10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 408-409 Cevapları MEB Yayınları
7.2 Bayes Teoremi – Alıştırmalar
Soru 1: Beslenme biçimleri, metabolik rahatsızlıklar, yetersiz sıvı alımı ya da sıkı kıyafetler gibi pek çok etmen böbrek taşına neden olabilir. Türkiye’de böbrek taşı görülme sıklığı yaklaşık %15’tir. Böbrekte taş olduğunu teşhis etmek için idrar tahlilinde lökosit pozitif olup olmadığına bakılır. Bunun için yapılan testlerde taş olan bireylerde 4/5 oranında pozitif sonuç verirken taş olmayan bireylerde 2/7 oranında pozitif sonuç vermektedir. Böbrek taşı şüphesi ile idrar tahlili yapılan Enes’in testi pozitif çıktığına göre böbreğinde taş olması olasılığını bulunuz.
Kısa Cevap: 6/11
Bayes Teoremi uygulanır:
- P(Taş) = 0,15
- P(Pozitif | Taş) = 4/5
- P(Pozitif | Taş yok) = 2/7
Toplam pozitif:
(0,15×4/5) + (0,85×2/7)
Hesaplama sonucunda:
P(Taş | Pozitif) = 6/11
Soru 2: Bir şehirdeki 1000 hanelik bir mahallede su ayak izi testi uygulanmış ve hanelerin %70’inin suyu verimli kullandığı, %30’unun ise suyu israf ettiği tespit edilmiştir. Verimli su kullananların %80’i, israf edenlerin %20’si A marka su saatini kullanırken geri kalanlar B marka su saatini kullanmaktadır. Buna göre mahalleden seçilen bir hanenin su saatinin B marka olduğu bilindiğine göre suyu verimli kullanma olasılığını bulunuz.
Kısa Cevap: 7/19
Toplam:
- Verimli: %70
- İsraf: %30
B marka:
- Verimli → %20
- İsraf → %80
Bayes ile:
P(Verimli | B) = 7/19
Soru 3: Aflatoksin, özellikle kuru gıdalarda görülen küf mantarlarının oluşturduğu toksik bir maddedir. İhracat yapan bir firma ürünlerin %8’inde aflatoksin tespit etmektedir. Tarama cihazı aflatoksini %3/4 oranında doğru tespit ederken sağlıklı ürünlerin %2/5’inde yanlış alarm vermektedir. Buna göre seçilen bir üründe cihaz tarafından aflatoksin olduğu tespit edilmesine rağmen sağlıklı bir ürün olma olasılığını bulunuz.
Kısa Cevap: 10/13
Bayes Teoremi uygulanır:
Sağlıklı olmasına rağmen pozitif çıkma olasılığı hesaplanır.
Sonuç: 10/13
Soru 4: Beyaz eşya üreten bir firma ürünlerinin kalitesini ölçmek için fabrika çıkışında ürünlerine bir dayanıklılık testi uygulamaktadır. Bu test sonucunda hatalı ürünlerin %96 oranında tespit edildiği, sağlam ürünlerin ise %2’sinin hatalı olarak işaretlendiği görülmektedir. Buna göre
a) Hatalı olduğu bilindiğine göre test sırasında tespit edilme olasılığını bulunuz.
Kısa Cevap: 1/25
b) Test sonucunda hatalı olarak tespit edilmesine rağmen hatalı olmama olasılığını bulunuz.
Kısa Cevap: 19/67
Bayes Teoremi ile hatalı ve sağlam ürünler üzerinden olasılık hesaplanır.
Soru 5: Manyetik rezonans görüntüleme (MR), beyin tümörü teşhisinde kullanılan bir görüntüleme yöntemidir. Bu test beyin tümörü bulunan bir kişide tümörü %90 oranında tespit edebilmekte ancak sağlıklı bireylerin 1/9’unda da beyin tümörü varmış gibi yanlış sonuç verebilmektedir. Türkiye’de beyin tümörü görülme sıklığı %1’dir. Buna göre Türkiye’de teşhis konulan herhangi bir bireyin gerçekten beyin tümörü olma olasılık değerini bulunuz.
Kısa Cevap: 9/19
Bayes Teoremi uygulanır:
- P(Tümör) = 0,01
- P(Pozitif | Tümör) = 0,90
- P(Pozitif | Sağlam) = 1/9
Sonuç: 9/19
Farklı Kaydet (Kısa Notlar)
Bu temada öğrendiğiniz bilgileri kendi hatırlayacağınız şekilde bu alana kısaca not edebilirsiniz.
Kısa Cevap: Bu temada koşullu olasılık ve Bayes Teoremi öğrendim. Yeni bilgi geldikçe olasılıkların değişebileceğini anladım.
Koşullu Olasılık
P(A|B) = (A ve B’nin birlikte olma durumu) / B’nin olasılığı
Bir olayın gerçekleşmesi, başka bir olaya bağlıysa kullanılır.
Bağımlı ve Bağımsız Olaylar
- Bağımlı olaylar: Bir olay diğerini etkiler
- Bağımsız olaylar: Olaylar birbirini etkilemez
Bağımsız olaylarda:
P(A ve B) = P(A) × P(B)
Bayes Teoremi
P(A|B) = (P(B|A) × P(A)) / P(B)
Yeni bilgi geldikçe olasılığı günceller
Günlük Hayat Örnekleri
- Hastalık testleri
- Hava durumu tahmini
- Yangın alarm sistemleri
- Ürün kalite kontrolü
Genel Özet: Olasılık sabit değildir, yeni verilerle değişir ve daha doğru sonuçlar elde edilir.