede kalması gerekir. Tek bir karşıt örnek, kümenin o işleme göre kapalı olmadığını göstermeye yeterlidir.
| Küme | Elemanlar | Toplama | Çıkarma | Çarpma | Bölme |
|---|---|---|---|---|---|
| ℕ | 4 ve 7 | 4 + 7 = 11 ∈ ℕ | 4 − 7 = −3 ∉ ℕ | 4 · 7 = 28 ∈ ℕ | 4 / 7 = 4/7 ∉ ℕ |
| ℤ | −3 ve 5 | −3 + 5 = 2 ∈ ℤ | −3 − 5 = −8 ∈ ℤ | −3 · 5 = −15 ∈ ℤ | −3 / 5 = −3/5 ∉ ℤ |
| ℚ | 2/3 ve 3/4 | 2/3 + 3/4 = 17/12 ∈ ℚ | 2/3 − 3/4 = −1/12 ∈ ℚ | 2/3 · 3/4 = 1/2 ∈ ℚ | (2/3) / (3/4) = 8/9 ∈ ℚ |
| ℝ | √2 ve √3 | √2 + √3 ∈ ℝ | √2 − √3 ∈ ℝ | √2 · √3 = √6 ∈ ℝ | √2 / √3 = √(2/3) ∈ ℝ |
2-a) Soru: Herhangi iki doğal sayının toplamı yine doğal sayı mıdır? Bu özellik başka hangi sayı kümelerinde geçerlidir? Kısa Cevap: Evet. Doğal sayılar toplama işlemine göre kapalıdır. Açıklama: a,b ∈ ℕ ise a + b ∈ ℕ olur. Toplama işlemine göre kapalılık özelliği ℤ, ℚ ve ℝ kümelerinde de geçerlidir.
2-b) Soru: Herhangi iki tam sayının farkı her zaman tam sayı mıdır? Bu özellik başka hangi sayı kümelerinde geçerlidir? Kısa Cevap: Evet. Açıklama: a,b ∈ ℤ ise a − b ∈ ℤ olur. Bu nedenle tam sayılar çıkarma işlemine göre kapalıdır. Aynı özellik ℚ ve ℝ kümelerinde de vardır; ancak ℕ kümesinde yoktur. Örneğin 4 − 7 = −3 ve −3 ∉ ℕ.
3. Soru: ℕ, ℤ, ℚ ve ℝ kümelerinin kapalılık özellikleriyle ilgili genellemelerinizi oluşturunuz. Cevap:
* Bölme işleminde bölenin sıfır olmaması gerekir.
| Sayı Kümesi | Toplama | Çıkarma | Çarpma | Bölme |
|---|---|---|---|---|
| ℕ | Kapalı | Kapalı değil | Kapalı | Kapalı değil |
| ℤ | Kapalı | Kapalı | Kapalı | Kapalı değil |
| ℚ | Kapalı | Kapalı | Kapalı | Kapalı* |
| ℝ | Kapalı | Kapalı | Kapalı | Kapalı* |
4. Soru: Sayı kümelerinin kapalılık özelliğine dair önermelerinizi oluşturunuz. Örnek Cevap:
1. ℕ kümesi toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır.
2. ℕ kümesi çıkarma ve bölme işlemlerine göre kapalı değildir.
3. ℤ kümesi toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; bölmeye göre kapalı değildir.
4. ℚ kümesi toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; sıfıra bölme hariç bölmeye göre de kapalıdır.
5. ℝ kümesi toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; sıfıra bölme hariç bölmeye göre de kapalıdır.
1. ℕ kümesi toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır.
2. ℕ kümesi çıkarma ve bölme işlemlerine göre kapalı değildir.
3. ℤ kümesi toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; bölmeye göre kapalı değildir.
4. ℚ kümesi toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; sıfıra bölme hariç bölmeye göre de kapalıdır.
5. ℝ kümesi toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır; sıfıra bölme hariç bölmeye göre de kapalıdır.
5. Soru: Gerçek sayıların alt kümesi olan bir A kümesi oluşturunuz. A kümesinin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalı olup olmadığını inceleyiniz. Örnek Küme: A = {2k | k ∈ ℤ}, yani çift tam sayılar kümesi olsun. Toplama: 2a + 2b = 2(a + b). a + b tam sayı olduğundan sonuç yine çift tam sayıdır. A toplama işlemine göre kapalıdır. Çıkarma: 2a − 2b = 2(a − b). Sonuç yine çift tam sayıdır. A çıkarma işlemine göre kapalıdır. Çarpma: (2a)(2b) = 4ab = 2(2ab). Sonuç yine çift tam sayıdır. A çarpma işlemine göre kapalıdır. Bölme: Çift sayıların bölümü her zaman çift tam sayı değildir. Örneğin;
2 / 4 = 1/2
ve 1/2 ∉ A olduğundan A bölme işlemine göre kapalı değildir.
2 / 4 = 1/2
ve 1/2 ∉ A olduğundan A bölme işlemine göre kapalı değildir.
6. Soru: Oluşturduğunuz önermeleri matematiksel olarak doğrulayınız ve kullandığınız yöntemi değerlendiriniz. ℕ: a,b ∈ ℕ için a + b ve ab yine doğal sayıdır. Ancak 4 − 7 = −3 ∉ ℕ ve 4/7 ∉ ℕ karşıt örnekleri, ℕ'nin çıkarma ve bölmeye göre kapalı olmadığını gösterir. ℤ: a,b ∈ ℤ için a + b, a − b ve ab yine tam sayıdır. Ancak 1/2 ∉ ℤ olduğundan ℤ bölme işlemine göre kapalı değildir. ℚ: a/b ve c/d rasyonel sayılar olsun. Paydalar sıfırdan farklı olmak üzere bu sayıların toplamı, farkı ve çarpımı yine iki tam sayının oranı biçiminde yazılabilir. Bölmede de ikinci sayı sıfır olmadığı sürece sonuç yine rasyoneldir. Bu nedenle ℚ dört işleme göre kapalıdır; yalnız sıfıra bölme tanımsızdır. ℝ: İki gerçek sayının toplamı, farkı ve çarpımı yine gerçektir. Bölen sıfır değilse iki gerçek sayının bölümü de gerçektir. Bu nedenle ℝ de dört işleme göre kapalıdır; sıfıra bölme yapılamaz. Değerlendirme: Kapalı olmayan bir işlemi göstermek için tek bir karşıt örnek yeterlidir. Kapalılığı göstermek için ise yalnız birkaç örnek değil, işlemin kümedeki herhangi iki eleman için geçerli olduğunu göstermek gerekir.
Açıklamalar ve Örnek Cevaplar
Bir kümenin bir işleme göre kapalı olması ne demektir?
Kümeden seçilen herhangi iki elemanla işlem yapıldığında sonucun yine aynı kümenin elemanı olması demektir.
Doğal sayılar neden çıkarma işlemine göre kapalı değildir?Örneğin 4 ve 7 doğal sayı olduğu hâlde 4 − 7 = −3 doğal sayı değildir. Tek bir karşıt örnek kapalılığın olmadığını göstermeye yeterlidir.
Rasyonel sayılar bölme işlemine göre kapalı mıdır?Bölen sıfır olmadığı sürece evet. İki rasyonel sayının bölümü yine rasyoneldir.
KİTABIN TÜM CEVAPLARI
9. Sınıf Matematik 1. ve 2. kitaptaki diğer konu, etkinlik ve sayfa cevaplarına 9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları MEB Yayınları ana sayfasından ulaşabilirsiniz.