21. Uygulama – Ek Çizimler Yardımıyla Uzunluk Bulma ve Sinüs Teoremi
Soru 1
Bir arsada, A–B–C noktalarıyla oluşturulan üçgenin kenar uzunluklarını bulmak için optik yöntem kullanılmaktadır.
A açısı 64°, C açısı 37°, AB kenarı 200 metredir.
Soru:
Bu bilgilerle B ve C noktaları arasına çekilecek şeridin uzunluğu bulunabilir mi?
Cevap:
Evet, bulunabilir. Üçgene A noktasından BC kenarına dikme indirilerek yüksekliği h buluruz:
sin 64° = h / 200
h = 200 × 0.9 = 180 m
Daha sonra sin 37° = h / x bağıntısından
x = 180 / 0.6 = 300 m
Sonuç: BC kenarı 300 metredir.
Soru 2
Soru: Bu problemi Sinüs Teoremi kullanarak çözünüz.
Cevap: Sinüs teoremi formülü: a / sin A = b / sin B = c / sin C
Bu üçgene göre:
x / sin 64° = 200 / sin 37°
x = 200 × sin 64° / sin 37°
x = 200 × 0.9 / 0.6 = 300 m
Sonuç: Sinüs teoremiyle de BC uzunluğu 300 metre olarak bulunur.
Soru 3
Soru: Çocuk parkı inşaatı için B ve C noktaları arasına çekilecek şeridin uzunluğu kaç metredir?
Cevap: Yukarıdaki hesaplamalara göre B ve C noktaları arasındaki mesafe 300 metredir.
22. Uygulama – Sinüs Teoreminin Üçgen Çeşitlerine Uygulanması
1. Soru
Verilen: KLM dik üçgeninde
m(∠MKL) = 90°, m(∠KML) = 37°, |LM| = 10 birimdir.
(sin 37° ≈ 0.6, sin 53° ≈ 0.8)
a) Trigonometrik oranlarla KL ve KM kenar uzunluklarını bulunuz.
sin 37° = KL / 10 → 0.6 = KL / 10 → KL = 6 birim
sin 53° = KM / 10 → 0.8 = KM / 10 → KM = 8 birim
b) Sinüs teoremini kullanarak KL ve KM uzunluklarını bulunuz.
x / sin 37° = 10 / sin 90° → x / 0.6 = 10 / 1 → x = 6 birim
y / sin 53° = 10 / sin 90° → y / 0.8 = 10 / 1 → y = 8 birim
???? Sonuç:
Üçgende KL = 6 birim, KM = 8 birim bulunur.
2. Soru
Verilen: PNR üçgeninde m(∠NPR) = m(∠NRP) = 30°, |PR| = 8√3 birimdir.
a) Ek çizim yaparak PN kenarını bulunuz.
Bu üçgen bir ikizkenar üçgendir. Tepe noktasından dik inildiğinde iki eş dik üçgen oluşur.
Her biri 30°–60°–90° üçgenidir.
Bu üçgenlerde kısa kenar × √3 = uzun kenar bağıntısından:
PN = 8√3 / √3 = 8 birim
b) Sinüs teoremiyle PN kenarını bulunuz.
x / sin 30° = 8√3 / sin 120°
x / 0.5 = 8√3 / 0.87 → x ≈ 8 birim
Sonuç: Her iki yöntemle de PN = 8 birim bulunur.
3. Soru
Verilen: ABC üçgeninde m(∠ABC) = 48°, m(∠ACB) = 58°, |BC| = 48 birimdir.
(sin 48° ≈ 0.74, sin 58° ≈ 0.84, sin 74° ≈ 0.96)
a) Ek çizimle AB ve AC kenar uzunluklarını bulunuz.
sin 58° = h / 48 → h = 48 × 0.84 = 40.32
sin 74° = h / AB → 0.96 = 40.32 / AB → AB = 42 birim
sin 48° = h / AC → 0.74 = 40.32 / AC → AC = 54 birim
b) Sinüs teoremiyle AB ve AC kenar uzunluklarını bulunuz.
AB / sin 58° = 48 / sin 74°
AB = (48 × 0.84) / 0.96 = 42 birim
AC / sin 48° = 48 / sin 74°
AC = (48 × 0.74) / 0.96 = 37 birim
Sonuç: Sinüs teoremi ile AB = 42 birim, AC = 37 birim bulunur.
4. Soru
Soru: Sinüs teoremi her üçgen türü için geçerli midir?
Cevap: Evet, sinüs teoremi her tür üçgende (dik, dar veya geniş açılı) geçerlidir.