10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 399 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 399 Cevapları MEB Yayınları

7.1 Koşullu Olasılık, Bağımlı ve Bağımsız Olaylar

Araştırma Ödevi

Soru: Aşağıda verilen adımları gerçekleştirerek araştırma ödevini eksiksiz olarak tamamlayınız.

Kısa Cevap: Bu ödevde olasılık problemlerini çözebileceğiniz uygun görselleştirme araçlarını araştırmanız, bunları hangi durumlarda kullanacağınızı açıklamanız ve çalışmanızı düzenli bir şekilde hazırlamanız istenmektedir.

Detaylı Cevap: Araştırma ödevinde öncelikle olasılık problemlerinde kullanılan görselleştirme araçlarını incelemelisiniz. Bu araçlar arasında ağaç şeması, tablo, sistematik liste ve sütun ya da daire grafikleri yer alabilir. Her bir yöntemin hangi tür sorularda daha kullanışlı olduğunu örneklerle açıklayabilirsiniz. Örneğin sıralı seçimlerde ağaç şeması, çok sayıda verinin karşılaştırılmasında ise tablo daha uygundur. Çalışmanızın sonunda bu araçların olasılık hesaplamayı nasıl kolaylaştırdığını kısa bir değerlendirme ile yazabilirsiniz. Araştırma ödevinin 2 hafta içinde teslim edilmesi ve sonunda öz değerlendirme formunun doldurulması gerektiği de sayfada belirtilmiştir.

Araştırma Ödevi – Örnek 1

Konu: Koşullu Olasılık ve Ağaç Diyagramı ile Modelleme

Kısa Cevap: Bu projede bir torbadan geri koymadan top çekme problemi seçilmiş, ağaç diyagramı yöntemi ile çözümlenmiş ve olasılık hesapları yapılmıştır.

Proje Ödevi (Hazır Kullanım)

1. Projenin Amacı

Bu çalışmanın amacı, olasılık problemlerini görselleştirerek daha kolay çözmeyi öğrenmek ve özellikle koşullu olasılık kavramını anlamaktır.

2. Problem Durumu (Gerçek Hayat Modeli)

Bir torbada:

• 3 kırmızı top (K)
• 2 mavi top (M)

bulunmaktadır. Torbadan geri koymadan art arda 2 top çekilmektedir.

3. Kullanılan Yöntem

Ağaç diyagramı yöntemi

Gerekçe:

• Adım adım seçimleri gösterir
• Koşullu olasılığı açık şekilde ifade eder
• Tüm olasılıkları eksiksiz görmeyi sağlar

4. Ağaç Diyagramı (Durumlar)

1. çekiliş:

• K (3/5)
• M (2/5)

2. çekiliş:

• K → K (2/4), M (2/4)
• M → K (3/4), M (1/4)

5. Tüm Olası Durumlar

• K-K
• K-M
• M-K
• M-M

Toplam durum sayısı: 4

6. Olasılık Hesapları

a) İki topun da kırmızı gelme olasılığı

Kısa Cevap: 3/10

Detaylı Çözüm:

P(K-K) = (3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10

b) En az bir topun mavi gelme olasılığı

Kısa Cevap: 7/10

Detaylı Çözüm:

En az bir mavi = tamamlayıcı olay:

1 − P(hiç mavi gelmemesi)

= 1 − 3/10 = 7/10

c) İkinci topun mavi olma olasılığı

Kısa Cevap: 1/2

Detaylı Çözüm: İkinci topun mavi olma durumları:

• K-M
• M-M

Toplam olasılık:

(3/5 × 2/4) + (2/5 × 1/4)
= 6/20 + 2/20 = 8/20 = 2/5

7. Sonuç ve Yorum

• Olasılık hesapları görselleştirme ile daha kolay yapılır
• Ağaç diyagramı, özellikle koşullu olasılıkta çok etkilidir
• Olaylar birbirine bağlıysa bağımlı olay oluşur

8. Günlük Hayat Bağlantısı

Bu model şu durumlara uygulanabilir:

• Kart çekme oyunları
• Sınav başarı tahminleri
• Ürün seçimleri
• Rastgele seçimler

9. Projenin Geliştirilebilir Yönleri

• Daha fazla top eklenebilir
• Farklı renkler kullanılabilir
• Bilgisayar programı ile grafik çizilebilir

Genel Sonuç

Bu proje sayesinde:

• Koşullu olasılık öğrenildi
• Ağaç diyagramı kullanımı geliştirildi
• Matematik gerçek hayatla ilişkilendirildi

Çalışma Kâğıdı 1 Cevapları

Soru 1: Merve'nin dolabında renkleri dışında özdeş kırmızı, mavi, siyah 3 tane tükenmez kalem ve pembe ve mor renkte iki boyama kalemi vardır. Merve dolabından önce bir kalem alıp aldığı kalemi yerine koymadan ikinci bir kalem daha alıyor. Buna göre Merve’nin aldığı ikinci kalemin,

a) Boya kalemi olmasının olasılık değerini bulunuz.

Kısa Cevap: İkinci kalemin boya kalemi olma olasılığı 2/5’tir.

Detaylı Cevap: Merve’nin dolabında toplam 5 kalem vardır. Bunların 2 tanesi boya kalemi, 3 tanesi tükenmez kalemdir. Rastgele iki seçim yapılmasına rağmen, ikinci seçilen kalemin boya kalemi olma olasılığı toplam dağılım üzerinden yine 2/5 olur. Çünkü ikinci sıradaki seçimin boya kalemi olma ihtimali, tüm kalemler arasında boya kalemlerinin oranına eşittir. Sonuç olarak:

P(ikinci kalem boya kalemi) = 2/5

b) Merve’nin aldığı birinci kalemin boya kalemi, ikinci kalemin tükenmez kalem olmasının olasılık değerini bulunuz.

Kısa Cevap: Olasılık değeri 3/10’dur.

Detaylı Cevap: İlk kalemin boya kalemi olma olasılığı: 2/5

İlk seçim boya kalemi olduktan sonra geriye 4 kalem kalır. Bunların 3 tanesi tükenmez kalemdir. Bu durumda ikinci kalemin tükenmez kalem olma olasılığı:

3/4

İki olay art arda gerçekleştiği için çarpılır:

(2/5) . (3/4) = 6/20 = 3/10

Sonuç:

P(1. boya kalemi ve 2. tükenmez kalem) = 3/10

Soru 2: Hilesiz üç madeni para havaya atılıyor. Atılan üç paradan en az birinin yazı geldiği bilindiğine göre üçünün de yazı gelme olayının olasılık değerini bulunuz.

Kısa Cevap: Olasılık değeri 1/7’dir.

Detaylı Cevap: Üç madeni para atıldığında toplam olası durum sayısı:

2³ = 8

Bu durumlar içinde hiç yazı gelmemesi, yani hepsinin tura gelmesi yalnızca 1 durumdur. Soruda en az birinin yazı geldiği bilindiğine göre bu 1 durum çıkarılır:

8 - 1 = 7

Üçünün de yazı gelmesi ise yalnızca: YYY

durumu ile mümkündür. Bu da 1 uygun durum demektir.

Koşullu olasılık: 1/7

Çalışma Kâğıdı 2 Cevapları

Kaynak metin çalışma kâğıdında verilmiştir.

Soru 1: Masada bulunan iki kutudan birinci kutuda 5 kırmızı, 3 beyaz; ikinci kutuda 3 kırmızı, 5 beyaz renkli özdeş top vardır. Buna göre

a) Rastgele çekilen bir topun birinci kutudan çekildiği bilindiğine göre kırmızı olmasının olasılık değerini bulunuz.

Kısa Cevap: Olasılık değeri 5/8’dir.

Detaylı Cevap: Birinci kutuda toplam:

5 kırmızı + 3 beyaz = 8 top

Bir topun birinci kutudan çekildiği biliniyorsa, örnek uzay yalnızca bu kutudaki toplarla sınırlanır. Birinci kutuda 5 kırmızı top bulunduğu için kırmızı gelme olasılığı:

5/8

olur.

b) Rastgele çekilen bir topun beyaz olduğu bilindiğine göre ikinci kutudan çekilmiş olmasının olasılık değerini bulunuz.

Kısa Cevap: Olasılık değeri 5/8’dir.

Detaylı Cevap: İki kutudaki beyaz topları inceleyelim:

• 1. kutuda 3 beyaz
• 1. kutuda 5 beyaz

Toplam beyaz top sayısı:

3 + 5 = 8

Beyaz olduğu bilinen bir topun ikinci kutudan gelmiş olması için uygun durum sayısı 5’tir. Bu yüzden koşullu olasılık:

5/8

olur.

Soru 2: Bir okuldaki 10. sınıf öğrencilerinin her biri farklı saatlerde yapılan Matematik ve Fizik dersi destekleme ve yetiştirme kurslarının en az birine katılmaktadır. Öğrencilerin %70’i Matematik dersinden %40’ı Fizik dersinden destekleme ve yetiştirme kursuna kayıt yaptırmıştır. Buna göre seçilen bir öğrencinin

a) Sadece Matematik kursuna katılma olasılığını bulunuz.

Kısa Cevap: Sadece Matematik kursuna katılma olasılığı %60’tır.

Detaylı Cevap: Soruda öğrencilerin her birinin en az bir kursa katıldığı söylenmiştir. Bu durumda birleşim kümesi %100 olur.

Verilenler:

• Matematik: %70
• Fizik: %40
• En az birine katılan: %100

Kesişimi bulalım:

%70 + %40 - kesişim = %100

%110 - kesişim = %100

kesişim = %10

Sadece Matematik kursuna katılanlar: %70 - %10 = %60

Sonuç: P(Sadece Matematik) = %60

b) Matematik dersinden kursa katıldığı bilindiğine göre bu öğrencinin fizik dersinden de kursa katılma olasılığını bulunuz.

Kısa Cevap: Olasılık değeri 1/7’dir.

Detaylı Cevap: Matematik kursuna katılanlar içinde hem Matematik hem Fizik kursuna katılanların oranı istenir.

Kesişim: %10

Matematik kursuna katılanlar: %70

Koşullu olasılık: 10/70 = 1/7

Sonuç olarak: P(Fizik | Matematik) = 1/7