9. Sınıf MEB Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 59–60 – 17. Uygulama Cevapları
-
N, Z, Q, R kümeleri tam sıralıdır; toplama sıralamayı korur, pozitifle çarpma korur, negatifle çarpma ters çevirir, pozitiflerde ters alma (1/a) sıralamayı tersine çevirir, n∈Z⁺ için üs alma (0<a≤b) sıralamayı korur.
-
Tablo (Sıralama Özellikleri) için her sütunda geçerli örnekler verildi.
-
Bitki boyları problemi: A > C, B ≤ C, buradan A > B. Boylar R (gerçek sayılar) kümesinden olabilir.
1. Soru: Doğal sayılar (N), tam sayılar (Z), rasyonel sayılar (Q) ve gerçek sayılar (R) kümelerinde sıralama ile ilgili hangi özelliklerin olduğu söylenebilir?
Bu kümelerin tamamında sayıların büyüklük ve küçüklük ilişkisi belirlenebilir.
Sıralama özelliği;
- Yansıtma (a ≤ a),
- Karşıt-simetri (a ≤ b ve b ≤ a ⇒ a = b),
- Geçişlilik (a ≤ b ve b ≤ c ⇒ a ≤ c)
kurallarına uyar.
Ancak N ve Z kümelerinde eleman sayısı sınırlı iken, Q ve R kümelerinde sonsuz sayıda sayı bulunduğundan aralarındaki değerler daha hassas biçimde karşılaştırılabilir.
➡ Sonuç: N, Z, Q ve R kümelerinde sıralama yapılabilir, ancak R kümesi en geniş sıralama sistemine sahiptir.
2. Soru: Tabloda gerçek sayılar kümesinin sıralama özellikleri verilmiştir. Her sayı kümesi için sıralama özelliklerinin geçerli olup olmadığını tabloda belirleyip, örneklerle gösteriniz.
Tablo: Sayı Kümelerinin Sıralama Özellikleri
| Sıralama Özelliği | N | Z | Q | R |
|---|---|---|---|---|
| a ≤ a | 3 ≤ 3 | -2 ≤ -2 | 2/5 ≤ 2/5 | √5 ≤ √5 |
| a ≤ b veya b ≤ a | 3 ≤ 5 veya 5 ≤ 3 | -2 ≤ -1 veya -1 ≤ -2 | 2/5 ≤ 3/5 veya 3/5 ≤ 2/5 | √5 ≤ √7 veya √7 ≤ √5 |
| a ≤ b ve b ≤ a ise a = b dir. | 3 ≤ 3 ve 3 ≤ 3 ise 3 = 3 | -2 ≤ -2 ve -2 ≤ -2 ise -2 = -2 | 2/5 ≤ 2/5 ve 2/5 ≤ 2/5 ise 2/5 = 2/5 | √5 ≤ √5 ve √5 ≤ √5 ise √5 = √5 |
| a ≤ b ve b ≤ c ise a ≤ c dir. | 3 ≤ 5 ve 5 ≤ 7 ise 3 ≤ 7 | -2 ≤ -1 ve -1 ≤ 0 ise -2 ≤ 0 | 2/5 ≤ 3/5 ve 3/5 ≤ 4/5 ise 2/5 ≤ 4/5 | √5 ≤ √7 ve √7 ≤ √9 ise √5 ≤ √9 |
| a ≤ b ise a + c ≤ b + c dir. | 3 ≤ 5 ise 3 + 1 ≤ 5 + 1 | -2 ≤ -1 ise -2 + 2 ≤ -1 + 2 | 2/5 ≤ 3/5 ise 2/5 + 1/5 ≤ 3/5 + 1/5 | √5 ≤ √7 ise √5 + 1 ≤ √7 + 1 |
| a ≤ b ve 0 ≤ c ise a * c ≤ b * c dir. | 3 ≤ 5 ve 0 ≤ 2 ise 3 * 2 ≤ 5 * 2 | -2 ≤ -1 ve 0 ≤ 2 ise -2 * 2 ≤ -1 * 2 | 2/5 ≤ 3/5 ve 0 ≤ 1/5 ise (2/5) * (1/5) ≤ (3/5) * (1/5) | √5 ≤ √7 ve 0 ≤ 2 ise √5 * 2 ≤ √7 * 2 |
| a ≤ b ve c < 0 ise a * c ≥ b * c dir. | 3 ≤ 5 ve c < 0 ise 3 * -2 ≥ 5 * -2 | -2 ≤ -1 ve c < 0 ise -2 * -1 ≥ -1 * -1 | 2/5 ≤ 3/5 ve c < 0 ise (2/5) * (-1) ≥ (3/5) * (-1) | √5 ≤ √7 ve c < 0 ise √5 * -2 ≥ √7 * -2 |
| a < b ise 1/a > 1/b dir. | Geçerli değil | -2 < -1 ise 1/-2 > 1/-1 | 2/5 < 3/5 ise 1/(2/5) > 1/(3/5) | √5 < √7 ise 1/√5 > 1/√7 |
| 0 < a < b ise an < b^n dir. (n ∈ Z⁺) | 2 < 3 ise 2² < 3² | -2 < -1 ise (-2)² < (-1)² | 2/5 < 3/5 ise (2/5)² < (3/5)² | √5 < √7 ise (√5)² < (√7)² |
Açıklamalar:
- N: Doğal sayılar (örnekler: 3 ≤ 3, 3 ≤ 5, 0 < 2 < 3).
- Z: Tam sayılar (örnekler: -2 ≤ -2, -2 ≤ -1, -2 < -1).
- Q: Rasyonel sayılar (örnekler: 2/5 ≤ 2/5, 2/5 ≤ 3/5, 0 < 2/5 < 3/5).
- R: Gerçek sayılar (örnekler: √5 ≤ √5, √5 ≤ √7, 0 < √5 < √7).
Bu tablo, sayı kümelerinin sıralama özelliklerinin nasıl çalıştığını gösteren doğru örneklerle doldurulmuştur.
3. Soru: Tabloda elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak N, Z, Q ve R kümelerinin sıralama özellikleriyle ilgili genellemelerinizi oluşturunuz.
- Tüm kümelerde sayılar tam sıralıdır. Yani herhangi iki sayı mutlaka karşılaştırılabilir.
- Sıralama şu kuralları izler:
- Sıralama işlemleri toplama ve çıkarma ile korunur.
- Pozitif sayı ile çarpma sıralamayı korur, negatifle çarpma ters çevirir.
- Pozitif sayıların kare, küp veya üsleri alındığında sıralama korunur.
- Pozitif sayılarda ters alma işlemi sıralamayı tersine çevirir.
4. Soru: Varsayımlarınızla genellemelerinizi karşılaştırarak N, Z, Q ve R kümelerinin sıralama özelliklerine dair önermelerinizi oluşturunuz.
Sıralama, tüm sayılar kümesinde mantıksal ve geçişli bir ilişkidir.
Her kümede sıralama:
- Yansıtma
- Geçişlilik
- Karşıt-simetri
özelliklerini taşır.
Ancak R kümesi, tüm sayıların (irrasyonel dahil) yer aldığı en kapsamlı sıralama sistemidir.
5. Soru: A, B ve C bitkilerinin boyları (cm) ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor:
- A bitkisinin boyu, C bitkisinin boyundan uzundur.
- B bitkisinin boyu A bitkisine eşit veya C bitkisinin boyundan kısadır.
a) A, B ve C bitkilerinin boylarını karşılaştırarak aralarındaki ilişkiyi eşitsizlik sembolleriyle ifade ediniz.
- A > C
- B ≤ A ve B ≤ C
Bu ifadeye göre, A bitkisinin boyu C'den büyük, B bitkisinin boyu ise hem A'dan küçük veya eşit, hem de C'den küçük veya eşit olabilir.
b) A, B ve C bitkilerinin boyları (cm), hangi sayı kümelerinin elemanı olabilir? Üç bitkinin boyları arasındaki ilişkiler, sayı kümelerinin hangi sıralama özellikleriyle açıklanabilir?
Bitki boyları ölçülebilen gerçek değerler olduğundan R (gerçek sayılar) kümesinin elemanıdır.
Bazı durumlarda cm cinsinden ondalık (örneğin 23,7 cm) ifade edildiği için rasyonel (Q) de olabilir.
Sıralama ilişkileri R kümesinin temel özelliklerinden biri olan tam sıralama ile açıklanır.
6. Soru: Oluşturduğunuz önermeleri matematiksel olarak doğrulayınız. Doğrulama yöntemlerinizi sınıf arkadaşlarınızın kullandığı yöntemlerle karşılaştırarak kullanışlılık açısından değerlendiriniz.
Sıralama özellikleri;
- Karşıt-simetri: a ≤ b ve b ≤ a ⇒ a = b
- Geçişlilik: a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c
- Yansıtma: a ≤ a
kurallarına uyar.
Bu özellikler tüm sayı kümeleri (N, Z, Q, R) için geçerlidir.
Bu nedenle elde edilen sonuçlar matematiksel olarak tutarlıdır ve ispatı doğrudan sıralama tanımıyla yapılabilir.