20. Uygulama – Farklı Bir Alan Bağıntısı Oluşturma (Sayfa 72–73)
1. Soru:
Üçgenin herhangi bir yüksekliği sinüs yardımıyla ifade edildiğinde oluşabilecek alan bağıntısına ilişkin varsayımlarda bulununuz.
Cevap: Bir üçgenin alanı, iki kenarının çarpımının bu iki kenar arasındaki açının sinüsü ile çarpımının yarısına eşittir.
A = ½ · x · y · sin(θ)
2. Soru:
ABC üçgeninden yararlanarak aşağıdaki adımları uygulayınız.
1. adım: BC kenarına ait yüksekliği sinüs yardımıyla ifade ediniz.
Cevap: sin(B) = hₐ / c → hₐ = c · sin(B)
2. adım: ABC üçgeninin alanını BC kenarı ve bu kenara ait yükseklik cinsinden ifade ediniz.
Cevap: A = ½ · a · hₐ
3. adım: 1 ve 2. adımları dikkate alarak ABC üçgeninin alanını sinüs yardımıyla ifade ediniz.
Cevap: A = ½ · a · c · sin(B)
Aynı şekilde
A = ½ · a · b · sin(C) veya A = ½ · b · c · sin(A) olarak da yazılabilir.
3. Soru:
ABC üçgeninin alanını sinüs yardımıyla ifade etmenizden hareketle, üçgenin herhangi bir yüksekliği sinüs yardımıyla ifade edildiğinde bir alan bağıntısı oluştuğuna dair genellemenizi oluşturunuz.
Cevap: Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarın çarpımı ile bu iki kenar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
A = ½ · x · y · sin(θ)
4. Soru:
Üçgenin herhangi bir yüksekliği sinüs yardımıyla ifade edildiğinde bir alan bağıntısı oluştuğuna dair genellemenizi varsayımlarınızla karşılaştırınız.
Cevap: Genelleme ile varsayım uyumludur.
5. Soru:
Elde ettiğiniz genellemeden yola çıkarak üçgenin herhangi bir yüksekliğinin sinüs yardımıyla ifade edilmesiyle bir alan bağıntısı oluşturulduğuna dair önermenizi yazınız.
Cevap: Bir üçgenin alanı, iki kenarın çarpımı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
A = ½ · x · y · sin(θ)
6. Soru (Problem):
Bir mühendis, termal kameranın taradığı üçgensel bölgenin alanını hesaplamak istiyor.
İki kenar 100 m ve 200 m, aralarındaki açı 30°’dir.
Bu bölgenin alanı kaç metrekaredir?
Cevap: A = ½ · 100 · 200 · sin(30°)
A = ½ · 100 · 200 · ½
A = 10000 m²
Sonuç: Termal kameranın taradığı üçgensel bölgenin alanı 10.000 m²’dir.