9. Sınıf Matematik Ders Kitabı MEB Yayınları Sayfa 120–123 Cevapları
Konu: Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları ve Nitel Özellikleri
9. Sınıf MEB Matematik 1. Kitap – Sayfa 120-121 Cevapları
Verilen bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1. Aşağıdaki görselde deniz seviyesinin altında ve üstünde yer alan A, B, C, D, E noktaları ile deniz seviyesine dik olarak modellenen bir k doğrusu verilmiştir.
- A noktası: -2 → |A| = 2
- B noktası: -1 → |B| = 1
- C noktası: 0 → |C| = 0
- D noktası: 3 → |D| = 3
- E noktası: 5 → |E| = 5
Her noktanın mutlak değeri, deniz seviyesinden olan uzaklığını ifade etmektedir.
a) Görselde verilen noktaların k doğrusunda karşılık geldiği sayı değerleri ile deniz seviyesine olan uzaklıklarını gösteren tabloyu doldurunuz.
| Nokta | A | B | C | D | E |
| Noktanın Konumunun k Doğrusunda Karşılık Geldiği Sayı | -2 | -3/2 | 4/5 | 3 | 5 |
| Noktanın Deniz Seviyesine Olan Uzaklığı (birim) | 2 | 3/2 | 4/5 | 3 | 5 |
b) Noktanın konumunun k doğrusundaki karşılığı bağımsız değişken, aynı noktanın deniz seviyesine olan mesafesi bağımlı değişken olsun.
Tablo 1’deki değerlerden yararlanarak k doğrusu üzerinde alınan herhangi bir x değerine karşılık gelen bağımlı değişkenin cebirsel ifadesini yazınız.
Cevap: Bağımsız değişken x, bağımlı değişken |x| olduğuna göre fonksiyon g(x) = |x| olur.
c) Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki bu ilişkiyi gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon olarak ifade ediniz.
Cevap: Fonksiyon gerçek sayılar kümesinde tanımlıdır.
g : R → [0, ∞), g(x) = |x|
ç) Grafik 1 ve elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak gerçek sayılarda g(x) = |x| şeklinde tanımlı fonksiyonun grafiğini çiziniz.
Cevap: Fonksiyonun grafiği “V” şeklindedir.
x < 0 iken y = -x, x ≥ 0 iken y = x olur.
Tepe noktası (0, 0)’dır.
2. Oluşturduğunuz g fonksiyonuna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Bağımsız değişkenin hangi değeri için bağımlı değişkenin sıfıra eşit olduğunu bulunuz.
Cevap: Bağımsız değişken x = 0 olduğunda, g(x) = 0’dır.
- Eğer x ≥ 0 ise g(x) = x, bu durumda bağımlı değişken pozitiftir.
- Eğer x < 0 ise g(x) = -x, bu durumda bağımlı değişken yine pozitiftir.
b) Bağımsız değişkenin hangi aralıktaki değerleri için bağımlı değişkenin aldığı değerlerin negatif veya pozitif olduğunu bulunuz.
Cevap: Mutlak değer her zaman sıfır veya pozitif olur.
Hiçbir zaman negatif olmaz.
Her x için |x| ≥ 0’dır.
c) Bağımlı değişkenin alabileceği en büyük veya en küçük değerin kaç olduğunu bulunuz.
Cevap: En küçük değer: 0
En büyük değer: Yoktur (g(x) → +∞)
Bağımlı değişkenin alabileceği en küçük değer 0'dır. Ancak bağımlı değişkenin en büyük değeri yoktur, çünkü g(x) = |x| fonksiyonunda üst sınır bulunmamaktadır.
ç) Bağımsız değişkenin aldığı değerler artarken g fonksiyonunun aldığı değerlerin nasıl değiştiğini belirleyiniz.
Cevap: Fonksiyonun davranışı şöyledir:
- x < 0 iken g(x) azalan,
- x > 0 iken g(x) artandır.
Tepe noktası (0, 0)’dır.
Eğer x >= 0 ise, bağımsız değişken x arttığında g(x) de artar.
Eğer x < 0 ise, bağımsız değişken x arttığında (yani sıfıra yaklaştığında) g(x) azalır.
d) Bağımsız değişkenin aldığı iki farklı değer için g fonksiyonunun aldığı değerlerin birbirinden farklı olup olmadığını inceleyiniz.
Bu durumun bağımsız değişkenin alabileceği tüm değerler için geçerli olup olmadığını açıklayınız.
Cevap: x = 2 ve x = -2 için g(x) = |x| = 2’dir.
Yani iki farklı x değeri için aynı y değeri bulunur.
Bu nedenle g(x) bire bir değildir.
9. Sınıf MEB Matematik 1. Kitap – Sayfa 122 Cevapları
e) f ve g fonksiyonlarının cebirsel ve grafiksel benzerliklerini, farklılıklarını gözlemleyiniz.
-
Benzerlikler: Her ikisinin de tanım kümesi R’dir; her ikisi de (0,0) noktasından geçer ve y-eksenine göre simetrik değildir.
-
Farklılıklar: f(x)=x doğru denklemdir, her yerde artandır ve görüntü kümesi R’dir.
g(x)=|x| “V” şeklindedir, x<0’da azalan, x>0’da artandır ve görüntü kümesi [0,∞)’dir.
f) Gözlemlerinizden yola çıkarak g fonksiyonunun nitel özelliklerini tespit ediniz ve Tablo 2’yi doldurunuz.
Tablo 2 – Fonksiyonların nitel özellikleri
| Fonksiyonun Nitel Özellikleri | f(x) = x | g(x) = |x| |
|---|---|---|
| En geniş tanım kümesi | ℝ | ℝ |
| Görüntü kümesi | ℝ | [0, ∞) |
| Fonksiyonun sıfırı | x = 0 | x = 0 |
| Fonksiyonun işareti | x < 0 → negatif, x > 0 → pozitif | x ≠ 0 → pozitif, x = 0 → 0 |
| Maksimum noktası | Yok | Yok |
| Minimum noktası | Yok | (0, 0) — en küçük değer 0 |
| Bire birliği | Bire bir | Bire bir değil |
| Artan / Azalan aralıklar | (-∞, ∞) artan | (-∞, 0) azalan; (0, ∞) artan |
g) Elde ettiğiniz nitel özelliklerden yararlanarak g mutlak değer fonksiyonunun parçalı gösterimine dair çıkarımlarınızı açıklayınız.
Cevap: Mutlak değer, sayının 0’a uzaklığıdır. Bu nedenle
g(x)=|x| = { x (x≥0), -x (x<0) }
yani parçalı fonksiyon olarak yazılır; bu da grafiğin V şeklinde olmasını açıklar.
3. g: R → R, g(x)=|x| şeklinde tanımlı fonksiyonda mutlak değerin katsayısı değiştirilerek gerçek sayılarda h(x)=−|x| şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonu oluşturuluyor. h fonksiyonuna göre:
a) Bağımsız değişkenin hangi değeri için bağımlı değişkenin sıfıra eşit olduğunu bulunuz.
Cevap: x=0 için h(0)=0 (tek kök 0).
b) Bağımsız değişkenin hangi aralıktaki değerleri için bağımlı değişkenin aldığı değerlerin negatif veya pozitif olduğunu bulunuz.
Cevap: x≠0 iken h(x)<0, hiçbir zaman pozitif olmaz; yalnız x=0’da 0’dır.
c) Bağımlı değişkenin alabileceği en büyük veya en küçük değerin kaç olduğunu bulunuz.
Cevap: Maksimum değer 0 (x=0’da). Minimum yok; (-∞)’ye iner.
ç) Bağımsız değişkenin aldığı değerler artarken h fonksiyonunun aldığı değerlerin nasıl değiştiğini belirleyiniz.
Cevap: x<0 aralığında h(x)=x olduğundan artan; x>0 aralığında h(x)=-x olduğundan azalan. Tepe (0,0).
d) Bağımsız değişkenin aldığı iki farklı değer için h fonksiyonunun aldığı değerler birbirinden farklı mıdır? Bu durumun bağımsız değişkenin alabileceği tüm değerler için geçerli olup olmadığını açıklayınız.
Cevap: Hayır. Örneğin x=2 ve x=-2 için h(x)=-2 elde edilir. Yani farklı iki x aynı y’yi verebilir; bu tüm x değerleri için geçerli bir durumdur. Bu nedenle h(x) bire bir değildir.
9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 123 Cevapları (MEB Yayınları)
Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları ve Nitel Özellikleri
e) Grafik 1 ve elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak gerçek sayılarda h(x) = −|x| şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonunun grafiğini Grafik 3 üzerinde gösteriniz.
Cevap: Grafik, y = −|x| şeklindedir. Bu fonksiyon V şeklinde, ancak aşağıya doğru açılmıştır.
Tepe noktası (0, 0) olup, fonksiyonun tüm değerleri negatif veya sıfırdır.
f) f ve h fonksiyonlarının cebirsel ve grafiksel benzerliklerini, farklılıklarını gözlemleyiniz.
Cevap: Benzerlikler: Her ikisi de tanım kümesi R olan doğrusal türde fonksiyonlardır. Her ikisi de (0, 0) noktasından geçer.
Farklılıklar:
- f(x) = x doğrudan artan bir doğrudur.
- h(x) = −|x| fonksiyonu ise mutlak değerin negatif katsayılı hâlidir; bu yüzden tepe noktası (0, 0) olup aşağıya doğru açılan V şeklindedir.
g) Gözlemlerinizden yola çıkarak h fonksiyonunun nitel özelliklerini tespit ediniz ve Tablo 3’ü doldurunuz.
Tablo 3 – Fonksiyonların Nitel Özellikleri
| Fonksiyonun Nitel Özellikleri | f(x) = x | h(x) = −|x| |
|---|---|---|
| En geniş tanım kümesi | ℝ | ℝ |
| Görüntü kümesi | ℝ | (−∞, 0] |
| Fonksiyonun sıfırı | x = 0 | x = 0 |
| Fonksiyonun işareti | x < 0 → negatif, x > 0 → pozitif | x ≠ 0 → negatif; x = 0 → 0 |
| Maksimum noktası | Yok | (0, 0) |
| Minimum noktası | Yok | Yok |
| Bire birliği | Bire bir | Bire bir değil |
| Artan / Azalan aralıklar | (−∞, ∞) artan | (−∞, 0) artan; (0, ∞) azalan |
ğ) Elde ettiğiniz nitel özelliklerden yararlanarak h mutlak değer fonksiyonunun parçalı gösterimine dair çıkarımlarınızı açıklayınız.
Cevap: Fonksiyonun tanımı parçalı biçimde yazılır:
h(x) = −|x| = { −x (x ≥ 0), x (x < 0) }
Bu gösterim, grafiğin aşağıya doğru açılan V şeklinde olmasını açıklar.
Özet:
- f(x) = x → her yerde artan doğru fonksiyonudur.
- g(x) = |x| → yukarı yönlü V grafiğidir.
- h(x) = −|x| → aşağı yönlü V grafiğidir.
Hepsi tanım kümesi R’de tanımlıdır ancak görüntü kümeleri farklıdır.