Proje Ödevi: Doğrusal Fonksiyonlarla Büyüyen İki Bitki
Konu: Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler
Proje Ödevi
Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler
Bu projede sizden doğrusal fonksiyonlarla ifade edilebilen bir gerçek yaşam problemi belirlemeniz, belirlediğiniz problem için kullanılabilecek denklem veya eşitsizlikleri oluşturarak problemi çözmeniz, kullandığınız denklem ve eşitsizliklerin farklı problem durumlarında nasıl kullanılabileceğini belirlemeniz ve ödevinizi sınıfta sunmanız beklenmektedir.
Soru a) A bitkisi ile bir B bitkisi aynı anda dikiliyor. A bitkisi dikildiğinde 14 cm’dir ve her ay 6 cm uzamaktadır. B bitkisi dikildiğinde 30 cm’dir ve her ay 4 cm uzamaktadır. Buna göre:
Bitkilerin x. ay sonunda boylarını veren fonksiyon kurallarını bulunuz.
Cevap a):
- A bitkisinin başlangıç boyu 14 cm, her ay 6 cm uzar.
f(x) = 14 + 6x - B bitkisinin başlangıç boyu 30 cm, her ay 4 cm uzar.
g(x) = 30 + 4x
Sonuç:
A bitkisinin boy fonksiyonu: f(x) = 14 + 6x
B bitkisinin boy fonksiyonu: g(x) = 30 + 4x
Soru b) Kaçıncı ay sonunda bitkilerin boylarının eşit olacağını bulunuz.
Cevap b):
Boyların eşit olduğu durumu bulmak için:
f(x) = g(x)
14 + 6x = 30 + 4x
6x - 4x = 30 - 14
2x = 16
x = 8
Sonuç: 8. ay sonunda bitkilerin boyları eşit olur.
Soru c) A bitkisinin boyunun 74 cm’den az olduğu zaman aralığını bulunuz.
Cevap c):
f(x) < 74
14 + 6x < 74
6x < 74 - 14
6x < 60
x < 10
Sonuç: A bitkisinin boyu 10. aya kadar 74 cm’den azdır.
Soru ç) A ve B bitkilerinin boyundaki değişimi gösteren grafiği çiziniz ve boylarının kaç cm’de eşit olduğunu belirtiniz.
Cevap ç): Grafik çizilirken şu noktalar dikkate alınır:
- f(x) = 14 + 6x fonksiyonu ile A bitkisinin her ay nasıl büyüdüğü gösterilir.
- g(x) = 30 + 4x fonksiyonu ile B bitkisinin her ay nasıl büyüdüğü gösterilir.
Boyların eşit olduğu ay:
x = 8
Bu durumda:
f(8) = 14 + 6×8 = 62 cm
g(8) = 30 + 4×8 = 62 cm
Sonuç: 8. ayda her iki bitkinin boyu 62 cm olur.
Soru d) A ve B bitkilerinin boy farkının 12 cm’den az olduğu zaman aralığını bulun ve grafikte gösteriniz.
Cevap d): Boy farkını ifade eden denklem:
|f(x) - g(x)| < 12
|(14 + 6x) - (30 + 4x)| < 12
|14 - 30 + 6x - 4x| < 12
|-16 + 2x| < 12
Bu denklem iki durum için çözülür:
-16 + 2x < 12
2x < 28
x < 14
-(-16 + 2x) < 12
16 - 2x < 12
-2x < -4
x > 2
Sonuç: Boy farkı 12 cm’den az olduğu zaman aralığı 2 < x < 14 olarak bulunur.
Genel Değerlendirme
- Bu problem, doğrusal fonksiyonların doğa olaylarını ve büyüme süreçlerini modellemede ne kadar etkili olduğunu gösterir.
- f(x) ve g(x) doğruları, artış hızını ve denge noktasını açıkça ortaya koyar.
- Bu tür modeller; ekonomi, biyoloji, mühendislik gibi birçok alanda kullanılabilir.
9. Sınıf MEB Yayınları Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 157 Proje Ödevi Cevapları
Konu: Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler
Proje Konusu
Bu proje ödevi, doğrusal fonksiyonların günlük yaşam problemlerini nasıl modelleyebileceğini göstermek amacıyla hazırlanmıştır. Öğrencilerden, gerçek bir durum belirleyip buna uygun denklem ve eşitsizlikler kurmaları, ardından bu ilişkileri grafik üzerinde göstermeleri beklenmektedir.
Aşağıda, proje ödevine örnek olacak şekilde hazırlanmış bitki büyümesi problemi yer almaktadır.
Gerçek Yaşam Problemi: İki Bitkinin Büyüme Hızı Karşılaştırması
Verilen Bilgiler
-
A bitkisi: Dikildiğinde 14 cm, her ay 6 cm uzar.
-
B bitkisi: Dikildiğinde 30 cm, her ay 4 cm uzar.
Burada x, ay cinsinden zamanı göstermektedir.
a) Bitkilerin Boy Fonksiyonları
A bitkisi: f(x) = 14 + 6x
B bitkisi: g(x) = 30 + 4x
Bu doğrusal fonksiyonlar, her iki bitkinin zamanla düzenli olarak uzadığını ifade eder.
b) Bitkilerin Boylarının Eşit Olduğu Ay
f(x) = g(x)
14 + 6x = 30 + 4x
2x = 16 → x = 8
Sonuç: 8. ayın sonunda iki bitki de 62 cm boyuna ulaşır.
c) A Bitkisinin Boyunun 74 cm’den Az Olduğu Aylar
f(x) < 74
14 + 6x < 74
6x < 60 → x < 10
Sonuç: A bitkisi 10. aya kadar 74 cm’den kısadır.
ç) Grafiksel Gösterim
-
f(x)=14+6x doğrusu, A bitkisinin büyüme hızını temsil eder ve eğimi daha diktir.
-
g(x)=30+4x doğrusu, B bitkisinin daha yavaş büyümesini gösterir.
İki doğru (8, 62) noktasında kesişir; bu nokta bitkilerin eşit boya ulaştığı andır.
d) Boy Farkının 12 cm’den Az Olduğu Zaman Aralığı
|f(x) - g(x)| < 12
|(14 + 6x) - (30 + 4x)| < 12
|-16 + 2x| < 12
→ -12 < -16 + 2x < 12
→ 2 < x < 14
Sonuç: 2. ay ile 14. ay arasında iki bitkinin boy farkı 12 cm’den azdır.
Sonuç ve Değerlendirme
Bu proje, doğrusal fonksiyonların gerçek yaşam olaylarını matematiksel olarak nasıl temsil edebildiğini açıkça göstermektedir.
Fonksiyon denklemleri yardımıyla iki bitkinin büyümesi hem cebirsel hem grafiksel olarak modellenmiştir.
Matematiğin doğadaki düzeni anlamada ne kadar güçlü bir araç olduğu bu örnekle kanıtlanmıştır.