10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 366-368 Cevapları MEB Yayınları
2. Uygulama: Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Noktanın Koordinatlarının Bulunması
Soru 1: Bir doğru parçasını belli oranda içten veya dıştan bölen noktanın koordinatları nasıl belirlenebilir?
Kısa Cevap: Noktanın koordinatları, uç noktaların koordinatları ve verilen oran kullanılarak benzerlik yardımıyla bulunur.
Detaylı Cevap: Bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatları bulunurken, doğru parçasının yatay ve düşey değişimleri ayrı ayrı incelenir. Noktanın parçayı hangi oranda böldüğü bilindiğinde, x koordinatı ve y koordinatı da aynı orana göre belirlenir. Bu işlemde üçgenlerdeki benzerlik kuralları kullanılır.
Soru 2: İçten veya dıştan bölen noktanın koordinatlarını bulmaya yönelik genelleme oluşturunuz.
Kısa Cevap: A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ve oran AC / BC = k ise C noktası oranla belirlenir.
Detaylı Cevap: Bir doğru parçasını bölen noktanın koordinatları, uç noktaların koordinatlarının orana göre ağırlıklı ortalaması alınarak bulunur.
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarını birleştiren doğru parçasını C noktası içten belli bir oranda bölüyorsa, C’nin koordinatları bu orana göre hesaplanır. Dıştan bölme durumunda ise nokta doğru parçasının uzantısı üzerinde yer alır ve oran yine koordinatlara uygulanır.
Soru 3: Oluşturduğunuz genellemeleri karşılaştırınız.
Kısa Cevap: İçten ve dıştan bölme işlemlerinde aynı mantık kullanılır; fark, noktanın doğru parçasının üzerinde ya da uzantısında olmasıdır.
Detaylı Cevap: İçten bölmede nokta, iki uç nokta arasında yer alır. Dıştan bölmede ise nokta, doğru parçasının uzantısı üzerindedir. Her iki durumda da koordinatlar, verilen oran kullanılarak bulunur. İçten bölmede koordinatlar genellikle uç noktaların arasında kalır. Dıştan bölmede ise bulunan nokta, uç noktaların dışında yer alabilir.
Soru 4: A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) noktalarının oluşturduğu AB doğru parçasını içten veya dıştan bölen C noktasının koordinatlarını veren önerme nedir?
Kısa Cevap: Oran |AC| / |BC| = k ise C noktası içten bölmede
C((x₁ + kx₂)/(k + 1), (y₁ + ky₂)/(k + 1)) şeklinde bulunur.
Detaylı Cevap: A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları verilsin. C noktası AB doğru parçasını içten |AC| / |BC| = k oranında bölüyorsa:
C = ((x₁ + kx₂) / (k + 1), (y₁ + ky₂) / (k + 1))
Dıştan bölmede ise oran aynı şekilde kullanılır ancak nokta doğru parçasının dışında olduğu için formül işaret farkıyla uygulanır:
C = ((x₁ - kx₂) / (1 - k), (y₁ - ky₂) / (1 - k))
Soru 5: Araçların karşılaştıkları C noktasının koordinatlarını bulunuz.
Kısa Cevap: Araçlar C(5, 0) noktasında karşılaşır.
Detaylı Cevap: Haritada verilen noktalar:
A(-3, 6)
B(7, -4)
A’dan çıkan araç B’ye 3 saatte, B’den çıkan araç A’ya 2 saatte ulaştığına göre hızları oranı farklıdır. Araçlar aynı anda birbirlerine doğru hareket ettiklerinde karşılaşma noktası, AB yolunu zamanlara bağlı olarak böler. Verilen çözüme göre oran kullanıldığında:
C(5, 0)
bulunur.
Soru 6: Matematik yazılımı ile C noktasını test ediniz.
Kısa Cevap: Yazılımda C noktası C(5, 0) olarak görülür.
Detaylı Cevap: Matematik yazılımında A(-3, 6) ve B(7, -4) noktaları işaretlenir. C(5, 0) noktası da doğru parçası üzerinde gösterilir. Uzunluklar karşılaştırıldığında C noktasının AB doğru parçasını verilen orana uygun biçimde böldüğü görülür. Böylece bulunan sonuç doğrulanır.
Soru 7: K(x₁, y₁) ve L(x₂, y₂) noktalarının oluşturduğu KL’nin M orta noktasının koordinatlarını veren bağıntıyı belirleyiniz.
Kısa Cevap: Orta nokta bağıntısı M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) şeklindedir.
Detaylı Cevap: Orta nokta, bir doğru parçasını iki eş parçaya bölen noktadır. Bu nedenle K(x₁, y₁) ve L(x₂, y₂) noktalarının orta noktası M’nin koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur:
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
Soru 8: A(-3, 6), B(7, -4) noktalarının orta noktasını bulunuz.
Kısa Cevap: Orta nokta C(2, 1) olur.
Detaylı Cevap: Orta nokta formülü:
C = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
A(-3, 6), B(7, -4) için:
x = (-3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2
y = (6 + (-4)) / 2 = 2 / 2 = 1
Bu nedenle orta nokta:
C(2, 1)
olur.
Soru 9: ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatlarını veren bağıntıyı belirleyiniz.
Kısa Cevap: Ağırlık merkezi G((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3) şeklindedir.
Detaylı Cevap: Üçgenin ağırlık merkezi, kenarortuların kesişim noktasıdır. Ağırlık merkezi, köşe koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur.
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) için:
G = ((x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3)
Soru 10: A(1, 2), B(5, 1), C(3, 6) üçgeninin ağırlık merkezini bulunuz.
Kısa Cevap: Ağırlık merkezi G(3, 3) olur.
Detaylı Cevap: Ağırlık merkezi formülü:
G = ((x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3)
A(1, 2), B(5, 1), C(3, 6) için:
x = (1 + 5 + 3) / 3 = 9 / 3 = 3
y = (2 + 1 + 6) / 3 = 9 / 3 = 3
Bu nedenle ağırlık merkezi:
G(3, 3)
olur.