2026-2027 eğitim öğretim yılında kullanılan 11. Sınıf MEB Matematik Ders Kitabı'nın 84-90. sayfalarında dörtgenlerde açı ve açıortay özellikleri ele alınmaktadır. Çözümlerde dörtgenlerin iç açıları toplamı, açıortaylar, yansıma ve matematiksel ispatlardan yararlanılmaktadır.
11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 84 Cevapları
Sıra Sizde 2
Soru: ABCD dörtgeninde E, D, C ve F, B, C noktaları doğrusaldır. m(ADE) = 30°, m(DAB) = 80° ve m(ABF) = 110° olduğuna göre m(FCE)'yi bulunuz. Kısa Cevap: 60° Çözüm: E, D ve C doğrusal olduğundan: m(ADC) = 180° - 30° = 150° F, B ve C doğrusal olduğundan: m(ABC) = 180° - 110° = 70° Dörtgenin iç açıları toplamı 360°'dir: 80° + 70° + 150° + m(BCD) = 360° m(BCD) = 60° CF ve CB aynı, CE ve CD aynı doğrultuda olduğundan: m(FCE) = 60°.
3. Uygulama – Dörtgenlerde Açıortay Yardımıyla Elde Edilen Açı Özellikleri-1
11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 85 Cevapları
Soru 1: ABCD dörtgeninde BAD, ADC ve BEC açıları arasındaki ilişkiye dair varsayımınızı yazınız. Kısa Cevap: m(BEC) = [m(BAD) + m(ADC)] / 2 Detaylı Cevap: B ve C köşelerindeki iç açıların açıortayları E noktasında kesiştiğinde, bu açıortayların oluşturduğu BEC açısının ölçüsü diğer iki iç açının, yani A ve D açılarının toplamının yarısına eşittir.
Soru 2: Matematik yazılımından elde edilen değerlerle Tablo 1'i doldurunuz. Kısa Cevap: Kitaptaki örnek satırda m(BAD) = 92°, m(ADC) = 112° ve m(BEC) = 102° verilmiştir. Kontrol: (92° + 112°) / 2 = 102°. Diğer satırlardaki sayısal değerler dörtgenin köşeleri hareket ettirildikçe değişebilir; değişmeyen ilişki m(BEC) = [m(BAD) + m(ADC)] / 2 bağıntısıdır.
Soru 3: Tablodaki örüntüyü genelleyiniz. Kısa Cevap: Komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açı, diğer iki iç açının toplamının yarısına eşittir.
Soru 4: BAD, ADC ve BEC açılarına ilişkin önermenizi yazınız. Örnek Cevap: ABCD dörtgeninde B ve C açılarının iç açıortayları E noktasında kesişiyorsa m(BEC) = [m(BAD) + m(ADC)] / 2 olur.
Soru 5: ABCD dörtgeninde A, E ve F noktaları doğrusaldır. AF ve BE iç açıortay, m(BCD) = 110° ve m(BEF) = 80° olduğuna göre m(ADC)'yi bulunuz. Kısa Cevap: 90° Çözüm: A, E ve F doğrusal olduğundan: m(AEB) = 180° - 80° = 100° A ve B açılarının açıortayları E'de kesiştiği için: m(AEB) = [m(BCD) + m(ADC)] / 2 100° = (110° + m(ADC)) / 2 200° = 110° + m(ADC) m(ADC) = 90°.
11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 86 Cevapları
Soru 6: Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açının, diğer iki iç açının toplamının yarısına eşit olduğunu ispatlayınız. Çözüm: A, B, C ve D dörtgenin iç açıları; E ise A ve B açıortaylarının kesişim noktası olsun. ABE üçgeninden: m(AEB) + A/2 + B/2 = 180° Dörtgenin iç açıları toplamından: A + B + C + D = 360° Her iki tarafı 2'ye bölersek: A/2 + B/2 + C/2 + D/2 = 180° İki eşitlik karşılaştırıldığında: m(AEB) = C/2 + D/2 yani: m(AEB) = (C + D) / 2 elde edilir.
Soru 7: Elde ettiğiniz önermelerden birini benzer yöntemle ispatlayınız. Örnek Cevap: C ve D açılarının açıortayları bir noktada kesişirse oluşan açı (A + B) / 2 olur. Çözüm: Aynı yöntem C ve D açılarının oluşturduğu üçgene uygulanır. Dörtgenin iç açıları toplamı 360° olduğundan komşu açıların yarılarının toplamı ile kalan iki açının yarılarının toplamı birbirini tamamlar. Böylece açıortayların oluşturduğu açının diğer iki iç açının toplamının yarısına eşit olduğu görülür.
11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 87 Cevapları
Soru 8: Katlama sonucunda oluşan BKMC dörtgeninde m(BKM) = 80° ve m(KMC) = 110° olduğuna göre m(BAC)'yi bulunuz. Kısa Cevap: 95° Çözüm: Kâğıt AB boyunca katlandığı için AB, B köşesindeki açının açıortayıdır. AC boyunca katlandığı için AC, C köşesindeki açının açıortayıdır. BKMC dörtgeninde diğer iki açı: 80° + 110° = 190° olduğundan B ve C açılarının toplamı: 360° - 190° = 170° AB ve AC bu açıları iki eş parçaya böldüğü için ABC üçgeninde B ve C açıları toplamı: 170° / 2 = 85° olur. Üçgenin iç açıları toplamından: m(BAC) = 180° - 85° = 95°.
4. Uygulama – Dörtgenlerde Açıortay Yardımıyla Elde Edilen Açı Özellikleri-2
11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 88 Cevapları
Soru 1: BAD, BCD ve DEF açıları arasındaki ilişkiye dair varsayımınızı yazınız. Kısa Cevap: m(DEF) = |m(BAD) - m(BCD)| / 2 Detaylı Cevap: Dörtgenin karşılıklı iki iç açısının açıortaylarının oluşturduğu dar açı, diğer karşılıklı iki iç açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.
Soru 2: Tablo 1'i matematik yazılımından elde edilen sonuçlarla doldurunuz. Kısa Cevap: Kitaptaki örnek satırda m(BAD) = 137°, m(BCD) = 57° ve m(DEF) = 40° verilmiştir. Kontrol: |137° - 57°| / 2 = 80° / 2 = 40°. Diğer satırların sayısal değerleri şekil değiştikçe değişebilir; temel ilişki değişmez.
Soru 3: Tablodan elde ettiğiniz örüntüyü genelleyiniz. Kısa Cevap: Karşı iki iç açının açıortayları arasındaki dar açı, diğer iki karşı açının farkının yarısına eşittir.
Soru 4: BAD, BCD ve DEF açılarına ilişkin önermenizi yazınız. Örnek Cevap: m(DEF) = |m(BAD) - m(BCD)| / 2
Soru 5: m(BCD) = x + 16°, m(BAD) = 3x - 20° ve m(BED) = 170° olduğuna göre x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz. Kısa Cevap: 36 Çözüm: D, E ve K doğrusal olduğundan BED açısının bütünleri olan dar açı: 180° - 170° = 10° olur. Karşı açıların açıortayları arasındaki dar açı bağıntısından: |(3x - 20) - (x + 16)| / 2 = 10 |2x - 36| / 2 = 10 |x - 18| = 10 Buradan: x = 8 veya x = 28 olur. İstenen toplam: 8 + 28 = 36.
11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 89 Cevapları
Soru 6: Bir dörtgende karşı iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu dar açının, diğer iki iç açının farkının mutlak değerinin yarısına eşit olduğunu ispatlayınız. Çözüm: A, B, C ve D dörtgenin iç açıları, θ ise karşı açıortayların oluşturduğu dar açı olsun. İlgili üçgenlerden: B/2 + θ + C + D/2 = 180° eşitliği elde edilir. Dörtgenin iç açıları toplamının yarısı: A/2 + B/2 + C/2 + D/2 = 180° olduğuna göre iki eşitlik karşılaştırılır: θ + C = A/2 + C/2 θ = (A - C) / 2 Dar açı pozitif alınacağından sonuç: θ = |A - C| / 2 olur.
Soru 7: Elde ettiğiniz önermelerden birini benzer yöntemle ispatlayınız. Örnek Cevap: Komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açının, diğer iki iç açının toplamının yarısına eşit olduğu ispatlanabilir. Çözüm: A ve B iç açılarının açıortayları E'de kesişsin. ABE üçgeninden: m(AEB) + A/2 + B/2 = 180° Dörtgenin açı toplamından: A/2 + B/2 = 180° - (C + D)/2 olduğundan: m(AEB) = (C + D)/2 elde edilir.
11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 90 Cevapları
Soru 8-a: Dörtgenin açı özelliklerinden yararlanılarak COK açısının ölçüsü bulunabilir mi? Kısa Cevap: Evet; açıortay özellikleriyle birlikte bulunabilir. Detaylı Cevap: Yalnızca dörtgenin iç açıları toplamını bilmek yeterli değildir. Ancak A ve C köşelerinden geçen caddelerin iç açıortay olduğu bilgisi kullanıldığında, karşı açıortaylar arasındaki dar açı bağıntısından COK açısı hesaplanabilir.
Soru 8-b: m(ABC) = 70° ve m(ADC) = 110° olduğuna göre m(COK)'yi bulunuz. Kısa Cevap: 20° Çözüm: Karşı iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu dar açı: |m(ABC) - m(ADC)| / 2 olur. m(COK) = |70° - 110°| / 2 m(COK) = 40° / 2 = 20°.
Soru 8-c: 6. maddede verilen önermenin kullanılmasının sağladığı kolaylığı değerlendiriniz. Örnek Cevap: Önerme kullanıldığında A ve C açılarının ölçülerini ayrı ayrı bulmaya gerek kalmadan, bilinen 70° ve 110° açıları doğrudan kullanılarak sonuç kısa yoldan elde edilir. Böylece çözüm daha hızlı ve düzenli olur.
KİTABIN TÜM CEVAPLARI
Bütün sayfalara ait güncel cevap ve çözümleri 11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları MEB Yayınları sayfasından inceleyebilirsiniz.
11. Sınıf Matematik Sayfa 84-90 Hakkında Sıkça Sorulan Sorular
Komşu iki açının açıortaylarının oluşturduğu açı nasıl bulunur?Karşılıklı açıların açıortayları arasındaki dar açı nasıl bulunur?Dörtgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?
Komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açı, diğer iki iç açının toplamının yarısına eşittir.
Dar açı, diğer iki karşı iç açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.
Dörtgenin iç açıları toplamı 360°dir.