10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları – MEB Yayınları | Sayfa 306
4. Tema Ölçme ve Değerlendirme Soruları ve Cevapları
1) Elektrik Faturası Problemi
Kısa cevap: Toplam fatura, sabit ücret ile kullanılan elektrik miktarına bağlı değişen ücretin toplamıdır. Bu ilişki doğrusal bir fonksiyonla ifade edilir.
a) Cebirsel temsil
Cevap: f(x) = 75 + 12x
Açıklama:
75 TL sabit bağlantı ücretidir.
12x, kullanılan x kWh elektrik için ödenen tutarı gösterir.
b) Grafiği
Cevap: Grafik doğrusaldır.
- Y-eksenini kestiği nokta: (0, 75)
- Eğim: 12 → Elektrik tüketimi her 1 kWh arttığında fatura 12 TL artar.
c) Fonksiyon olup olmadığı
Cevap: Bir fonksiyondur. Çünkü her x (kWh) değeri için yalnızca bir f(x) (fatura tutarı) vardır.
2) Meteoroloji Balonu – Grafik Yorumlama
Kısa cevap: Grafik, zamanla balonun yüksekliği arasındaki ilişkiyi gösterir ve fonksiyon özelliği taşır.
a) Fonksiyon şartı
Cevap: Fonksiyondur. Her zaman değeri için tek bir yükseklik değeri bulunmaktadır.
b) Tanım ve görüntü kümeleri
- Tanım kümesi: [0, 45] (dakika)
- Görüntü kümesi: [0, 600] (metre)
c) Artan – azalan aralıklar
- Artan: [0, 20], [23, 28]
- Azalan: [20, 23], [28, 45]
ç) Maksimum – minimum değerler
- Maksimum yükseklik: 600 m
- Minimum yükseklik: 0 m
d) Grafiğin sıfırı
Cevap: Yüksekliğin 0 olduğu an t = 45 dakikadır.
e) Bire birlik
Cevap: Bire bir değildir. Çünkü bazı yükseklik değerleri, birden fazla zaman değerinde tekrar edilmektedir.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları – MEB Yayınları | Sayfa 307
3. Soru: Seramik üretilen bir fabrikada kare şeklindeki bir fayansın üretim maliyeti, alanı üzerinden; satış fiyatı ise fayansın çevresi üzerinden hesaplanmaktadır. Maliyet fiyatı birimkare başına 3 TL, satış fiyatı birim başına 12 TL’dir.
Buna göre:
a) Fayansın satışından elde edilen kârın en fazla olması için fayansın uzunluğu kaç birim olmalıdır?
b) Bir fayanstan elde edilen kârın en fazla kaç TL olduğunu bulunuz.
c) Kârın en yüksek olduğu anda fayansın üretim ve satış maliyetlerini hesaplayınız.
Cevap: a) Kârın en fazla olması için fayansın bir kenarı 8 birim olmalıdır.
b) En yüksek kâr 192 TL’dir.
c) Kârın en yüksek olduğu anda: Üretim maliyeti 192 TL, satış geliri 384 TL’dir.
4. Soru: Aşağıda görseli verilen asma köprünün ayakları arasındaki mesafe 160 metre olup bu ayaklar, halatla parabol şeklinde birbirine bağlanacaktır. Ayakların köprü üzerinde kalan kısmı 200 metre, ayaklara en uzaklıktaki köprü merkezinde halatın köprüye en yakın mesafesi 40 metredir.
Köprü merkezini orijin kabul etmek üzere:
a) Halatın ifade ettiği grafik temsilinin cebirsel ifadesini yazınız.
b) Cebirsel ifadesini yazdığınız fonksiyonun tek mi çift mi olduğunu grafik temsili ve cebirsel temsilinden faydalanarak belirleyiniz. Elde ettiğiniz sonucu gerekçesiyle yazınız.
Cevap: a) Halatın cebirsel ifadesi: f(x) = (1/40)x² + 40
b) Grafik y eksenine göre simetrik olduğu ve f(-x) = f(x) sağlandığı için fonksiyon çift fonksiyondur.
5. Soru: Aşağıda oturma odası, yatak odası ve mutfaktan oluşan dikdörtgen şeklindeki bir plan verilmiştir. Evin çevresi 40 m ve mutfağın uzun kenarı kısa kenarının 3 katıdır. Oturma odası kare şeklinde olduğuna göre ya da yatak odasının alanının en büyük olması için:
a) Oturma odasının bir kenarının kaç birim olması gerektiğini bulunuz.
b) Yatak odasının alanının en çok kaç m² olduğunu bulunuz.
Cevap: a) Oturma odasının bir kenarı 7 m olmalıdır.
b) Yatak odasının alabileceği en büyük alan 30 m²’dir.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları – MEB Yayınları | Sayfa 308
Soru 6) İnç (inch) Amerika, İngiltere ve Kanada gibi ülkelerde kullanılan bir uzunluk birimidir. Elektronik cihazlarda (televizyon, bilgisayar vb.) ekran boyutu ölçülerinde yaygın olarak kullanılır. 1 inç = 2,54 cm’dir. Dikdörtgen biçimindeki standart bir televizyon ekranının köşegen uzunluğu ekranın boyutunu ifade eder. Örneğin kısa kenarı 70 cm, uzun kenarı x cm olan dikdörtgen biçimindeki bir televizyon ekranının köşegen uzunluğu f ile modellenmiştir.
a) f fonksiyonunun cebirsel temsilini bulunuz.
Cevap: Dikdörtgende köşegen uzunluğu Pisagor’dan bulunur:
Köşegen² = (kısa kenar)² + (uzun kenar)²
Bu durumda: f(x) = √(x² + 70²) = √(x² + 4900)
b) f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Cevap: f(x) = √(x² + 4900) fonksiyonu her x için pozitiftir ve y ≥ 70 olacak şekilde bir eğri oluşturur. (x arttıkça f(x) artar; x = 0 iken f(0)=70 olur.)
c) x = 576·10² için televizyonun ekran büyüklüğünün yaklaşık kaç inç olduğunu bulunuz.
Cevap: Yaklaşık 98 inç. (Modelde bulunan köşegen uzunluğu cm cinsinden hesaplanıp 2,54’e bölünerek inçe çevrilir.)
Soru 7) Titreşim; araç, gereç ve makinelerin çalışırken oluşturdukları titreşim ve salınım hareketleridir. Titreşimlerin periyot ve frekans değerleri ölçülerek değerlendirilir. Aşağıdaki tabloda bazı araç ve makinelerin periyot ve frekansları verilmiştir. İnsan vücudu 1 Hz–1000 Hz arasındaki titreşimleri algılar. 440 Hz üzerindeki frekanslar “rahatsız edici” kabul edilir.
a) Frekans f, periyot p ile ifade edilirse frekansın periyoda bağlı değişimini gösteren fonksiyonu yazınız.
Cevap: Frekans ile periyot ters orantılıdır: f(p) = 1/p
b) Periyodu 0,002 sn. olan taş kırma makinesinin insan sağlığı için “rahatsız edici” bir frekansa sahip olup olmadığını bulunuz.
Cevap: f = 1 / 0,002 = 500 Hz olur. 500 Hz > 440 Hz olduğundan rahatsız edicidir.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları – MEB Yayınları | Sayfa 309
8) Güç, bir işin birim zamanda yapılma hızını gösteren bir büyüklüktür ve P (watt) birimiyle ifade edilir. Yapılan iş miktarı W (joule) ve bu işin gerçekleştiği süre t (saniye) olmak üzere gücün matematiksel olarak formülü P = W/t’dir. 10 joule iş yapılan bir deneyde işin yapılma süresi t ve güç fonksiyonu zamana bağlı f(t) olmak üzere;
a) f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
b) t ∈ [5, 50] için fonksiyonun alabileceği maksimum-minimum değerleri bulunuz ve görüntü kümesini yazınız.
a) W=10 olduğundan f(t)=10/t (t>0). Grafik azalan hiperboldür; t=0 ve f(t)=0 doğrularına yaklaşır (asimptot).
b) f(t)=10/t azalan olduğundan:
- Maksimum: t=5 → f(5)=10/5=2
- Minimum: t=50 → f(50)=10/50=0,2
Görüntü kümesi: [0,2 ; 2]
9) Kütlesi m (kg), hacmi V (L) olan bir maddenin yoğunluğu d = m/V (kg/L) formülü ile hesaplanır. A maddesinin kütlesi 1 kg, B maddesinin kütlesi 2 kg’dır. B maddesinin hacmi A maddesinin hacminden 1 L fazladır. Buna göre;
a) Her bir maddenin yoğunluğunu hacmine bağlı olarak ifade eden fonksiyonları cebirsel olarak ifade ediniz.
b) A maddesinin yoğunluk fonksiyonu grafiğine hangi dönüşümlerin uygulanmasıyla B maddesinin yoğunluk fonksiyonu grafiğinin çizilebileceğini bulunuz.
c) A ve B maddelerinin yoğunluk fonksiyonu grafiklerini dönüşüm kurallarından faydalanarak çiziniz.
a) A’nın hacmi V olsun:
- A maddesi: d_A(V)=1/V
- B maddesi: hacim V+1 ve kütle 2 olduğundan d_B(V)=2/(V+1)
b) d_A(V)=1/V grafiğinden d_B(V)=2/(V+1) grafiği için:
- V yerine (V+1) yazmak → grafiği 1 birim sola ötelemek
- Fonksiyonu 2 ile çarpmak → grafiği dikeyde 2 kat büyütmek (esnetmek)
Yani: 1 birim sola ötele + 2 katına çıkar.
c)
- d_A(V)=1/V: Asimptotlar V=0 ve d=0
- d_B(V)=2/(V+1): Asimptotlar V=-1 ve d=0
İkisi de azalan hiperbol şeklindedir.
10) Arzu, kenar uzunlukları 40 cm ve 60 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun her köşesinden aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi özdeş kare parçaları kesiyor. Kalan karton kısmının kenarlarını katlayarak üstü açık dikdörtgenler prizması şeklinde bir kutu oluşturuyor. Buna göre kutunun yan yüz alanının maksimum olması için başlangıçta kesilen karelerin bir kenarının uzunluğu kaç cm olmalıdır?
A) 10 B) 12,5 C) 15 D) 17,5 E) 20
Kare kenarı x olsun. Kutu yüksekliği x, taban kenarları:
(40−2x) ve (60−2x)
Üstü açık kutuda yan yüz alanı = taban çevresi × yükseklik:
A(x)=2[(40−2x)+(60−2x)]·x = 2(100−4x)x = 200x − 8x²
Bu parabol aşağı doğru olduğundan maksimum tepe noktasında:
x = 200 / (2·8) = 200/16 = 12,5
Doğru cevap: B) 12,5