9. Sınıf MEB Yayınları Matematik 1. Ders Kitabı
Sayfa 64 – 19. Uygulama Cevapları
Sayı Kümelerinin Dört İşleme Göre Kapalı Olma Özelliği İnceleme
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1. Soru: N, Z, Q, Q-{0}, R ve R-{0} kümelerinden alınan herhangi iki eleman ile yapılan bir işlemin (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) sonucunun aynı kümenin elemanı olup olmaması durumu ile ilgili varsayımlarımızı oluşturunuz.
- Doğal sayılar toplama ve çarpmaya göre kapalıdır, ancak çıkarma ve bölmeye göre kapalı değildir.
- Tam sayılar toplama, çıkarma ve çarpmaya göre kapalıdır, bölmeye göre değildir.
- Rasyonel sayılar toplama, çıkarma, çarpma ve 0’a bölme hariç bölmeye göre kapalıdır.
- Gerçek sayılar da toplama, çıkarma, çarpma ve 0’a bölme hariç bölmeye göre kapalıdır.
2. Soru: Tabloda verilen her bir küme için bu kümeye ait herhangi iki eleman seçiniz. Seçtiğiniz elemanlarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yaparak tabloyu doldurunuz.
| Küme | Elemanlar | Toplama | Çıkarma | Çarpma | Bölme |
|---|---|---|---|---|---|
| N | 4 ve 7 | 4 + 7 = 11 ∈ N | 4 - 7 = -3 ∉ N | 4 * 7 = 28 ∈ N | 4 ÷ 7 = 0.57 ∉ N |
| Z | -2 ve 5 | -2 + 5 = 3 ∈ Z | -2 - 5 = -7 ∈ Z | -2 * 5 = -10 ∈ Z | -2 ÷ 5 = -0.4 ∉ Z |
| Q | 1/2 ve 3/4 | 1/2 + 3/4 = 5/4 ∈ Q | 1/2 - 3/4 = -1/4 ∈ Q | 1/2 * 3/4 = 3/8 ∈ Q | 1/2 ÷ 3/4 = 2/3 ∈ Q |
| Q - {0} | 2/5 ve 3/5 | 2/5 + 3/5 = 1 ∈ Q | 2/5 - 3/5 = -1/5 ∈ Q | 2/5 * 3/5 = 6/25 ∈ Q | 2/5 ÷ 3/5 = 2/3 ∈ Q |
| R | √2 ve 3 | √2 + 3 ∈ R | √2 - 3 ∈ R | √2 * 3 ∈ R | √2 ÷ 3 ∈ R |
| R - {0} | 5 ve √2 | 5 + √2 ∈ R | 5 - √2 ∈ R | 5 * √2 ∈ R | 5 ÷ √2 ∈ R |
3. Soru: N, Z, Q, Q-{0}, R ve R-{0} kümelerinin kapalılık özelliği ile ilgili genellemelerinizi oluşturunuz.
- N kümesi toplama ve çarpmaya göre kapalıdır.
- Z kümesi toplama, çıkarma ve çarpmaya göre kapalıdır.
- Q kümesi toplama, çıkarma, çarpma ve 0’a bölme hariç bölmeye göre kapalıdır.
- R kümesi toplama, çıkarma, çarpma ve 0’a bölme hariç bölmeye göre kapalıdır.
4. Soru: Varsayımlarınızla genellemelerinizi karşılaştırarak N, Z, Q, Q-{0}, R ve R-{0} kümelerinin kapalılık özelliğine dair önermelerinizi oluşturunuz.
- N: Toplama ve çarpmada kapalıdır.
- Z: Toplama, çıkarma ve çarpmada kapalıdır.
- Q: 0’a bölme dışında tüm işlemlerde kapalıdır.
- R: 0’a bölme dışında tüm işlemlerde kapalıdır.
5. Soru: Oluşturduğunuz önermeler yardımıyla aşağıda verilen problemi çözünüz. Önermelerin problemin çözümünde ne tür kolaylıklar sağladığını ve başka hangi problem durumlarında kullanılabileceğini yazınız.
Problem: Gerçek sayıların alt kümesi olan bir A kümesi oluşturunuz. A kümesinin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalı olup olmadığını inceleyiniz.
Cevap: A = {1, 2, 3} kümesi seçilsin.
- 1 + 2 = 3 ∈ A (toplamada kapalı)
- 2 - 3 = -1 ∉ A (çıkarma işlemine göre kapalı değil)
- 2 × 3 = 6 ∉ A (çarpma işlemine göre kapalı değil)
- 3 ÷ 2 = 1,5 ∉ A (bölmede kapalı değil)
Sonuç olarak A kümesi yalnızca toplama işleminde kapalıdır.
6. Soru: Oluşturduğunuz önermeleri matematiksel olarak doğrulayınız ve doğrulama yöntemlerinizi kullanışlılık açısından değerlendiriniz.
Doğrulama işlemi karşıt örnek yöntemiyle yapılabilir.
Örneğin, doğal sayılar kümesinde 4 - 7 = -3 sonucu doğal sayı değildir. Bu nedenle çıkarma işlemine göre kapalı değildir.
Bu tür örneklerle her kümenin kapalı olduğu veya olmadığı işlemler belirlenebilir.