2026-2027 eğitim öğretim yılında kullanılan 11. Sınıf MEB Matematik Ders Kitabı'nın 97-101. sayfalarında dörtgenlerin köşegen uzunlukları, köşegenlerin birbirini bölme, ortalama, dik kesişme ve açıortay olma özellikleri incelenmektedir. Soruların çözümlerinde benzerlik, üçgen eşliği, Pisagor bağıntısı ve dörtgenlerin köşegen özelliklerinden yararlanılmıştır.
11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 97 Cevapları
Sıra Sizde 4
Soru: ABCD paralelkenarında D, E ve C noktaları doğrusal, AE ile BD doğru parçaları F noktasında kesişiyor. DE = EC, AF = 10 cm, DF = 4 cm, EF = x cm ve BF = y cm olduğuna göre x + y kaç cm'dir? Kısa Cevap: 13 cm Çözüm: DE = EC olduğundan E, DC kenarının orta noktasıdır. ABCD paralelkenarında AB ∥ DC olduğundan, ABE üçgeninde D noktası AB'ye paralel doğrultudaki kenarın orta noktası ilişkisini oluşturur ve kesişim noktası F, AE ve DB doğru parçalarını 2:1 oranında böler. AF = 10 cm olduğundan: AF / FE = 2 / 1 10 / x = 2 x = 5 cm Aynı şekilde: DF / FB = 1 / 2 4 / y = 1 / 2 y = 8 cm Buna göre: x + y = 5 + 8 = 13 cm.
6. Uygulama – Dörtgenlerin Köşegenleri Arasındaki İlişkiyi Bulma
Soru 1: Dörtgenlerin köşegen özelliklerine ilişkin varsayımlarınızı yazınız. Örnek Cevap: Özel dörtgenlerde köşegenlerin uzunlukları, birbirlerini bölme biçimleri, dik kesişmeleri ve açıortay olmaları farklılık gösterir. Örneğin dikdörtgende köşegenler eşit ve birbirini ortalarken eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik keser, ortalar ve iç açıları iki eş parçaya ayırır.
11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 98-99 Cevapları
Soru 2: Matematik yazılımındaki çalışmadan yararlanarak Tablo 1'i doldurunuz.
| Dörtgen Türü | Köşegen Uzunlukları Eşit | Köşegenler Birbirini Oranlı Böler | Köşegenler Birbirini Ortalar | Köşegenler Dik Kesişir | Köşegenler İç Açıortaydır |
|---|---|---|---|---|---|
| Dörtgen | — | — | — | — | — |
| Yamuk | — | ✓ | — | — | — |
| İkizkenar yamuk | ✓ | ✓ | — | — | — |
| Dik yamuk | — | ✓ | — | — | — |
| Paralelkenar | — | ✓ | ✓ | — | — |
| Eşkenar dörtgen | — | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Dikdörtgen | ✓ | ✓ | ✓ | — | — |
| Kare | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
Soru 3: Tablodan elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak dörtgenlerin köşegen özelliklerini genelleyiniz. Örnek Cevap: • İkizkenar yamuk, dikdörtgen ve karenin köşegen uzunlukları eşittir.
• Yamuklarda köşegenler birbirini taban uzunluklarıyla ilişkili oranlarda böler.
• Paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve karede köşegenler birbirini ortalar.
• Eşkenar dörtgen ve karede köşegenler dik kesişir.
• Eşkenar dörtgen ve karede köşegenler köşe açılarını iki eş parçaya ayırır.
• Yamuklarda köşegenler birbirini taban uzunluklarıyla ilişkili oranlarda böler.
• Paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve karede köşegenler birbirini ortalar.
• Eşkenar dörtgen ve karede köşegenler dik kesişir.
• Eşkenar dörtgen ve karede köşegenler köşe açılarını iki eş parçaya ayırır.
Soru 4: Dörtgenlerin köşegenleri arasındaki ilişkilere ait önermelerinizi yazınız. Örnek Cevap: “Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar.”, “Dikdörtgenin köşegenleri eşit uzunluktadır.”, “Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik keser ve açıortaydır.” ve “Karenin köşegenleri eşit, birbirine dik ve açıortaydır.” önermeleri yazılabilir.
11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 99 Cevapları
Soru 5: ABCD karesinde BD köşegeni üzerinde E noktası bulunuyor. m(BCE) = 15° ve CE = 60 cm olduğuna göre karenin çevresinde kullanılan ipin uzunluğunu bulunuz. Kısa Cevap: 120√6 cm Çözüm: Karenin köşegeni köşe açılarını iki eş parçaya ayırdığından: m(CBE) = 45° Üçgen BCE'de: m(BCE) = 15° olduğundan: m(BEC) = 180° - 45° - 15° = 120° Sinüs teoreminden: BC / sin120° = CE / sin45° BC / (√3/2) = 60 / (√2/2) BC = 30√6 cm Karenin çevresi: 4 · 30√6 = 120√6 cm.
11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 100 Cevapları
Soru 6: Köşegenleri dik kesişen herhangi bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamının birbirine eşit olduğunu ispatlayınız. Çözüm: ACBD dörtgeninde AB ve CD köşegenleri E noktasında dik kesişsin. Kenar uzunlukları: AC = a, BD = b, CB = c ve AD = d olsun. Oluşan dik üçgenlerde Pisagor bağıntısından: a² = AE² + CE² b² = BE² + DE² c² = BE² + CE² d² = AE² + DE² olur. İlk iki eşitlik toplanırsa: a² + b² = AE² + BE² + CE² + DE² Son iki eşitlik de toplandığında: c² + d² = AE² + BE² + CE² + DE² elde edilir. Bu nedenle: a² + b² = c² + d² olur. Matematik yazılımında köşeler hareket ettirilse bile köşegenler dik kaldığı sürece bu iki toplamın eşit kaldığı gözlemlenir.
Soru 7: Elde ettiğiniz önermelerden birini benzer biçimde ispatlayınız ve yöntemi değerlendiriniz. Örnek Cevap: Paralelkenarın köşegenlerinin birbirini ortaladığını ispatlayabiliriz. Çözüm: ABCD paralelkenarında AC ve BD köşegenleri E noktasında kesişsin. AB ∥ CD olduğundan iç ters açılar eşittir. Ayrıca paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit olduğundan AB = CDdir. ABE ve CDE üçgenleri eş olduğundan: AE = EC ve BE = ED elde edilir. Buna göre paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar. Değerlendirme: Dörtgeni üçgenlere ayırıp üçgen eşliğinden yararlanmak, köşegen özelliklerini kısa ve anlaşılır biçimde ispatlamayı sağlar.
11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 101 Cevapları
Soru 8-a: C noktasının sondaj kulesinin en üstündeki F noktasına uzaklığı Pisagor bağıntısı kullanılarak nasıl hesaplanabilir? Kısa Cevap: CF = 19 metre Çözüm: İskele denizden 4 metre yüksekte, draft ise 16 metre olduğundan: ED = 4 + 16 = 20 m ADE dik üçgeninde: AD = 20√10 m olduğundan: AE² + ED² = AD² AE² + 20² = (20√10)² AE² = 3600 AE = 60 m ACE dik üçgeninde AC = 75 m olduğundan: CE² = 75² - 60² CE² = 2025 CE = 45 m Sondaj kulesinin yüksekliği EF = 64 m olduğuna göre: CF = EF - EC = 64 - 45 = 19 m.
Soru 8-b: C noktasının F noktasına uzaklığını 6. maddede verilen dörtgen özelliğini kullanarak bulunuz. Kısa Cevap: 19 metre Çözüm: AB ve CD köşegenleri dik olduğundan 6. maddede ispatlanan özellik uygulanır: AC² + BD² = BC² + AD² 75² + BD² = (5√145)² + (20√10)² 5625 + BD² = 3625 + 4000 BD² = 2000 ED = 20 m olduğundan BDE dik üçgeninde: BE² = BD² - ED² BE² = 2000 - 400 = 1600 BE = 40 m BEC dik üçgeninde: CE² = BC² - BE² CE² = (5√145)² - 40² CE² = 3625 - 1600 = 2025 CE = 45 m Sonuç: CF = 64 - 45 = 19 m.
Soru 8-c: a ve b maddelerindeki çözümleri karşılaştırarak dörtgen özelliğini kullanmanın sağladığı kolaylığı açıklayınız. Örnek Cevap: Her iki yöntemde de sonuç 19 metre bulunur. Pisagor yöntemiyle birkaç dik üçgen ayrı ayrı incelenirken, 6. maddede elde edilen AC² + BD² = BC² + AD² bağıntısı dörtgenin kenarları arasındaki ilişkiyi doğrudan kullanmayı sağlar. Böylece problem daha sistemli biçimde çözülebilir.
KİTABIN TÜM CEVAPLARI
Bütün sayfalara ait güncel cevap ve çözümleri 11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları MEB Yayınları sayfasından inceleyebilirsiniz.
11. Sınıf Matematik Sayfa 97-101 Hakkında Sıkça Sorulan Sorular
Paralelkenarın köşegenleri birbirini nasıl böler?Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin özellikleri nelerdir?Karenin köşegenleri nasıldır?
Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar; yani kesişim noktası her iki köşegeni de iki eş parçaya ayırır.
Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini ortalar, dik kesişir ve köşe açılarını iki eş parçaya ayırır.
Karenin köşegenleri eşit uzunluktadır, birbirini ortalar, dik kesişir ve iç açıortaydır.