10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 333 Cevapları MEB Yayınları
8. Uygulama
Belirli Sayıda Nesneden Farklı Sayılarda Nesne Seçimi
Soru 1 - Gruptaki kişi sayısına göre “Kaplumbağa Terbiyecisi” adlı tablonun incelenme sayısı ile ilgili oluşturulan tablododa verilen örneği dikkate alarak boş alanları doldurunuz.
a) Gruptaki kişi sayısına göre “Kaplumbağa Terbiyecisi” adlı tablonun olası incelenme sayıları
Kısa Cevap: Boşluklar şu şekilde doldurulur:
- 1 kişi → 0, 1
- 2 kişi → 0, 1, 2
- 3 kişi → 0, 1, 2, 3
- 4 kişi → 0, 1, 2, 3, 4
- n kişi → 0, 1, 2, 3, ..., n
Detaylı Cevap: Bir grupta bulunan kişilerden hiçbiri, bir kısmı ya da hepsi tabloyu inceleyebilir. Bu nedenle gruptaki kişi sayısı n ise tablonun olası incelenme sayıları 0’dan n’ye kadar olabilir.
b) “Kaplumbağa Terbiyecisi” adlı tablonun olabilecek incelenme sayısı ile sergiyi gezen gruptaki ressam sayısı arasındaki ilişkiyi belirtiniz.
Kısa Cevap: İnceleyen kişi sayısı 0 ile n arasında değişir.
Detaylı Cevap: Sergiyi gezen grupta n kişi varsa tabloyu inceleyen kişi sayısı en az 0, en çok n olabilir. Yani ilişki:
0 <= inceleyen kişi sayısı <= n
şeklindedir.
c) Sergiyi gezen ressam sayısı ile “Kaplumbağa Terbiyecisi” adlı tabloyu incelemiş olası kişi sayıları, cebirsel temsilleri ve elde edilen sonuçları tabloya yazınız.
Tablo Doldurulmuş Hâli
0 kişi için
Kısa Cevap:
- Olası kişi sayıları: 0
- Cebirsel temsil: C(0,0)
- Sonuç: 1
Detaylı Cevap: Hiç kişi yoksa tabloyu inceleyen kişi sayısı da yalnızca 0 olabilir. Bunun seçim sayısı 1’dir.
1 kişi için
Kısa Cevap:
- Olası kişi sayıları: 0, 1
- Cebirsel temsiller: C(1,0), C(1,1)
- Sonuçlar: 1, 1
Detaylı Cevap: 1 kişilik grupta ya hiç kimse tabloyu incelemez ya da 1 kişi inceler. Bu yüzden iki olasılık vardır.
2 kişi için
Kısa Cevap:
- Olası kişi sayıları: 0, 1, 2
- Cebirsel temsiller: C(2,0), C(2,1), C(2,2)
- Sonuçlar: 1, 2, 1
Detaylı Cevap: 2 kişi arasından tabloyu inceleyenlerin sayısı 0, 1 veya 2 olabilir. Buna göre kombinasyon değerleri sırasıyla 1, 2, 1 olur.
3 kişi için
Kısa Cevap:
- Olası kişi sayıları: 0, 1, 2, 3
- Cebirsel temsiller: C(3,0), C(3,1), C(3,2), C(3,3)
- Sonuçlar: 1, 3, 3, 1
Detaylı Cevap: 3 kişilik grupta tabloyu inceleyen kişi sayısı 0’dan 3’e kadar değişebilir. Kombinasyon sonuçları 1, 3, 3, 1 olur.
4 kişi için
Kısa Cevap:
- Olası kişi sayıları: 0, 1, 2, 3, 4
- Cebirsel temsiller: C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3), C(4,4)
- Sonuçlar: 1, 4, 6, 4, 1
Detaylı Cevap: 4 kişi arasından tabloyu inceleyen kişi sayısı farklı şekillerde seçilebilir. Sonuçlar Pascal üçgenindeki ilgili satırı verir: 1, 4, 6, 4, 1.
5 kişi için
Kısa Cevap:
- Olası kişi sayıları: 0, 1, 2, 3, 4, 5
- Cebirsel temsiller: C(5,0), C(5,1), C(5,2), C(5,3), C(5,4), C(5,5)
- Sonuçlar: 1, 5, 10, 10, 5, 1
Detaylı Cevap: 5 kişilik grupta kombinasyon değerleri sırasıyla hesaplandığında 1, 5, 10, 10, 5, 1 bulunur.
6 kişi için
Kısa Cevap:
- Olası kişi sayıları: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
- Cebirsel temsiller: C(6,0), C(6,1), C(6,2), C(6,3), C(6,4), C(6,5), C(6,6)
- Sonuçlar: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
Detaylı Cevap: 6 kişi için tabloyu inceleyen kişi sayıları 0’dan 6’ya kadar gider. Kombinasyon sonuçları 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 olur.
n kişi için
- Olası kişi sayıları: 0, 1, 2, 3, ..., n
- Cebirsel temsiller: C(n,0), C(n,1), C(n,2), ..., C(n,n)
- Sonuçlar: 1, n, ..., n, 1
Detaylı Cevap: n kişilik bir grupta tabloyu inceleyen kişi sayısı 0’dan n’ye kadar olabilir. Bu durum kombinasyonlarla gösterilir:
C(n,0), C(n,1), C(n,2), ..., C(n,n)
İlk ve son değer her zaman 1’dir. Ayrıca:
- C(n,1) = n
- C(n,n-1) = n
olur.
Toplu Hâlde Cevap Tablosu
0 kişi: 0 | C(0,0) | 1
1 kişi: 0, 1 | C(1,0), C(1,1) | 1, 1
2 kişi: 0, 1, 2 | C(2,0), C(2,1), C(2,2) | 1, 2, 1
3 kişi: 0, 1, 2, 3 | C(3,0), C(3,1), C(3,2), C(3,3) | 1, 3, 3, 1
4 kişi: 0, 1, 2, 3, 4 | C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3), C(4,4) | 1, 4, 6, 4, 1
5 kişi: 0, 1, 2, 3, 4, 5 | C(5,0), C(5,1), C(5,2), C(5,3), C(5,4), C(5,5) | 1, 5, 10, 10, 5, 1
6 kişi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 | C(6,0), C(6,1), C(6,2), C(6,3), C(6,4), C(6,5), C(6,6) | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
n kişi: 0, 1, 2, 3, ..., n | C(n,0), C(n,1), C(n,2), ..., C(n,n) | 1, n, ..., n, 1
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 334 Cevapları MEB Yayınları
8. Uygulama Devamı
2. Tabloya yazdığınız cebirsel temsiller ile oluşturulan aşağıdaki modelin boş kısımlarını doldurunuz.
Kısa Cevap: Boş kalan cebirsel gösterimler aşağıdaki gibi doldurulur:
0. satır: C(0,0)
1. satır: C(1,0), C(1,1)
2. satır: C(2,0), C(2,1), C(2,2)
3. satır: C(3,0), C(3,1), C(3,2), C(3,3)
4. satır: C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3), C(4,4)
5. satır: C(5,0), C(5,1), C(5,2), C(5,3), C(5,4), C(5,5)
6. satır: C(6,0), C(6,1), C(6,2), C(6,3), C(6,4), C(6,5), C(6,6)
n. satır: C(n,0), C(n,1), C(n,2), ..., C(n,n-1), C(n,n)
Detaylı Cevap: Bu modelde her satır, ilgili sayının kombinasyonlarını göstermektedir. Yani k. satırda, C(k,0)’dan başlayıp C(k,k)’ye kadar ilerlenir. Bu yüzden üçgen biçimindeki cebirsel gösterimler yukarıdaki sırayla doldurulur.
3. Aşağıda verilen modelde boş bırakılan yerlere cebirsel temsillerden elde edilen sonuçları yazınız.
Kısa Cevap: Boş kalan sayılar şu şekildedir:
0. satır: 1
1. satır: 1, 1
2. satır: 1, 2, 1
3. satır: 1, 3, 3, 1
4. satır: 1, 4, 6, 4, 1
5. satır: 1, 5, 10, 10, 5, 1
6. satır: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
n. satır: 1, n, ..., n, 1
Detaylı Cevap: Bu sayılar kombinasyon sonuçlarından oluşur ve Pascal üçgenini verir. Her satırın başı ve sonu 1’dir. Aradaki sayılar ise üst satırdaki komşu iki sayının toplamı şeklinde bulunur.
Pascal Üçgeni Tam Hâli
0. satır: 1
1. satır: 1 1
2. satır: 1 2 1
3. satır: 1 3 3 1
4. satır: 1 4 6 4 1
5. satır: 1 5 10 10 5 1
6. satır: 1 6 15 20 15 6 1
4. Üçgen şeklindeki bu model, genellikle “Pascal (Paskal) üçgeni” olarak bilinir. Pascal üçgeninin ardışık iki satırında yazılan sayılar arasındaki ilişkiyi belirleyiniz. Bulduğunuz ilişkiyi sözel olarak ve cebirsel temsille ifade ediniz.
Kısa Cevap: Pascal üçgeninde kenarlardaki sayılar her zaman 1’dir.
İçteki her sayı, üst satırdaki kendisine komşu iki sayının toplamına eşittir.
Detaylı Cevap: Pascal üçgeninde ilk ve son elemanlar her zaman 1 olur. Bunun dışındaki her sayı, bir üst satırdaki sol üst ve sağ üst komşusunun toplamı ile elde edilir.
Örneğin:
- 1 + 2 = 3
- 3 + 3 = 6
- 4 + 6 = 10
Bu nedenle Pascal üçgeni satır satır düzenli bir şekilde oluşur.
Sözel ifade: Bir satırdaki iç terimler, üst satırdaki komşu iki terimin toplamıdır.
Cebirsel ifade: C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)
Bu ilişki Pascal üçgeninin temel kuralıdır.