10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 407 Cevapları MEB Yayınları
7.2 Bayes Teoremi – Performans Görevi
Soru (Performans Görevi): Bir olayın gerçekleşmesinin diğer bir olayın meydana gelmesine bağlı olduğu durumları modelleyerek, mevcut bilgiye dayalı olasılık tahminleri yapınız. Tıbbî tarama testleri, meteoroloji tahminleri veya güvenlik analizleri gibi gerçek yaşam durumlarından birini seçerek en az 4 örnek problem oluşturunuz ve bu problemleri çözerek sunum hazırlayınız.
Kısa Cevap: Bu görevde Bayes Teoremi kullanılarak gerçek hayat problemleri oluşturulur, çözümler yapılır ve sonuçlar yorumlanır.
Detaylı Performans Görevi (Hazır ve Gelişmiş)
1. Projenin Amacı
Bu çalışmanın amacı, koşullu olasılık ve Bayes Teoremi kullanarak belirsiz durumları analiz etmek ve gerçek hayatta karşılaşılan olaylara matematiksel yorum getirmektir.
2. Kullanılan Yöntem: Bayes Teoremi
P(A|B) = (P(B|A) × P(A)) / P(B)
Bu formül sayesinde:
- Yeni bilgi geldikçe olasılık güncellenir
- Daha gerçekçi sonuçlar elde edilir
3. Örnek Problemler ve Çözümleri
Problem 1: Tıbbi Test (En Önemli Bayes Örneği)
Soru: Bir hastalığın toplumda görülme oranı %20’dir. Uygulanan testin:
- Duyarlılığı %95 (hasta olanı doğru yakalama)
- Özgüllüğü %95 (sağlamı doğru tanıma)
Test sonucu pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı nedir?
Çözüm:
P(Hasta) = 0,20
P(Pozitif | Hasta) = 0,95
P(Pozitif | Sağlam) = 0,05
Toplam pozitif olasılığı:
P(Pozitif) = (0,20×0,95) + (0,80×0,05)
= 0,19 + 0,04 = 0,23
Bayes: P(Hasta | Pozitif) = 0,19 / 0,23 ≈ 0,8182
Sonuç: %81,82
Problem 2: Yangın Alarm Sistemi
Soru: Bir fabrikada yangın çıkma olasılığı %10’dur. Sensör:
- Yangın varsa %90 doğru alarm verir
- Yangın yoksa %10 yanlış alarm verir
Alarm verildiğinde gerçekten yangın olma olasılığı nedir?
Çözüm:
P(Yangın) = 0,10
P(Alarm | Yangın) = 0,90
P(Alarm | Yangın yok) = 0,10
P(Alarm) = (0,10×0,90) + (0,90×0,10)
= 0,09 + 0,09 = 0,18
P(Yangın | Alarm) = 0,09 / 0,18 = 0,50
Sonuç: %50
Problem 3: Hava Durumu Tahmini
Soru: Bir şehirde yağmur yağma olasılığı %30’dur. Meteoroloji:
- Yağmuru %80 doğrulukla tahmin eder
- Yanlış tahmin oranı %20’dir
Tahmin “yağmur” dediğinde gerçekten yağmur olma olasılığı nedir?
Çözüm:
P(Yağmur) = 0,30
P(Tahmin | Yağmur) = 0,80
P(Tahmin | Yağmur yok) = 0,20
P(Tahmin) = (0,30×0,80) + (0,70×0,20)
= 0,24 + 0,14 = 0,38
P(Yağmur | Tahmin) = 0,24 / 0,38 ≈ 0,63
Sonuç: %63
Problem 4: Kalite Kontrol Sistemi
Soru: Bir fabrikada ürünlerin %10’u hatalıdır. Test sistemi:
- Hatalıyı %90 doğru bulur
- Hatasızı %90 doğru bulur
Test sonucu “hatalı” çıkan bir ürünün gerçekten hatalı olma olasılığı nedir?
Çözüm:
P(Hatalı) = 0,10
P(Test + | Hatalı) = 0,90
P(Test + | Sağlam) = 0,10
P(Test +) = (0,10×0,90) + (0,90×0,10)
= 0,09 + 0,09 = 0,18
P(Hatalı | Test +) = 0,09 / 0,18 = 0,50
Sonuç: %50
4. Genel Değerlendirme
Bayes Teoremi sayesinde:
- Olasılıklar sabit değildir, güncellenir
- İlk bakışta yüksek görünen oranlar yanıltıcı olabilir
- Gerçek hayatta doğru karar vermeyi sağlar
5. Sunum İçin Hazır Plan
Slayt 1: Başlık ve amaç
Slayt 2: Bayes Teoremi tanımı
Slayt 3: Tıbbi test örneği
Slayt 4: Yangın sistemi
Slayt 5: Hava tahmini
Slayt 6: Kalite kontrol
Slayt 7: Genel sonuç
6. Sonuç Cümlesi
Bayes Teoremi, belirsizlik içeren durumlarda en doğru tahmini yapmamızı sağlayan güçlü bir matematiksel araçtır.