19. Uygulama – Benzer Üçgenlerin Alanları Oranı ile Benzerlik Oranı Arasındaki İlişki
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı (Sayfa 69 – 71)
1. Soru:
k sürgüsünü hareket ettirerek oluşan üçgenlerdeki taban uzunluğu, yükseklik ve alandaki değişimi inceleyiniz. Benzer üçgenlerin alanları oranı ile benzerlik oranı arasındaki ilişki hakkında varsayımda bulununuz.
Cevap: Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
Yani, benzer üçgenlerin kenarları k katına çıkarıldığında alanları k² katına çıkar.
2. Soru:
k sürgüsünü farklı değerlere getirdiğinizde oluşan üçgenlerin taban uzunluğu, yükseklik ve alanlarını aşağıdaki tabloya yazınız.
Tablo 1 – Üçgenlerin Ölçüleri
| k Değeri | Üçgen | Taban Uzunluğu | Yükseklik | Alan (cm²) |
|---|---|---|---|---|
| k = 2 | ABC | 6 | 4 | 12 |
| DEF | 12 | 8 | 48 | |
| k = 3 | ABC | 6 | 4 | 12 |
| DEF | 18 | 12 | 108 | |
| k = 4 | ABC | 6 | 4 | 12 |
| DEF | 24 | 16 | 192 |
Açıklama: DEF üçgeni, ABC üçgenine benzerdir ve her k değerinde taban ile yükseklik k katına çıkmaktadır. Bu durumda alan oranı = k² olmaktadır.
Tablo 2 – Benzerlik ve Alan Oranı Karşılaştırması
| k Değeri | a₂ / a₁ | h₂ / h₁ | A(DEF) / A(ABC) |
|---|---|---|---|
| k = 2 | 12 / 6 = 2 | 8 / 4 = 2 | 48 / 12 = 4 |
| k = 3 | 18 / 6 = 3 | 12 / 4 = 3 | 108 / 12 = 9 |
| k = 4 | 24 / 6 = 4 | 16 / 4 = 4 | 192 / 12 = 16 |
Sonuç: Benzerlik oranı (k) arttıkça, alan oranı k² olmaktadır.
Yani alan oranı = (benzerlik oranı)² kuralı tüm durumlarda doğrulanmaktadır.
3. Soru:
Tablodaki değerlerden yararlanarak benzer üçgenlerin alanları oranı ile benzerlik oranı arasındaki ilişkiye dair genelleme yapınız.
Cevap: Benzer üçgenlerin alanları oranı = (benzerlik oranı)²
Yani, benzer üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki oran neyse, alan oranı bu oranın karesiyle ifade edilir.
4. Soru:
Benzer üçgenlerin alan oranı ile benzerlik oranı arasındaki ilişkiyi, varsayımınızla karşılaştırınız.
Cevap: Yaptığım genelleme ile varsayım tamamen birbiriyle uyumludur.
Her iki durumda da sonuç, alan oranının benzerlik oranının karesine eşit olduğunu göstermektedir.
5. Soru:
Elde ettiğiniz genellemeden hareketle, benzer üçgenlerin alan oranı ile benzerlik oranı arasındaki ilişkiye dair önerinizi yazınız.
Cevap: Benzer üçgenlerin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
6. Soru – Günlük Yaşam Problemi:
Bir boya ustası üçgen biçiminde bir zemini boyamak istemektedir.
Usta, gerekli boya miktarını daha kolay hesaplayabilmek için 1/20 oranında benzer bir üçgen zemin hazırlayıp deneme yapmıştır. Deneme boyamasında 300 gram boya kullanılmıştır.
a) Deneme boyasının gerçek boyama sürecine etkisini tartışınız.
b) Gerçek zemin için gereken boya miktarını bulunuz.
Çözüm: Benzer zeminlerin alan oranı (1/20)² = 1/400’dür.
Küçük zeminde 300 g boya kullanıldığına göre:
300 × 400 = 120.000 g = 120 kg boya gereklidir.
a) Deneme boyaması, ustanın gerçek zemin için ne kadar boya kullanacağını önceden tahmin etmesini sağlar.
b) Gerçek zeminin tamamen boyanması için 120 kg boya gerekmektedir.