9. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 141-142 Cevapları (MEB Yayınları)
11. Uygulama – Denklem ve Eşitsizliklerin Çözümünde Kullanılan Stratejiler
Kısa Bilgi: Bu etkinlikte doğrusal fonksiyonların cebirsel, grafiksel ve sözel çözüm yöntemleri kullanılarak denklem ve eşitlik durumları analiz edilmektedir.
Verilen iki depo problemi üzerinden başlangıç miktarları, tükenme zamanı ve eşitlenme zamanı bulunur.
Denklem ve Eşitsizliklerin Çözümünde Kullanılan Stratejiler
Aşağıda verilen problemleri inceleyerek soruları cevaplayınız.
Yağmur suları, iki farklı parkta bulunan A ve B depolarında toplanarak güneşli havalarda çimlerin sulanması amacıyla kullanılmaktadır. A ve B depoları tamamen dolu iken sulama sistemi çalıştırılmış ve depolardaki su tükenene kadar sulamaya devam edilmiştir. Sulama sırasında birim zamanda kullanılan su miktarları sabittir. A ve B depolarında kalan su miktarları (l), zamana (sa.) bağlı olarak sırasıyla uygun aralıklarda tanımlı f ve g fonksiyonları ile ifade edilmiştir.
Problem 1: A ve B depolarında başlangıçta kaç litre su olduğunu ve depolardaki suyun tükendiği zamanı (sa.) bulunuz.
Cevap: Başlangıçta depolardaki su miktarları, verilen fonksiyonların sabit terimleridir.
Başlangıçta Depodaki Su Miktarları:
f(0) = 38,4 - 1,2 × 0 = 38,4 litre
g(0) = 30,4 - 0,8 × 0 = 30,4 litre
Suyun Tükendiği Zaman:
f(x) = 38,4 - 1,2x = 0
38,4 = 1,2x → x = 38,4 ÷ 1,2 = 32 saat
g(x) = 30,4 - 0,8x = 0
30,4 = 0,8x → x = 30,4 ÷ 0,8 = 38 saat
Problem 2: Depolarda kalan su miktarları birbirine eşit olduğunda kalan su miktarını ve eşitlenme zamanını bulunuz.
Cevap: Fonksiyonlar eşitlenir:
f(x) = g(x)
38,4 - 1,2x = 30,4 - 0,8x
8 = 0,4x
x = 20 saat
Kalan su miktarı:
f(x) = 38,4 - 1,2(20) = 38,4 - 24 = 14,4 litre
3. 1. problemi fonksiyonların cebirsel temsillerinden yararlanarak nasıl çözebilirsiniz? Çözüm stratejinizi açıklayarak problemi çözünüz.
Başlangıçtaki su miktarı:
Sonuç: Başlangıçta A deposunda 38,4 litre, B deposunda 30,4 litre su bulunmaktadır.
- f(x) fonksiyonunda başlangıçtaki su miktarını bulmak için x = 0 yerine yazılır:
f(0) = 38,4 - 1,2 * 0 = 38,4. - g(x) fonksiyonunda da aynı şekilde:
g(0) = 30,4 - 0,8 * 0 = 30,4.
Tükendiği zaman:
A deposu için f(x) = 0:
38,4 - 1,2x = 0
1,2x = 38,4
x = 32.
A deposu 32 saatte tükenir.
B deposu için g(x) = 0:
30,4 - 0,8x = 0
0,8x = 30,4
x = 38.
B deposu 38 saatte tükenir.
Sonuç: A deposu 32 saatte, B deposu 38 saatte tamamen tükenir. Cebirsel olarak fonksiyonların tükenme zamanı bu şekilde bulunur.
4. Matematik yazılımı yardımıyla f ve g fonksiyonlarına ait grafiklerin eksenleri kestiği noktaları bulunuz:
- f(x) doğrusunun x eksenini kestiği nokta: (32, 0)
- g(x) doğrusunun x eksenini kestiği nokta: (38, 0)
- f(x) ve g(x)’in kesişim noktası: (20, 14,4)
5. f ve g fonksiyonlarına ait grafiklerin eksenleri kestiği noktalardan yararlanarak 1. problemi nasıl çözebilirsiniz? Çözüm stratejinizi açıklayarak problemi çözünüz.
Grafikte x eksenini kestikleri noktalar suyun bittiği zamanı, y eksenini kestikleri noktalar ise başlangıçtaki su miktarını gösterir.
Bu noktalar incelenerek problem görsel olarak çözülebilir.
6. 1. problemin çözümünde kullandığınız yöntemleri karşılaştırarak çözümlerinizi doğrulayınız.
Cebirsel çözüm sayısal netlik sağlar, grafiksel çözüm ise görsel ilişkiyi gösterir.
Her iki yöntem de aynı sonucu verir.
7. 1. problemin çözümünde kullandığınız yöntemleri doğrusal fonksiyon içeren farklı problem durumları için nasıl kullanabilirsiniz? Genellemelerinizi oluşturunuz.
Her doğrusal fonksiyon için, başlangıç değeri sabit terim, tükenme zamanı ise fonksiyonun sıfır olduğu nokta olarak bulunabilir.
Örnek: f(x) = 50 – 3x → x = 16,67 saat’te tükenir.
8. Oluşturduğunuz genellemeyi sözel, cebirsel ve grafiksel olarak doğrulayınız.
- Sözel: Su miktarı her saat azalarak belli bir sürede tükenir.
- Cebirsel: Fonksiyonlar eşitlenerek veya sıfıra eşitlenerek çözülür.
- Grafiksel: Fonksiyonların kesiştiği veya ekseni kestiği noktalar çözümü gösterir.
9. 2. problemin fonksiyonların cebirsel temsillerinden yararlanarak nasıl çözebilirsiniz? Çözüm stratejinizi açıklayarak problemi çözünüz.
Çözüm:
Verilen iki fonksiyon:
f(x) = 38,4 - 1,2x
g(x) = 30,4 - 0,8x
Bu fonksiyonların eşit olduğu zaman:
38,4 - 1,2x = 30,4 - 0,8x
8 = 0,4x
x = 8 / 0,4 = 20 saat.
Sonuç: 20 saat sonra iki deponun su miktarları eşit olur.
10. Matematik yazılımı yardımıyla f ve g fonksiyonlarına ait grafiklerin kesim noktasını aşağıdaki adımları izleyerek bulunuz:
- Kesiştir aracını seçiniz.
- f(x) ve g(x) doğrularını işaretleyiniz.
- Kesişim noktası: (20, 14,4)
11. f ve g fonksiyonlarına ait grafiklerin kesim noktasından yararlanarak 2. problemi nasıl çözebilirsiniz? Çözüm stratejinizi açıklayarak problemi çözünüz.
Kesişim noktası, iki fonksiyonun eşit olduğu zamanı ve su miktarını gösterir.
Sonuç: 20. saatte 14,4 litre su kalır.
12. 2. problemin çözümünde kullandığınız yöntemleri karşılaştırarak çözümlerinizi doğrulayınız.
13. 2. problemin çözümünde kullandığınız yöntemleri doğrusal fonksiyon içeren farklı problem durumları için nasıl kullanabilirsiniz? Genellemelerinizi oluşturunuz.
Genelleme: İki doğrusal fonksiyon verildiğinde, bu fonksiyonların kesişim noktasını bulmak için eşitlik kurulabilir.
Örnek:
f(x) = 3x + 40
g(x) = -2x + 100
Bu iki fonksiyonu eşitleriz:
3x + 40 = -2x + 100
5x = 60
x = 12
Sonuç: x = 12, iki fonksiyonun kesişim noktasıdır. Bu yöntem tüm doğrusal fonksiyonlar için uygulanabilir.
14. Oluşturduğunuz genellemeyi sözel, cebirsel ve grafiksel olarak değerlendiriniz.
Doğrusal iki fonksiyonun kesişim noktası, iki durumun birbirine eşit olduğu anı ifade eder. Y eksenini kestiği değer başlangıcı, x ekseni üzerindeki kesişim noktası ise eşitlik zamanını belirtir.
Cebirsel: İki fonksiyon eşitlenerek çözüm yapılır. Örnek:
3x + 40 = -2x + 100
5x = 60, x = 12.
Grafiksel: Grafikte, f(x) ve g(x) fonksiyonları kesiştiği nokta, iki durumun eşit olduğu zaman ve değer bilgisini verir.