10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 298 Cevapları MEB Yayınları
19. Uygulama: Doğrusal ve Karesel Fonksiyon Problemi
Soru 1: A ve B tarifelerinin paketin kütlesine göre kargo lira ücretini sırasıyla ifade eden f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsillerini bulunuz.
Kısa Cevap: A tarifesi: f(x) = x² − 1
B tarifesi: g(x) = 4x − 4
Verilen bilgilere göre:
A tarifesi: “Paketin kütlesinin karesinin bir eksiği”
→ Matematiksel olarak:
f(x) = x² − 1
B tarifesi: “Paketin kütlesinin dört katının dört eksiği”
→ Matematiksel olarak:
g(x) = 4x − 4
Burada:
- x → paketin kütlesi (kg)
- f(x), g(x) → kargo ücreti (TL)
Açıklama: Bu soruda iki farklı tarife, karesel ve doğrusal fonksiyon olarak modellenmiştir. A tarifesi hızla artan (karesel), B tarifesi ise sabit artışlı (doğrusal) bir ücretlendirme sunar. Bu tür karşılaştırmalar, günlük hayatta en uygun seçimi yapabilmek için matematiğin nasıl kullanıldığını gösterir.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 299 Cevapları MEB Yayınları
Soru 2: f ve g fonksiyonlarının sıfırlarını bulunuz. Sıfırların problem bağlamındaki anlamını ifade ediniz.
Kısa Cevap: f(x)=0 → x=1
g(x)=0 → x=1
Fonksiyonlar:
- f(x)=x²−1
- g(x)=4x−4
Sıfırlar:
f(x)=0 → x²−1=0 → x=±1 (ancak kütle negatif olamaz → x=1)
g(x)=0 → 4x−4=0 → x=1
Anlamı: Paket kütlesi 1 kg olduğunda ücret 0 TL olur.
Soru 3: f=g, f<g, f>g durumlarını belirleyiniz.
- f = g → x=1 ve x=3
- f < g → 1 < x < 3
- f > g → x < 1 veya x > 3
Eşitlik:
x²−1 = 4x−4
x²−4x+3=0 → (x−1)(x−3)=0
Buradan:
- x=1 ve x=3 → ücretler eşit
İşaret analizi:
- 1 < x < 3 → f(x) < g(x) → A tarifesi daha ucuz
- x < 1 veya x > 3 → f(x) > g(x) → B tarifesi daha ucuz
Soru 4: İşaret tablosunu oluşturunuz.
- (1,3) → A daha ucuz
- 1 ve 3 → eşit
- x<1 veya x>3 → B daha ucuz
İşaret tablosu:
| Aralık | Sonuç |
|---|---|
| x < 1 | B tarifesi |
| x = 1 | eşit |
| 1 < x < 3 | A tarifesi |
| x = 3 | eşit |
| x > 3 | B tarifesi |
Soru 5: Problem çözüm stratejinizi oluşturunuz.
Kısa Cevap: Eşitleyip kökleri bul, aralıkları incele.
Strateji:
- f(x)=g(x) yazılır
- Kökler bulunur
- İşaret tablosu yapılır
- Hangi aralıkta hangi tarifenin avantajlı olduğu belirlenir
Soru 6: Problemi çözünüz.
- 1 < x < 3 → A tarifesi uygun
- x > 3 → B tarifesi uygun
Sonuçlara göre:
- 1–3 kg arası → A daha ekonomik
- 3 kg’dan büyük → B daha ekonomik
- 1 ve 3 kg → eşit ücret
Soru 7: Grafik ile doğrulayınız.
Kısa Cevap: Grafikte kesişim noktaları x=1 ve x=3 görülür.
- Parabol ve doğru 1 ve 3 noktalarında kesişir
- Parabolun altta kaldığı aralık (1,3) → A ucuz
- Doğrunun altta olduğu yer → B ucuz
Soru 8: Yöntemleri karşılaştırınız.
Kısa Cevap: En kesin yöntem cebirsel çözümdür.
- Cebirsel → en net sonuç verir
- Grafik → görsel yorum sağlar
- İşaret tablosu → aralık analizi kolaylaştırır
Soru 9: Çözüm stratejilerini genelleyiniz.
Kısa Cevap: Bu yöntemler farklı karşılaştırma problemlerinde kullanılır.
Kullanım alanları:
- Kar-zarar analizleri
- Fiyat karşılaştırmaları
- Maliyet problemleri
- Hız-zaman grafikleri
Soru 10: Sonuçları değerlendiriniz.
Kısa Cevap: 1–3 kg arası A tarifesi daha ekonomiktir.
- Cebirsel: (x−1)(x−3) < 0
- Grafik: parabol x ekseninin altında
- Sözel: A tarifesi bu aralıkta daha ucuz
Açıklama: Bu problemde karesel ve doğrusal fonksiyonlar karşılaştırılarak en uygun maliyet seçimi yapılmıştır. Matematik sayesinde farklı tarifeler arasında en ekonomik seçim kolayca belirlenebilir.