9. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 128 Cevapları (MEB Yayınları)
9. Uygulama – Gerçek Sayılarda f(x)=±|ax + b| ± c Şeklinde Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonlarının Grafikleri
a) f, g ve h fonksiyonlarının cebirsel ve grafik gösterimlerini inceleyiniz. f ile g, f ile h fonksiyonları arasında ne gibi benzerlik veya farklılıklar gözlemleyiniz.
- f(x) = ax + b, doğrusal bir fonksiyondur. Grafiği bir doğru şeklindedir.
- g(x) = |ax + b| + c, mutlak değerli bir fonksiyondur. Grafiği V şeklindedir ve tepe noktası (−b/a, c) noktasındadır.
- h(x) = |ax + b| − c, yine mutlak değerli bir fonksiyondur ancak grafiği V şeklindedir ve c kadar aşağıya kaymıştır.
Benzerlik: Üç fonksiyonun da temel yapısı “ax + b” biçimindedir.
Farklılık: g(x) ve h(x), f(x)’in mutlak değer alınıp dikeyde yukarı veya aşağı kaydırılmış hâlleridir.
b) f, g ve h fonksiyonlarının nitel özelliklerini tabloya yazınız.
| Fonksiyonun Nitel Özellikleri | f(x)=ax+b | g(x)=|ax+b|+c | h(x)=|ax+b|−c |
|---|---|---|---|
| En Geniş Tanım Kümesi | ℝ | ℝ | ℝ |
| Görüntü Kümesi | ℝ | [c, +∞) | [−c, +∞) |
| Fonksiyonun Sıfırı | x = −b/a | Yok (c > 0) | |ax+b|=c ⇒ x = (−b ± c)/a |
| Fonksiyonun İşareti | ax+b’nin işaretine bağlı | Pozitif (≥ c) | Hem − hem + alabilir (min: −c) |
| Maksimum Noktası | Yok | Yok | Yok |
| Minimum Noktası | Yok | (x=−b/a, c) | (x=−b/a, −c) |
| Bire Birlik | Bire bir | Bire bir değil | Bire bir değil |
| Artan / Azalan Aralıklar | a>0 → artan (tüm ℝ) | x<−b/a → azalan, x>−b/a → artan | x<−b/a → azalan, x>−b/a → artan |
c) Elde ettiğiniz nitel özelliklerden yararlanarak g ve h mutlak değer fonksiyonlarının parçalı gösterimine dair çıkarımlarınızı açıklayınız.
Cevap: Mutlak değerli fonksiyonlar, mutlak değerin tanımına göre parçalı biçimde yazılır:
g(x) = |ax + b| + c için:
g(x) =
{ ax + b + c, eğer ax + b ≥ 0
−(ax + b) + c, eğer ax + b < 0
h(x) = |ax + b| − c için:
h(x) =
{ ax + b − c, eğer ax + b ≥ 0
−(ax + b) − c, eğer ax + b < 0
Bu ifadeler, fonksiyonların x = −b/a noktasında yön değiştirdiğini ve grafiğin bu noktada simetri oluşturduğunu gösterir.
9. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 129 Cevapları (MEB Yayınları)
a) f, k ve t fonksiyonlarının cebirsel ve grafik gösterimlerini inceleyiniz. f ile k, f ile t fonksiyonları arasındaki benzerlikleri veya farklılıkları gözlemleyiniz.
- f(x) = ax + b doğrusal bir fonksiyondur ve grafiği bir doğru şeklindedir.
- k(x) = −|ax + b| + c fonksiyonu, mutlak değerin negatif işaretiyle x eksenine göre ters çevrilmiş bir V şeklindedir ve tepe noktası (−b/a, c) noktasındadır.
- t(x) = −|ax + b| − c fonksiyonu, yine ters çevrilmiş V şekline sahiptir, ancak c kadar aşağıya kaymıştır.
Benzerlik: Üç fonksiyon da aynı doğrusal temel yapı olan “ax + b” ifadesine dayanır.
Farklılık: k(x) ve t(x), f(x)’in mutlak değer alınıp ters çevrilmesi ve yukarı-aşağı yönde ötelenmesiyle oluşur.
b) f, k ve t fonksiyonlarının nitel özelliklerini tabloya yazınız.
| Fonksiyonun Nitel Özellikleri | f(x)=ax+b | k(x)=−|ax+b|+c | t(x)=−|ax+b|−c |
|---|---|---|---|
| En Geniş Tanım Kümesi | ℝ | ℝ | ℝ |
| Görüntü Kümesi | ℝ | (−∞, c] | (−∞, −c] |
| Fonksiyonun Sıfırı | x = −b/a | Yok (c > 0) | Yok (−c < 0) |
| Fonksiyonun İşareti | ax + b’nin işaretine bağlı | Daima ≤ c | Daima ≤ −c |
| Maksimum Noktası | Yok | Tepe noktası (−b/a, c) | Tepe noktası (−b/a, −c) |
| Minimum Noktası | Yok | Yok | Yok |
| Bire Birlik | Bire birdir | Bire bir değildir | Bire bir değildir |
| Artan / Azalan Aralıklar | a>0 → artan, a<0 → azalan | x<−b/a → artan, x>−b/a → azalan | x<−b/a → artan, x>−b/a → azalan |
c) Elde ettiğiniz nitel özelliklerden yararlanarak k ve t mutlak değer fonksiyonlarının parçalı gösterimlerine dair çıkarımlarınızı açıklayınız.
Cevap: Mutlak değerli fonksiyonlar, mutlak değerin tanımına göre parçalı olarak yazılır:
k(x) = −|ax + b| + c için:
k(x) =
{ −(ax + b) + c, eğer ax + b ≥ 0
ax + b + c, eğer ax + b < 0
t(x) = −|ax + b| − c için:
t(x) =
{ −(ax + b) − c, eğer ax + b ≥ 0
ax + b − c, eğer ax + b < 0
Bu fonksiyonlar, x = −b/a noktasında yön değiştirir ve grafik bu noktada simetrik bir biçim kazanır.