10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 304 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları) | Sayfa 304 – Proje Ödevi

Soru 1) Oluşturduğunuz problem durumunun çözümünde kullanacağınız denklem veya eşitsizlikleri belirleyiniz.

Cevap: Örnek Problem: Bir kafeterya, günlük kârını artırmak için “satış fiyatı–satılan ürün sayısı” ilişkisini inceliyor. Ürün fiyatı arttıkça satış sayısı azalıyor. Amaç, günlük geliri (fiyat × adet) en büyük yapan fiyatı bulmak.

• Fiyat modeli (doğrusal): p(x) = 50 + 5x
• Satış miktarı (doğrusal): s(x) = 200 − 10x
• Gelir fonksiyonu (karesel): G(x) = p(x) · s(x)

Koşullar (eşitsizlik):

• x ≥ 0 (fiyat artış sayısı negatif olamaz)
• s(x) ≥ 0 ⇒ 200 − 10x ≥ 0 ⇒ x ≤ 20
• Tanım aralığı: 0 ≤ x ≤ 20

Soru 2) Belirlediğiniz denklem veya eşitsizliklerden yararlanarak probleminizi çözünüz.

Cevap: Gelir fonksiyonunu oluşturalım:
G(x) = (50 + 5x)(200 − 10x)
G(x) = 10000 + 1000x − 50x²

Bu a < 0 olduğu için parabol aşağı doğru açılır ve maksimum değer tepe noktasındadır.
Tepe noktasının x değeri:
x = −b / (2a) = −1000 / (2·(−50)) = 10

• En iyi artış sayısı: x = 10
• En iyi fiyat: p(10) = 50 + 5·10 = 100 TL
• Satış: s(10) = 200 − 10·10 = 100 adet
• Maksimum gelir: G(10) = 100 × 100 = 10000 TL

Sonuç: Kafe ürünü 100 TL’den satarsa günlük gelir en yüksek olur.

Soru 3) Probleminizin çözümünde denklem veya eşitsizlikleri ifade eden fonksiyonların grafiklerinden nasıl yararlanabileceğinizi belirleyiniz.

• p(x) ve s(x) doğrusal olduğu için grafikleri doğru olur.
• G(x) çarpım olduğu için karesel olur ve grafiği parabol çıkar.
• G(x) grafiğinde tepe noktası, gelirin maksimum olduğu yeri gösterir.
• Ayrıca 0 ≤ x ≤ 20 aralığı grafikte alınacak bölgeyi belirler; bu aralık dışında satış negatif olacağı için model gerçekçi olmaz.

Soru 4) Problemin çözümünde kullandığınız denklem veya eşitsizliklerin başka hangi problem durumlarında kullanılabileceğini belirleyerek projenizi raporlayınız.

Cevap: Bu model; “bir büyüklük artarken diğeri azalıyor” durumlarında kullanılabilir. Örnekler:

1. Bilet fiyatı artınca katılımcı sayısının azalması (geliri maksimize etme).
2. Kargo ücreti artınca sipariş sayısının düşmesi (en kârlı fiyatı bulma).
3. Ürün indirimi arttıkça satışın artması (kârı maksimize eden indirim oranı).
4. Üretim miktarı arttıkça birim maliyetin değişmesi (en uygun üretim planı).
5. Reklam bütçesi arttıkça satışın artması fakat bir noktadan sonra azalması (optimum bütçe).

Soru 5) Çalışmanızı 2 hafta içerisinde öğretmeninize teslim ediniz.

Cevap: Proje teslim planı örneği:

• 1–3. gün: Problem seçimi, değişkenlerin tanımlanması
• 4–6. gün: Fonksiyonların kurulması ve eşitsizliklerin belirlenmesi
• 7–9. gün: Çözüm, maksimum/minimum analizi
• 10–12. gün: Grafik çizimleri ve yorumlar
• 13–14. gün: Rapor düzenleme ve sunum hazırlama

Soru 6) Projenin amacı, kullanılan yöntem, problemin çözümü, farklı problem durumlarına uyarlanabilirliği

• Amaç: Günlük geliri en büyük yapan fiyatı bulmak.
• Yöntem: Doğrusal fonksiyonlarla fiyat ve satış modelleme, çarpım ile karesel gelir fonksiyonu oluşturma, tepe noktası ile maksimum geliri belirleme.
• Çözüm: x = 10, fiyat = 100 TL, maksimum gelir = 10000 TL.
• Uyarlanabilirlik: Fiyat–talep, maliyet–üretim, bütçe–kazanç gibi çok sayıda gerçek yaşam problemine uygulanır.