10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 31 Alıştırmalar Cevapları MEB Yayınları, trigonometrik oranlarla ilgili dört sorunun kısa cevaplarını ve adım adım çözümlerini içermektedir.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 31 Cevapları
Bu sayfadaki alıştırmalarda sinüs ve tanjant oranları; parke düzeni, su kaydırağı, güvenlik kamerası ve gölge problemlerinde kullanılmaktadır. İşlemlerin kolay takip edilebilmesi için her çözümün adımları ayrı satırlarda gösterilmiştir.
Alıştırmalar – 1. Soru
Soru: Aşağıda 14 adet eş dikdörtgen şeklinde parke kullanılarak oluşturulmuş bir zemin görseli verilmiştir. K noktasında bulunan bir kedi doğrusal bir şekilde önce A noktasına, ardından B noktasına yürümüştür. Buna göre KAB açısının sinüs değerini bulunuz. Kısa Cevap: sin(KAB) = 3√13/13. Çözüm: Parkelerin kısa kenarına x diyelim. Eş dikdörtgenlerin yerleşimine göre uzun kenar 3x olur.
1. Dik kenarları belirleyelim:
|AB| = 4x;
|BK| = 6x.
|AB| = 4x;
|BK| = 6x.
2. Pisagor teoremiyle hipotenüsü bulalım:
|AK|2 = |AB|2 + |BK|2;
|AK|2 = (4x)2 + (6x)2;
|AK|2 = 16x2 + 36x2;
|AK|2 = 52x2;
|AK| = 2√13 · x.
|AK|2 = |AB|2 + |BK|2;
|AK|2 = (4x)2 + (6x)2;
|AK|2 = 16x2 + 36x2;
|AK|2 = 52x2;
|AK| = 2√13 · x.
3. Sinüs oranını yazalım:
KAB açısının karşısındaki dik kenar BK, hipotenüs ise AK olduğundan:
sin(KAB) = |BK| / |AK|;
sin(KAB) = 6x / (2√13 · x);
sin(KAB) = 3/√13;
sin(KAB) = 3√13/13.
KAB açısının karşısındaki dik kenar BK, hipotenüs ise AK olduğundan:
sin(KAB) = |BK| / |AK|;
sin(KAB) = 6x / (2√13 · x);
sin(KAB) = 3/√13;
sin(KAB) = 3√13/13.
Alıştırmalar – 2. Soru
Soru: Bir su kaydırağının uzunluğu 6 metredir. Kaydırak zeminle 30°, merdiven ise zeminle 45°lik açı yapmaktadır. Yerinden sökülen merdiven, zeminle 60°lik açı yapacak şekilde dik bir duvara dayandığında üst ucu duvarın tepesine denk gelmektedir. Buna göre duvarın yüksekliğini bulunuz. Kısa Cevap: Duvarın yüksekliği 3√6/2 metredir. Çözüm: Önce kaydırağın yüksekliğini, ardından merdivenin uzunluğunu ve duvarın yüksekliğini bulalım.
1. Kaydırağın yerden yüksekliğini bulalım:
Yüksekliğe h diyelim.
sin30° = h/6;
1/2 = h/6;
h = 3 m.
Yüksekliğe h diyelim.
sin30° = h/6;
1/2 = h/6;
h = 3 m.
2. Merdivenin uzunluğunu bulalım:
Merdivenin uzunluğuna L diyelim. İlk durumda merdiven zeminle 45° açı yaptığından:
sin45° = 3/L;
√2/2 = 3/L;
L = 6/√2;
L = 3√2 m.
Merdivenin uzunluğuna L diyelim. İlk durumda merdiven zeminle 45° açı yaptığından:
sin45° = 3/L;
√2/2 = 3/L;
L = 6/√2;
L = 3√2 m.
3. Duvarın yüksekliğini bulalım:
Duvarın yüksekliğine y diyelim. Merdiven duvara dayandığında zeminle 60° açı yaptığından:
sin60° = y/(3√2);
√3/2 = y/(3√2);
y = (3√2 · √3)/2;
y = 3√6/2 m.
Duvarın yüksekliğine y diyelim. Merdiven duvara dayandığında zeminle 60° açı yaptığından:
sin60° = y/(3√2);
√3/2 = y/(3√2);
y = (3√2 · √3)/2;
y = 3√6/2 m.
Sonuç: Duvarın yüksekliği 3√6/2 metredir.
Alıştırmalar – 3. Soru
Soru: Zemine dik bir direğin tepesindeki kameranın görüş açısı 24°, HAK açısının ölçüsü 69° ve |AH| = 35 metredir. Buna göre |AB| uzunluğunun yaklaşık kaç metre olması gerektiğini bulunuz. (tan69° ≈ 2,6) Kısa Cevap: |AB| ≈ 56 m. Çözüm: Önce direğin yüksekliğini, ardından üçgendeki açıları ve istenen uzaklığı bulalım.
1. Direğin yüksekliğini bulalım:
AHK dik üçgeninde tanjant oranını kullanalım.
tan69° = |HK| / |AH|;
2,6 ≈ |HK| / 35;
|HK| ≈ 35 · 2,6;
|HK| ≈ 91 m.
AHK dik üçgeninde tanjant oranını kullanalım.
tan69° = |HK| / |AH|;
2,6 ≈ |HK| / 35;
|HK| ≈ 35 · 2,6;
|HK| ≈ 91 m.
2. KAB açısını bulalım:
H, A ve B noktalarının şekildeki doğrusal yerleşimine göre:
m(KAB) = 180° − 69°;
m(KAB) = 111°.
H, A ve B noktalarının şekildeki doğrusal yerleşimine göre:
m(KAB) = 180° − 69°;
m(KAB) = 111°.
3. ABK açısını bulalım:
KAB üçgeninde iç açıların toplamı 180°dir.
m(ABK) = 180° − 111° − 24°;
m(ABK) = 45°.
KAB üçgeninde iç açıların toplamı 180°dir.
m(ABK) = 180° − 111° − 24°;
m(ABK) = 45°.
4. HB uzunluğunu bulalım:
B noktasından A ve H noktalarına uzanan ışınlar aynı yönde olduğundan m(HBK) = 45° olur. HKB dik üçgeni, 45°-45°-90° üçgenidir. Bu nedenle dik kenarları eşittir:
|HB| = |HK|;
|HB| ≈ 91 m.
B noktasından A ve H noktalarına uzanan ışınlar aynı yönde olduğundan m(HBK) = 45° olur. HKB dik üçgeni, 45°-45°-90° üçgenidir. Bu nedenle dik kenarları eşittir:
|HB| = |HK|;
|HB| ≈ 91 m.
5. AB uzunluğunu hesaplayalım:
A noktası, H ile B arasında bulunduğundan:
|AB| = |HB| − |HA|;
|AB| ≈ 91 − 35;
|AB| ≈ 56 m.
A noktası, H ile B arasında bulunduğundan:
|AB| = |HB| − |HA|;
|AB| ≈ 91 − 35;
|AB| ≈ 56 m.
Sonuç: AB uzunluğu yaklaşık 56 metredir.
Alıştırmalar – 4. Soru
Soru: Kesitleri özdeş dikdörtgen olan A ve B blokları zemine diktir ve bloklar arasındaki mesafe blokların boyuna eşittir. A blokunun gölgesinin uç noktası ile B blok arasındaki uzaklık |EF| = 16 m, |FG| = 10 m, gölge açıları 64° ve 22° olduğuna göre |CG| uzunluğunu bulunuz. (tan64° ≈ 2 ve tan22° ≈ 0,4) Kısa Cevap: Verilen yaklaşık tanjant değerleri kullanıldığında |CG| ≈ 90 m. Çözüm: Blokların yüksekliğine h diyelim. Verilen bilgiye göre bloklar arasındaki uzaklık da h metredir.
1. İlk konumdaki gölge uzunluğunu h cinsinden yazalım:
tan64° = h / |DE|;
2 ≈ h / |DE|;
|DE| ≈ h/2.
tan64° = h / |DE|;
2 ≈ h / |DE|;
|DE| ≈ h/2.
2. Blokların yüksekliğini bulalım:
|DF| = |DE| + |EF| olduğundan:
h ≈ h/2 + 16;
h − h/2 ≈ 16;
h/2 ≈ 16;
h ≈ 32 m.
|DF| = |DE| + |EF| olduğundan:
h ≈ h/2 + 16;
h − h/2 ≈ 16;
h/2 ≈ 16;
h ≈ 32 m.
3. İkinci konumda CF uzunluğunu bulalım:
Bloklar özdeş olduğundan B blokunun yüksekliği de yaklaşık 32 m olur.
tan22° = h / |CF|;
0,4 ≈ 32 / |CF|;
|CF| ≈ 32 / 0,4;
|CF| ≈ 80 m.
Bloklar özdeş olduğundan B blokunun yüksekliği de yaklaşık 32 m olur.
tan22° = h / |CF|;
0,4 ≈ 32 / |CF|;
|CF| ≈ 32 / 0,4;
|CF| ≈ 80 m.
4. CG uzunluğunu hesaplayalım:
Şekilde F noktası, C ile G arasında bulunduğundan:
|CG| = |CF| + |FG|;
|CG| ≈ 80 + 10;
|CG| ≈ 90 m.
Şekilde F noktası, C ile G arasında bulunduğundan:
|CG| = |CF| + |FG|;
|CG| ≈ 80 + 10;
|CG| ≈ 90 m.
Sonuç: Verilen yaklaşık değerlerle CG uzunluğu 90 metre bulunur.
KİTABIN TÜM CEVAPLARI
Bütün sayfalara ait açıklamalı çözümleri 10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları MEB Yayınları sayfasında inceleyebilirsiniz.
Açıklamalar ve Örnek Cevaplar
Sayfa 31’deki parke sorusunda hangi trigonometrik oran kullanılır?
Soruda açının sinüsü istendiği için sinüs = karşı dik kenar / hipotenüs bağıntısı kullanılır. Sonuç 3√13/13 bulunur.
Su kaydırağı sorusunda merdivenin uzunluğu kaç metredir?Kaydırağın yerden yüksekliği 3 m, merdivenin uzunluğu ise 3√2 m bulunur. Merdiven duvara dayandığında ulaştığı yükseklik 3√6/2 m olur.
Kamera sorusunda AB uzunluğu nasıl hesaplanır?Önce direğin yüksekliği yaklaşık 91 m bulunur. HKB üçgeninin ikizkenar dik üçgen olduğu belirlendikten sonra |AB| ≈ 91 − 35 = 56 m hesaplanır.
Gölge probleminde CG uzunluğu kaç metredir?Verilen yaklaşık tanjant değerleriyle blok yüksekliği 32 m, CF uzunluğu 80 m bulunur. Buna göre |CG| ≈ 80 + 10 = 90 m olur.