10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 286 Cevapları MEB Yayınları
16. Uygulama: Karesel Fonksiyonların Cebirsel İfadesinin Birinci Dereceden Çarpanlarının İşaret Değişimini Temsil Eden İşaret Tablosu
Soru b) Tablo 1 ve Tablo 2’deki doldurduğunuz değerlerden faydalanarak f fonksiyonunun sıfırlarını yazınız.
Kısa Cevap: f fonksiyonunun sıfırları x=8 ve x=12’dir.
Çünkü bu değerlerde y=f(x)=0 olur.
Detaylı Cevap: Tablo 1’de ve Tablo 2’de verilen değerlere bakıldığında fonksiyonun değeri:
- x=8 için f(x)=0
- x=12 için f(x)=0
olmaktadır. Bir fonksiyonun sıfırları, fonksiyonun sonucunu 0 yapan x değerleridir. Bu nedenle fonksiyonun sıfırları:
x=8 ve x=12
olur.
Soru c) f fonksiyonunun cebirsel temsilinden yararlanarak fonksiyonun sıfırlarını tamkareye tamamlama yöntemi ile bulunuz.
Kısa Cevap: f(x)=-x²+20x-96 ifadesinin sıfırları x=8 ve x=12 olur.
Tamkareye tamamlama yapıldığında sonuç aynı çıkar.
Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon: f(x)=-x²+20x-96
Fonksiyonun sıfırlarını bulmak için bunu sıfıra eşitleyelim: -x²+20x-96=0
Eksi işaretini dışarı alalım: -(x²-20x+96)=0
Parantez içini tamkareye tamamlayalım: x²-20x+96
Burada: x²-20x+100-4
şeklinde yazabiliriz. Çünkü 100-4=96 olur.
Buna göre:
-(x²-20x+100-4)=0
-((x-10)²-4)=0
Eksi işaretini dağıtırsak:
-(x-10)²+4=0
Buradan:
(x-10)²=4
Her iki tarafın karekökünü alalım:
x-10=2 veya x-10=-2
Buradan:
- x=12
- x=8
bulunur.
Yani fonksiyonun sıfırları:
x=8 ve x=12
olur.
Tablo Değerleri
Tablo 1
x değerleri: 2, 4, 6, 7, 7,8, 7,9, 7,95, 7,99, 8
y=f(x) değerleri:
- f(2)=-60
- f(4)=-32
- f(6)=-12
- f(7)=-5
- f(7,8)=-0,84
- f(7,9)=-0,41
- f(7,95)=-0,2025
- f(7,99)=-0,0401
- f(8)=0
Tablo 2
x değerleri: 9, 10, 11, 11,2, 11,8, 11,85, 11,9, 11,99, 12
y=f(x) değerleri:
- f(9)=3
- f(10)=4
- f(11)=3
- f(11,2)=2,56
- f(11,8)=0,76
- f(11,85)=0,5775
- f(11,9)=0,39
- f(11,99)=0,0399
- f(12)=0
Açıklama: Bu soruda karesel fonksiyonun sıfırları hem tablo yardımıyla hem de tamkareye tamamlama yöntemiyle bulunuyor. Tablo, sıfırların yaklaşık olarak hangi sayılarda olduğunu gösterirken, cebirsel çözüm bu değerleri kesin olarak verir. Böylece öğrenciler aynı sonuca iki farklı yöntemle ulaşmayı öğrenir.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 287 Cevapları MEB Yayınları
16. Uygulama Cevapları
Soru ç) f fonksiyonunun grafik temsilini altta verilen dik koordinat sistemi üzerine çiziniz.
Kısa Cevap: f(x) = -x² + 20x - 96 fonksiyonunun grafiği aşağı doğru açılan bir paraboldür.
Tepe noktası (10, 4), x eksenini kestiği noktalar ise (8, 0) ve (12, 0) olur.
Fonksiyonu tamkare biçimine çevirelim:
f(x) = -x² + 20x - 96
f(x) = -(x² - 20x) - 96
f(x) = -[(x - 10)² - 100] - 96
f(x) = -(x - 10)² + 4
Buradan grafikle ilgili önemli bilgiler:
- Tepe noktası: T(10, 4)
- Simetri ekseni: x = 10
- Parabolün yönü: Aşağı
- x eksenini kestiği noktalar: x = 8 ve x = 12
- y eksenini kestiği nokta: f(0) = -96
Yani koordinat sistemine, tepe noktası (10,4) olan ve aşağı açılan bir parabol çizilir.
Soru d) f fonksiyonunun grafik temsilini ve tamkare formunu kullanarak yapacağınız cebirsel işlemlerden faydalanarak aşağıdaki tabloyu doldurunuz. Ardından denklem ve eşitsizliklerin matematiksel bileşenlerinin aralarındaki ilişkiyi belirleyiniz.
Tablo şu şekilde doldurulur:
- f(x)=0 → x=8 ve x=12
- f(x)<0 → (-∞,8) ∪ (12,∞)
- f(x)≤0 → (-∞,8] ∪ [12,∞)
- f(x)>0 → (8,12)
- f(x)≥0 → [8,12]
Fonksiyonun tamkare biçimi:
f(x) = -(x - 10)² + 4
Önce kökleri bulalım:
-(x - 10)² + 4 = 0
(x - 10)² = 4
x - 10 = 2 veya x - 10 = -2
x = 12 veya x = 8
Parabol aşağı açıldığı için köklerin arasında pozitif, dışında negatif olur.
Tablo
- f(x) = 0 → x = 8 ve x = 12
- f(x) < 0 → (-∞, 8) ∪ (12, ∞)
- f(x) ≤ 0 → (-∞, 8] ∪ [12, ∞)
- f(x) > 0 → (8, 12)
- f(x) ≥ 0 → [8, 12]
İlişki
Parabol x eksenini kestiği noktalarda fonksiyon sıfırdır.
Köklerin arasında grafik x ekseninin üstünde olduğundan fonksiyon pozitiftir.
Köklerin dışında grafik x ekseninin altında olduğundan fonksiyon negatiftir.
Soru e) f(x) = -x² + 20x - 96 fonksiyonunun cebirsel ifadesini tamkare formundan yararlanarak birinci dereceden çarpanlar şeklinde yazınız. İşaret tablosunu oluşturunuz.
Kısa Cevap: Fonksiyonun çarpanlara ayrılmış hâli:
f(x) = -(x - 8)(x - 12)
İşaret tablosu:
- x < 8 için -
- x = 8 için 0
- 8 < x < 12 için +
- x = 12 için 0
- x > 12 için -
Tamkare formundan:
f(x) = -(x - 10)² + 4
İki kare farkı kullanalım:
f(x) = -[(x - 10)² - 4]
f(x) = -[(x - 10) - 2][(x - 10) + 2]
f(x) = -(x - 12)(x - 8)
Daha düzenli yazarsak:
f(x) = -(x - 8)(x - 12)
İşaret Tablosu
Kritik noktalar: 8 ve 12
- (-∞, 8) aralığında → negatif
- x = 8 → 0
- (8, 12) aralığında → pozitif
- x = 12 → 0
- (12, ∞) aralığında → negatif
Soru f) c maddesinde oluşturduğunuz işaret tablosunu dikkate alarak f fonksiyonu ile ilgili eşitsizliklerin çözüm aralıklarını tabloda uygun alanlara yazınız.
- f(x) < 0 → (-∞,8) ∪ (12,∞)
- f(x) ≤ 0 → (-∞,8] ∪ [12,∞)
- f(x) > 0 → (8,12)
- f(x) ≥ 0 → [8,12]
İşaret tablosuna göre:
- Fonksiyon 8 ile 12 arasında pozitif
- 8 ve 12’de sıfır
- Bu aralığın dışında negatiftir.
Bu nedenle tablo şöyle doldurulur:
| Eşitsizlik | Çözüm Aralığı |
|---|---|
| f(x) < 0 | (-∞,8) ∪ (12,∞) |
| f(x) ≤ 0 | (-∞,8] ∪ [12,∞) |
| f(x) > 0 | (8,12) |
| f(x) ≥ 0 | [8,12] |
2. Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Soru a) Göletteki su seviyesinin yürüyüş yolu ile aynı seviyede olduğu durumun f fonksiyonunun nitel özelliği ile ilişkisini belirtiniz. Problem bağlamındaki temsilini cebirsel temsile dönüştürünüz.
Kısa Cevap: Su seviyesi yürüyüş yolu ile aynı seviyede ise f(x)=0 olur.
Bu durum x=8 ve x=12 değerlerinde gerçekleşir.
Detaylı Cevap: Problemde su seviyesinin yürüyüş yolu ile aynı seviyede olması, yükseklik farkının sıfır olması demektir. Bu da:
f(x)=0
eşitliği ile gösterilir.
Fonksiyonun kökleri daha önce bulunduğu gibi:
x=8 ve x=12
olur. Yani yağış miktarı 8 cm veya 12 cm olduğunda su seviyesi yürüyüş yolu ile aynı seviyededir.
Soru b) Göletteki su seviyesinin yürüyüş yolu seviyesinin altında olduğu durumun f fonksiyonu ile eşitsizlik bileşenleri arasındaki ilişkisini aşağıdaki alana yazarak sınıf arkadaşlarınızla paylaşınız.
Kısa Cevap: Su seviyesi yürüyüş yolunun altındaysa f(x)<0 olur.
Bu da x<8 veya x>12 aralıklarında gerçekleşir.
Detaylı Cevap: Yürüyüş yolunun altında olma durumu, yükseklik farkının negatif olması demektir. Bu yüzden cebirsel olarak:
f(x)<0
yazılır.
İşaret tablosuna göre:
f(x)<0 için çözüm aralığı
(-∞,8) ∪ (12,∞)
olur.
Yani yağış miktarı 8 cm’den küçük veya 12 cm’den büyük olduğunda su seviyesi yürüyüş yolunun altında kalır.
Açıklama: Bu sayfada karesel bir fonksiyonun grafiği, kökleri ve işaret tablosu birlikte kullanılarak denklem ve eşitsizlikler yorumlanmaktadır. En önemli nokta, parabolün x eksenini kestiği noktaların fonksiyonun sıfırları olması ve bu noktaların arasında işaretin değişmesidir. Böylece problem durumu grafik, denklem ve eşitsizlik arasında ilişki kurularak daha kolay anlaşılır.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 288 Cevapları MEB Yayınları
16. Uygulama Cevapları Devamı
Soru c) Göletteki su seviyesinin yürüyüş yolu seviyesinin üstünde olduğu durumun f fonksiyonu ile eşitsizlik bileşenleri arasındaki ilişkisini aşağıdaki alana yazarak sınıf arkadaşlarınızla paylaşınız.
Kısa Cevap: Su seviyesi yürüyüş yolunun üstünde ise f(x) > 0 olur.
Bu durum 8 < x < 12 aralığında gerçekleşir.
Verilen fonksiyon: f(x) = -x² + 20x - 96
Önceki çözümde fonksiyonun kökleri x=8 ve x=12 bulunmuştu. Parabol aşağı doğru açıldığı için kökler arasında fonksiyon pozitif olur. Bu nedenle göletteki su seviyesi yürüyüş yolunun üstünde olduğunda:
f(x) > 0
olur. Çözüm aralığı da:
(8,12)
şeklindedir.
Soru ç) f fonksiyonu ile eşitsizlik bileşeni arasında kurulmuş f(x) ≤ 0 ilişkisinin problem bağlamındaki anlamını sözel olarak ifade ediniz.
Kısa Cevap: f(x) ≤ 0 ise su seviyesi yürüyüş yoluna eşit ya da daha aşağıdadır.
Detaylı Cevap: Fonksiyon değeri sıfır olduğunda su seviyesi yürüyüş yolu ile aynı hizadadır. Fonksiyon değeri negatif olduğunda ise su seviyesi yürüyüş yolunun altında kalır. Bu yüzden:
f(x) ≤ 0
ifadesi, problem bağlamında:
“Su seviyesi yürüyüş yolu seviyesine eşit ya da yürüyüş yolu seviyesinin altındadır.”
anlamına gelir.
Soru d) f fonksiyonu ile eşitsizlik bileşeni arasında kurulmuş f(x) ≥ 0 ilişkisinin problem bağlamındaki anlamını sözel olarak ifade ediniz.
Kısa Cevap: f(x) ≥ 0 ise su seviyesi yürüyüş yoluna eşit ya da daha yukarıdadır.
Fonksiyonun sıfır olduğu değerlerde su seviyesi yürüyüş yolu ile aynıdır. Fonksiyon pozitif olduğunda ise su seviyesi yürüyüş yolunun üstüne çıkar. Bu nedenle:
f(x) ≥ 0
ifadesi, problem bağlamında:
“Su seviyesi yürüyüş yoluna eşit ya da yürüyüş yolunun üstündedir.”
şeklinde açıklanır.
Soru 3) Su seviyesinin yürüyüş yolu ile aynı hizada olduğu, yürüyüş yolunun sular altında kaldığı veya yürüyüş yolunun su seviyesinin üzerinde olduğu durumların belirlenmesi amacıyla yağış miktarının kaç cm olması gerektiği ile ilgili sorunun çözümü için stratejinizi oluşturunuz.
Kısa Cevap: Strateji olarak önce f(x)=0 denklemi çözülür, sonra işaret tablosu ya da grafik yardımıyla f(x)>0 ve f(x)<0 aralıkları belirlenir.
Bu problem için izlenecek yol şöyledir:
- Su seviyesi ile yürüyüş yolu aynıysa:
f(x)=0 alınır. - Su seviyesi yürüyüş yolunun üstündeyse:
f(x)>0 alınır. - Su seviyesi yürüyüş yolunun altındaysa:
f(x)<0 alınır. - Fonksiyonun kökleri bulunur.
- Grafik veya işaret tablosu ile hangi aralıklarda pozitif ve negatif olduğu belirlenir.
Bu stratejiyle tüm durumlar kolayca yorumlanır.
Soru 4) Belirlediğiniz stratejiyi kullanarak problemi çözünüz.
- Aynı seviyede: x=8 veya x=12
- Yürüyüş yolu su altında: 8 < x < 12
- Yürüyüş yolu su seviyesinin üstünde: x < 8 veya x > 12
Fonksiyon: f(x) = -x² + 20x - 96
Kökleri: x=8 ve x=12
Parabol aşağı doğru açıldığı için:
- f(x)=0 → x=8 ve x=12
- f(x)>0 → (8,12)
- f(x)<0 → (-∞,8) ∪ (12,∞)
Problem bağlamına çevirirsek:
- Yağış miktarı 8 cm veya 12 cm ise su seviyesi yürüyüş yolu ile aynıdır.
- Yağış miktarı 8 cm ile 12 cm arasında ise yürüyüş yolu sular altında kalır.
- Yağış miktarı 8 cm’den küçük ya da 12 cm’den büyük ise yürüyüş yolu su seviyesinin üstünde kalır.
Soru 5) Problemin çözümünü farklı yöntemler kullanarak doğrulayınız.
Kısa Cevap: Çözüm çarpanlara ayırma, tamkareye tamamlama ve grafik çizimi ile doğrulanabilir.
Problemin doğruluğunu birkaç yolla kontrol edebiliriz:
1. Çarpanlara ayırma
f(x)=-x²+20x-96
f(x)=-(x-8)(x-12)
Buradan kökler doğrudan:
x=8 ve x=12
olarak bulunur.
2. Tamkareye tamamlama
f(x)=-(x-10)²+4
Buradan tepe noktası (10,4) bulunur. Kökler yine 8 ve 12 çıkar.
3. Grafik yöntemi
Grafikte parabol x eksenini 8 ve 12 noktalarında keser. Bu nedenle sonuçlar doğrulanmış olur.
Soru 6) Problemin olası tüm çözüm stratejileri ile ilgili fikirlerinizi sınıf arkadaşlarınızla paylaşınız.
Kısa Cevap: Bu problem grafik çizimi, işaret tablosu, çarpanlara ayırma ve tamkareye tamamlama yöntemleriyle çözülebilir.
Problemi çözmek için şu stratejiler kullanılabilir:
- Çarpanlara ayırma
- Tamkareye tamamlama
- Grafik çizme
- İşaret tablosu oluşturma
- Tepe noktası ve parabol yönünü inceleme
Bu yöntemlerin hepsi aynı sonuca ulaştırır. Bazı öğrenciler cebirsel, bazıları grafiksel yolu daha kolay bulabilir.
Soru 7) Problemin çözümünde kullandığınız yöntemleri başka problemlerin çözümünde nasıl kullanabileceğiniz ile ilgili çıkarımlarınızı yazınız.
Kısa Cevap: Bu yöntemler, kâr-zarar, alan hesabı, yükseklik, mesafe ve benzeri ikinci dereceden problemlerinde de kullanılabilir.
Bu problemde kullanılan yöntemler başka birçok soruda da işe yarar. Örneğin:
- Kâr-zarar problemleri
- Alan optimizasyonu
- Fiziksel yükseklik ve mesafe hesapları
- Maksimum-minimum problemleri
- İkinci dereceden eşitsizlik soruları
Özellikle grafik ile cebirsel çözümü birlikte kullanmak, sonucun daha doğru yorumlanmasını sağlar.
Soru 8) Çıkarımlarınızın geçerliliğini sözel, cebirsel ve grafiksel argümanlarla değerlendiriniz.
Kısa Cevap: Çıkarımlar hem cebirsel işlem, hem grafik, hem de sözel yorum ile doğrulanır.
Çıkarımların doğru olduğunu üç yolla gösterebiliriz:
Sözel Değerlendirme
Problemde su seviyesi ile yürüyüş yolu arasındaki ilişki, pozitif-negatif-sıfır durumlarıyla açık şekilde yorumlanır.
Cebirsel Değerlendirme
f(x)=-(x-8)(x-12) olduğundan kökler 8 ve 12’dir.
İşaret tablosuna göre:
- (8,12) aralığında pozitif
- dış kısımlarda negatif
olduğu görülür.
Grafiksel Değerlendirme
Grafikte parabol x eksenini 8 ve 12’de keser.
Tepe noktası (10,4) olduğundan grafik bu iki kök arasında x ekseninin üstündedir.
Bu da cebirsel sonuçlarla tam uyumludur.
Açıklama: Bu sayfada ikinci dereceden bir fonksiyonun yalnızca kökleri değil, gerçek yaşam problemindeki anlamı da incelenmektedir. Pozitif, negatif ve sıfır olma durumlarının problem cümlesine çevrilmesi, matematiğin günlük hayatta nasıl kullanıldığını gösterir. Bu yüzden grafik, işaret tablosu ve cebirsel çözümün birlikte düşünülmesi çok önemlidir.